4第14章勾股定理能力培优

1、第14章勾股定理14.1勾股定理专题一勾股定理与方程1. 如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3, AB=6，/ BCA=90 °在AC上取一点E,以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长 度为（）D.32. 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示正方形DEFH的边长为2米，坡角/ A = 30°/B = 90°,BC = 6米当正方形 DEFH运动到什么位置，即当AE =米时,有 DC 2 =AE 2 +BC2.专题二构造直角三角形3. 如图，在 ABC 中，/ A= 30° / B= 45°

2、 AC= 23，求 AB 的长.4. 如图所示，在 ABC中，已知 AB=13cm , AC=5cm , BC边上的中线 AD=6 cm，求BC.5. 如图，在四边形 ABCD 中，AB:BC:CD:DA=2:2:3:1，且/ ABC=90 °，求/ DAB 的度数.专题三勾股定理中的分类讨论思想6. 在等腰 ABC中，/ A=30° , AB=8，贝U AB边上的高 CD的长是7. 在厶 ABC 中，AB=15 , AC=13，高 AD=12，则 ABC 的周长为 .8. 在厶 ABC 中， AB=2 、. 5 , AC=4 , BC=2 ,以 AB 为边向 ABC 外作

3、 ABD ,使厶 ABD为等腰直角三角形，求线段 CD的长.状元笔记【知识要点】1. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a, b，斜边为c,那么a2，b2二c2.2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边 a，b，c，满足a2 b2 =c2，那么这个三角形是直角三角形【温馨提示】在直角三角形中知道任意两边都可以利用勾股定理求出第三边【方法技巧】1. 当图形中没有直角三角形时，有时可以通过作高构造直角三角形2. 判定一个三角形是直角三角形有两种方法：借助三角形内角和求出一个角是直角； 利用勾股定理的逆定理.参考答案1. C 【解析】 由折叠可知 BD=BA=6 , DE=AE.T BC=3,

4、二 CD=BC=3 ,二 BE=DE=AE，由_ 2勾股定理可得 AC=3 3，设 DE=AE=BE=x,在 Rt BCE 中，32 + 3 3 _x =x2，解得 x=2 3，即DE的长度为2 3 .142. 【解析】 因/ A = