初三数学培优资料

1、综合运用类试题的命题特点与趋势从近几年中考的命题特点看，综合运用类试题主要是以代数知识和几何图形性质相结合而命制的。此类试题由于解题方法灵活多变，探索性强，所以具有一定的难度和区分度，因此是中考数学试卷中常见的“压轴题”。综合运用类试题一般可分为代数型综合题和几何型综合题两种类型。综合运用类试题的解题要领解答综合运用类试题要充分利用题目给出的条件（有关代数知识或几何图形性质）进行推理、计算，善于运用数形结合、分类讨论、归纳转化、函数方程等数学思想来寻求正确、简捷的解题方案，同时还要注意分析题目中各个小题之间的逻辑结构，弄清楚各个小题之间的关系（是“并列关系”还是“递进关系”）。一般说来，如果综

2、合题中有（1）、（2）、（3）三个小题，并且三个小题是并列关系，则应以总题干的已知条件进行解题，其中第（1）小题的结论不能用在第（2）小题的解题过程中，同样第（2）小题的结论也不能用在第（3）小题的解题过程中；如果这三个小题是递进关系，则第（1）小题的结论可以作为解第（2）小题的条件，第（1）、（2）小题的结论同样也可以用在第（3）小题的解题过程中。1在“春季经贸洽谈会”上，我市某服装厂接到生产一批出口服装的订单，要求必须在12天（含12天）内保质保量完成，且当天加工的服装当天立即运走为了加快进度，车间采取工人轮流休息，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高这样每天生产的服装数量y（套）

3、与时间x（元）的关系如下表：时间x（天）1234每天产量y（套）22242628由于机器损耗等原因，当每天生产的服装数达到一定量后，平均每套服装的成本会随着服装产量的增加而增大，这样平均每套服装的成本z（元）与生产时间x（天）的关系如图所示（1）判断每天生产的服装的数量y（套）与生产时间x（元）之间是我们学过的哪种函数关系？并验证（2）已知这批外贸服装的订购价格为每套1570元，设车间每天的利润为w（元）求w（元）与x（天）之间的函数关系式，并求出哪一天该生产车间获得最高利润，最高利润是多少元？（3）从第6天起，该厂决定该车间每销售一套服装就捐a元给山区的留守儿童作为建图书室的基金，但必须保证

4、每天扣除捐款后的利润随时间的增大而增大求a的最大值，此时留守儿童共得多少元基金？1、解：（1）由表格知，y是x的一次函数设y=kx+b则，；y=2x+20；检验：当x=3时，y=2×3+20=26，当x=4时，y=2×4+20=28，（3，26），（4，28）均满足y=2x+20；（2）由题意得：z=400（1x5的整数），当6x12的整数时，设z=kx+b，z 1=40x+200；当1x5时W 1=（2x+20）（1570400），即W 1=2340x+23400，23400，W 1随x的增大而增大x=5时，W 1最大=2340×5+23400=35100（元）

5、，当6x12时，W 2=（2x+20）（157040x200）=（2x+20）（137040x），即W 2=80x 2+1940x+27400，800，开口向下对称轴x=12，在对称轴的左侧，W2随x的增大而增大当x=12时，W 2最大=39160（元）3916035100，第12天获得最大利润为39160元；（3）设捐款a元后的利润为Q（元）6x12，Q=（2x+20）（157040x200a）=（2x+20）（13702a）x+2740020a，800，开口向下，对称轴x=，在对称轴的左侧，Q随x的增大而增大12，a10，a的最大值是10，共得到基金（32+34+36+38+40+42+4

6、4）×10=2660（元）2如图（1），直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（4）当0x3时，在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值（图（2）、图（3）供画图探究）2、解：（1）由已知，得B（3，0），

7、C（0，3），解得，抛物线解析式为y=x24x+3；（2）y=x24x+3=（x2）21，对称轴为x=2，顶点坐标为P（2，1），满足条件的点M分别为M1（2，7），M2（2，21），M3（2，），M4（2，21）；（3）由（1），得A（1，0），连接BP，CBA=ABP=45°，当=时，ABCPBQ，BQ=3Q1（0，0），当=时，ABCQBP，BQ=Q（，0）（4）当0x3时，在此抛物线上任取一点E，连接CE、BE，经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，设点F（x，x+3），点E（x，x24x+3），EF=x2+3x，SCBE=SCEF+SBEF=EFOB，=x2+x，=（

8、x）2+，a=0，当x=时，SCBE有最大值，y=x24x+3=，E（，）3在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x 之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润3、解：（1）y是x的一次函数，设y=kx+b图

9、象过点（10，300），（12，240），解得故y与x 之间的函数关系为：y=30x+600，当x=14时，y=180；当x=16时，y=120，即点（14，180），（16，120）均在函数y=30x+600的图象上y与x之间的函数关系式为y=30x+600；（2）w=（x6）（30x+600）=30x2+780x3600即w与x之间的函数关系式为w=30x2+780x3600；（3）由题意得6（30x+600）900，解得x15w=30x2+780x3600图象对称轴为x=13，a=300，抛物线开口向下，当x15时，w随x增大而减小，当x=15时，w最大=1350即以15元/个的价格销售

10、这批许愿瓶可获得最大利润1350元4如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点（1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q是否存在点P，使Q恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由4、解：（1）抛物线y=ax2+bx+2经过A（1，0），B（4，0）两点，解得：y=x2+x+2；当y=2时，x2+x+2=2，解得：x1=3

11、，x2=0（舍），即：点D坐标为（3，2）（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：当AE为一边时，AEPD，P1（0，2），当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，P点的纵坐标为2，代入抛物线的解析式：x2+x+2=2解得：x1=，x2=，P点的坐标为（，2），（，2）综上所述：P1（0，2）；P2（，2）；P3（，2）（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，a2+a+2），当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，PQ=2（a2+a+2）=a2a，又CQO+FQP=90&#

12、176;，COQ=QFP=90°，FQP=OCQ，COQQFP，QF=a3，OQ=OFQF=a（a3）=3，CQ=CQ=，此时a=，点P的坐标为（，），当P点在y轴左侧时（如图2）此时a0，a2+a+20，CQ=a，PQ=2（a2+a+2）=a2a，又CQO+FQP=90°，CQO+OCQ=90°，FQP=OCQ，COQ=QFP=90°，COQQFP，QF=3a，OQ=3，CQ=CQ=，此时a=，点P的坐标为（，）综上所述，满足条件的点P坐标为（，），（，）5如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0）和C（0，3），线段BC与抛

13、物线的对称轴相交于点PM、N分别是线段OC和x轴上的动点，运动时保持MPN=90°不变连结MN，设MC=m（1）求抛物线的函数解析式；（2）用含m的代数式表示PMN的面积S，并求S的最大值；（3）以PM、PN为一组邻边作矩形PMDN，当此矩形全部落在抛物线与x轴围成的封闭区域内（含边界）时，求m的取值范围5：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0）和C（0，3），解得：，抛物线的解析式是y=x22x3；（2）作PEy轴于点E，设抛物线的对称轴与x轴相交于点F，易得抛物线的对称轴为直线x=1，直线BC的解析式为y=x3，P（1，2），E（0，2），ME=|m

14、1|，MPN=90°，EPF=90°，MPE=NPF，又PEM=PFN=90°，MPENPF，PN=2PM，0m3，当m=3时，S有最大值，最大值是5；（3）当点D在x轴上时，点D、M显然分别与点O、E重合，此时，m=1；当点D在抛物线上时（如图2），作DGx轴于点G，MPE+NPE=90°，NPE+NPF=90°，MPE=NPF，又DNG+PNF=90°，NPF+PNF=90°，DNG=NPF，MPE=DNG，在MPE和DNG中，MPEDNG（AAS），DG=ME=1m，NG=PE=1，由（2）得：，故NF=2ME=22m

15、，OG=1ON=NF=22m，D（2m2，m1），代入抛物线解析式得：m1=（2m2）22（2m2）3，整理得：4m213m+6=0，解得：，（不合题意，舍去），时，点D恰好在抛物线上，当时，此矩形全部落在抛物线与x轴围成的封闭区域内 6如图，已知直线l的解析式为y=x+6，直线l与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线n从原点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒，运动过程中始终保持nl，当直线n与直线l重合时，运动结束直线n与x轴，y轴分别相交于C、D两点，以线段CD的中点P为圆心、CD为直径，在CD上方作半圆，半圆面积为S（1）求A、B两点的坐标；（

16、2）当t为何值时，半圆与直线l相切？（3）直线n在运动过程中，求S与t的函数关系式；是否存在这样的t值，使得半圆面积S=S梯形ABCD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由6、解：（1）y=x+6，令y=0，得0=x+6，解得：x=6A（6，0）令x=0，得y=6，B（0，6）；（2）分别过点D、P作DEAB于点E，PFAB于点FAD=OAOD=6t，在RtADE中，sinEAD=，DE=，PF=DE=当PF=PD时，半圆与l相切即（6t）=t，解得：t=3当t=3时，半圆与l相切；（3）OA=OB=6，AOB是等腰直角三角形nl，CDO=BAO=45°，COD为等腰直角三角形，OD

17、=OC=tCD=t，PD=CD=t，PD2=（t）2=t2，；存在S梯形ABCD=SAOBSCOD=×6×6t×t=18t2，若S=S梯形ABCD，则，t2=12，解得：，存在，使得S=S梯形ABCD 7如图，二次函数y=x2+bx3b+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b2，2b25b1）.（1）求这条抛物线的解析式；（2）M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；（3）连接AM、DM，将AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F，若DMF为等腰三角形，求点E的坐标.7、解析：（1）把点（

18、b2，2b25b1）代入解析式，得2b25b1=（b2）2+b（b2）3b+3， 解得b=2.抛物线的解析式为y=x2+2x3. （2）由x2+2x3=0，得x=3或x=1.A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）.抛物线的对称轴是直线x=1，圆心M在直线x=1上. 设M（1，n），作MGx轴于G，MHy轴于H，连接MC、MB.MH=1，BG=2. MB=MC，BG2+MG2=MH2+CH2，即4+n2=1+（3+n）2，解得n=1，点M（1，1） （3）如图，由M（1，1），得MG=MH.MA=MD，RtAMGRtDMH，1=2.由旋转可知3=4. AMEDMF.若DMF为等腰三角形，则AM

19、E为等腰三角形. 设E（x，0），AME为等腰三角形，分三种情况：AE=AM=，则x=3，E（3，0）；M在AB的垂直平分线上，MA=ME=MB，E（1，0） 点E在AM的垂直平分线上，则AE=ME. AE=x+3，ME2=MG2+EG2=1+（1x）2，（x+3）2=1+（1x）2，解得x=，E（，0）.所求点E的坐标为（3，0），（1，0），（，0） 8如图，在梯形ABCD中，ABBC，ADBC，顶点D，C分别在射线AM、BN上运动，点E是AB上的动点，在运动过程中始终保持DECE，且AD+DE=AB（各动点都不与A，B重合）经过C、D、E三点作圆请探索以下2个问题：（1）当AB=8时，若

20、动点E恰好是过C、D、E三点的圆与AB的切点，求CD长？（2）当AB=a时，说明BEC的周长等于2a8、解：（1）DECE，CD是过C、D、E三点作圆得直径，设圆心为O，并连结OE，点E恰好是过C、D、E三点的圆与AB的切点，OEAB，又ABBC，ADBC，OEADBC，OC=OD，AE=BE=4，OE是梯形ABCD的中位线，设AD=x，则DE=8x，42+x2=（8x）2，解得：x=3，即AD=3，ABBC，ADBC，A=B=90°，AED+ADE=90°，DECE，AED+BEC=90°，AED=BEC，ADEBEC，=，BC=，OE=（3）=，CD=2OE=

21、（2）设AD=x，AE=m，则DE=ax，在RtADE中，（ax）2=m2+x2，a2m2=2ax，又ADEBEC，=，CBEC=2a，即BEC的周长等于2a9如图，抛物线y=ax2+bx（a0）与双曲线y=相交于点A，B已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，连结AB交y轴于点E，且SBOE=SAOB（O为坐标原点）（1）求此抛物线的函数关系式；（2）过点A作直线平行于x轴交抛物线于另一点C问在y轴上是否存在点P，使POC与OBE相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由；（3）抛物线与x轴的负半轴交于点D，过点B作直线ly轴，点Q在直线l上运动，且点Q的纵坐标为t，试探索

22、：当SAOBSQODSBOC时，求t的取值范围9、解：（1）点A（1，4）在双曲线y=上，得k=4SBOE=SAOB，|xA|：|xB|=1：2xB=2，点B在双曲线y=上，点B的坐标为（2，2）点A，B都在y=ax2+bx（a0）上，解得：所求的二次函数的解析式为：y=x2+3x；（2）点C坐标为（4，4），若点P在y轴的正半轴，则POC=45°，不符合题意所以点P在y轴的负半轴上，则POC=45°此时有POC=BOE=135°，所以或时，POC与OBE相似OP=4或8所以点P的坐标为（0，4）或（0，8）；（3）设点Q的坐标为（2，t）直线AB经过点A（1，4

23、），B（2，2）直线AB的函数关系式为y=2x+2E（0，2）由y=x2+3x可知点D（3，0）SAOB=3，SQOD=，SBOC=838当t0时，2t当t0时，t2综上：2t或t210如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标；（3）在过点E（4，0）的直线上是否存在这样的点M，使得AMB为直角？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由10、解：（1）令y=0，则x2x+3=0，整理得，x2+2x8=0，解得x1=4，x2=2，点A（4，0），B（2

24、，0）；（2）令x=0，则y=3，所以，点C的坐标为（0，3），又AB=2（4）=2+4=6，SABC=×6×3=9，设直线AC的解析式为y=kx+b（k0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x+3，抛物线的对称轴为直线x=1，所以，x=1时，y=（1）×+3=，设对称轴与直线AC相交于H，则点H的坐标为（1，），ACD的面积等于ACB的面积，SACD=SADH+SCDH，=DH×4=6，解得DH=，点D在AC的上方时，+=，此时点D的坐标为（1，），点D在AC的下方时，=，此时，点D的坐标为（1，），综上所述，ACD的面积等于ACB的面积时，点D

25、的坐标为（1，）或（1，）；（3）根据直径所对的圆周角是直角，以AB为直径作F，则过点E的直线与F的切点即为所求的点M，如图，连接FM，过点M作MNx轴于N，A（4，0），B（2，0），E（4，0），点F（1，0），FM=×6=3，EF=4+1=5，根据勾股定理，ME=4，易得FMNFEM，=，即=，解得MN=，FN=，ON=FNOF=1=，点M在x轴上方时，点M的坐标为（，），点M在x轴下方时，点M的坐标为（，），综上所述，点M的坐标为（，）或（，） 11如图（1），ABC与EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，BACDEF90°，固定ABC，将EFD绕

26、点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止。不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）。（1）问：始终与AGC相似的三角形有 及 ；（2）设CGx，BHy，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x为何值时，AGH是等腰三角形？11解：（1）HGA及HAB；（2分） （2）由（1）可知AGCHAB，即，所以 （5分）（3）当CGBC时，GAC=HHAC，ACCHAGAC，AGGH，又AHAG，AHGH，此时，AGH不可能是等腰三角形；当CG=BC时，G为BC的中点，H与C重合，AGH是等腰三

27、角形；此时，GC=，即x=；当CGBC时，由（1）可知AGCHGA，所以，若AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH；若AG=AH，则AC=CG，此时x=9；综上，当x=9或时，AGH是等腰三角形。12如图，在平面直角坐标系中有RtABC，A=90°，AB=AC，A（2，0）、B（0，1）、C（d，2）（1）求d的值；（2）将ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B、C正好落在某反比例函数图象上请求出这个反比例函数和此时的直线BC的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC交y轴于点G问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC是平行四边形？如

28、果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由12、解：（1）作CNx轴于点N，A（2，0）、B（0，1）、C（d，2），OA=2，OB=1，CN=2，CAB=90°，即CAN+BAO=90°，又CAN+ACN=90°，BAO=ACN，在RtCNA和RtAOB中，RtCNARtAOB（AAS），NC=OA=2，AN=BO=1，NO=NA+AO=3，又点C在第二象限，d=3；（2）设反比例函数为y=（k0），点C和B在该比例函数图象上，设C（m，2），则B（m+3，1），把点C和B的坐标分别代入y=，得k=2m；k=m+3，2m=m+3，解得：m=3，则k=

29、6，反比例函数解析式为y=，点C（3，2），B（6，1），设直线CB的解析式为y=ax+b（a0），把C、B两点坐标代入得：，解得：；直线CB的解析式为y=x+3； （3）存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC是平行四边形，理由为：设Q是G C的中点，令y=x+3中x=0，得到y=3，G（0，3），又C（3，2），Q（，），过点Q作直线l与x轴交于M点，与y=的图象交于P点，若四边形PG MC是平行四边形，则有PQ=Q M，易知点M的横坐标大于，点P的横坐标小于，作PHx轴于点H，QKy轴于点K，PH与QK交于点E，作QFx轴于点F，QFPE，MQF=QPE，在PEQ和Q

30、FM中，PEQQFM（AAS），EQ=FM，PQ=QM，设EQ=FM=t，点P的横坐标x=t，点P的纵坐标y=2yQ=5，点M的坐标是（+t，0），P在反比例函数图象上，即5（t）=6，解得：t=，P（，5），M（，0），则点P为所求的点P，点M为所求的点M13我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点D，AB为半圆直径，半圆圆心为点M,半圆与y轴的正半轴交于点C.（1）求经过点C的“蛋圆”的切线的表达式； （2）求经过

31、点D的“蛋圆”的切线的表达式；yCMA O B xD第13题图 （3）已知点E是“蛋圆”上一点（不与点A、点B重合），点E关于x轴的对称点是F，若点F也在“蛋圆”上，求点E的坐标.13、解：（1）由题意得：，. ， ， GC是M的切线， cos， ， ， ， 直线GC的表达式为. （2）设过点D的直线表达式为， ，或，或， ， 过点D的“蛋圆”的切线的表达式为. （3）假设点E在x轴上方的“蛋圆”上，设，则点F的坐标为. EF与x轴交于点H，连接EM. ， ， 点F在二次函数的图象上， ， 解由组成的方程组得：；.(舍去) 由对称性可得：；. ，. 14已知P（3，m）和Q（1，m）是抛物线y

32、=2x2+bx+1上的两点（1）求b的值；（2）判断关于x的一元二次方程2x2+bx+1=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线y=2x2+bx+1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值14、解：（1）点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等抛物线对称轴，b=4（2）由（1）可知，关于x的一元二次方程为2x2+4x+1=0=b24ac=168=80，方程有实根，x=1±；（3）由题意将抛物线y=2x2+bx+1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点

33、，设为y=2x2+4x+1+k，方程2x2+4x+1+k=0没根，0，168（1+k）0，k1，k是正整数，k的最小值为215如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2，AC，BD相交于点O（1）求边AB的长；（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G判断AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BECE），求CG的长15、解：（1）四边形ABCD是菱形，ACBD，AOB为直角三角形，且OA=AC=1，

34、OB=BD=在RtAOB中，由勾股定理得：AB=2（2）AEF是等边三角形理由如下：由（1）知，菱形边长为2，AC=2，ABC与ACD均为等边三角形，BAC=BAE+CAE=60°，又EAF=CAF+CAE=60°，BAE=CAF在ABE与ACF中，ABEACF（ASA），AE=AF，AEF是等腰三角形，又EAF=60°，AEF是等边三角形BC=2，E为四等分点，且BECE，CE=，BE=由知ABEACF，CF=BE=EAC+AEG+EGA=GFC+FCG+CGF=180°（三角形内角和定理），AEG=FCG=60°（等边三角形内角），EGA=

35、CGF（对顶角）EAC=GFC在CAE与CFG中，CAECFG，即，解得：CG=16已知：把RtABC和RtDEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上ACB=EDF=90°，DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm如图（2），DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向ABC匀速移动，在DEF移动的同时，点P从ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动当DEF的顶点D移动到AC边上时，DEF停止移动，点P也随之停止移动、DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0t4.5）解答下列问题：（

36、1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由；（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由16、解：（1）点A在线段PQ的垂直平分线上，AP=AQ；DEF=45°，ACB=90°，DEF+ACB+EQC=180°，EQC=45°；DEF=EQC；CE=CQ；由题意知：CE=t，BP=2t，CQ=t；AQ=8t；在RtABC中，由勾股定理得：A

37、B=10cm；则AP=102t；102t=8t；解得：t=2；答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；（2）过P作PMBE，交BE于MBMP=90°；在RtABC和RtBPM中，；PM=；BC=6cm，CE=t，BE=6t；y=SABCSBPE=；，抛物线开口向上；当t=3时，y最小=；答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上；过P作PNAC，交AC于NANP=ACB=PNQ=90°；PAN=BAC，PANBAC；，；NQ=AQAN，NQ=8t（）=ACB=90°，B、C、E、F

38、在同一条直线上，QCF=90°，QCF=PNQ；FQC=PQN，QCFQNP；，；0t4.5，；解得：t=1；答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上 17如图1，已知直线与抛物线交于点A（3，6）（1）求的值；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3） 如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足BAE=BE

39、D=AOD继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？17解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；6=3k，即k=2。（2）线段QM与线段QN的长度之比是一个定值，理由如下：如图1，过点Q作QGy轴于点G，QHx轴于点H当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，此时当QH与QM不重合时，QNQM，QGQH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，MQH=GQN。又QHM=QGN=90°，QHMQGN。当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。（3）如图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FCOA于点C，过点A作ARx轴于点

40、R。AOD=BAE，AF=OF。OC=AC=。ARO=FCO=90°，AOR=FOC，AORFOC。OF=。 点F（，0）。设点B（x，），过点B作BKAR于点K，则AKBARF。，即。解得x1=6，x2=3（舍去）。点B（6，2）BK=63=3，AK=62=4。AB=5。在ABE与OED中，BAE=BED，ABE+AEB=DEO+AEB。ABE=DEO。BAE=EOD，ABEOED。设OE=x，则AE=x （），由ABEOED得，即。顶点为。如图3，当时，OE=x=，此时E点有1个；当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个当时，E点只有1个，当时，E点有2个。18如图，

41、A、B是O上的两个定点，P是O上的动点（P不与A,B重合），我们称APB是O上关于A、B的滑动角.（1）已知APB是O上关于A、B的滑动角.若AB是O的直径，则APB= ；若O的半径是1，AB=，求APB的度数.（2）已知O2是O1外一点，以O2为圆心做一个圆与O1相交于A、B两点，APB是O1上关于A、B的滑动角，直线PA、PB分别交O2于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索APB与MAN、ANB之间的数量关系.18、题目中的滑动角就是弦AB所对的圆周角，则APB=AOB,求得角度；答案：（1）AB是O的直径，APB=900.图1图2 OA=OB=1, AB=OA2+

42、OB2=1+1=2=AB2AOB是直角三角形AOB=900.APB=AOB=450 (2)当P在优弧AB上时，如图1，这时MAN是PAN的外角，因而APB=MANANB；当P在劣弧AB上时，如图2，这时APB是PAN的外角，因而APB=MAN+ANB；19联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.举例：如图1，若PA=PB，则点P为ABC的准外心.应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=，求APB的度数.探究：已知ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长.19：解：若

43、PB=PC，连结PB，则PCB=PBC. CD为等边三角形的高. AD=BD，PCB=30°， PBD=PBC=30°，PD=DB=AB.与已知PD=AB矛盾，PBPC.若PA=PC，连结PA，同理可得PAPC.若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，ADB=60°.故APB=90°.探究：解：若PB=PC，设PA=x，则x=，即PA=.若PA=PC，则PA=2.若PA=PB，由图知，在RtPAB中，不可能，故PA=2或.20在直角坐标平面中，已知点A（10，0）和点D（8，0）点C、B在以OA为直径的M上，且四边形OCBD为平行四边形（1）求C点坐标

44、；（2）求过O、C、B三点的抛物线解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）判断：（2）中抛物线的顶点与M的位置关系，说明理由20：解：（1）如图，作MNBC于点N，连接MC，A（10，0）和点D（8，0）点M（5，0），点C、B在以OA为直径的M上，且四边形OCBD为平行四边形，M的半径为5，BC=OD=8，在RtMNC中，MC=5，NC=BC=4，MN=3，点C的坐标为（1，3）；（2）点C的坐标为（1，3），点B的坐标为（9，3），设过O、C、B三点的抛物线解析式为y=ax2+bx，解得：解析式为：y=x2+x，y=x2+x=（x5）2+，对称轴为x=5，顶点坐标为（5，）；（3）顶点坐标为（5，），点M的坐标为（5，0），顶点到点M的距离为，5抛物线的顶点在M外21如图，已知RtABC，AB=8cm，BC=6cm，点P从A点出发，以1cm/秒的速度沿AB向B点匀速运动，点Q从A点出发，以x cm/秒的速度沿AC向C点匀速运动，且P、Q两点同时从A点出发，设运动时间为t 秒（），连接PQ解答下列问题：（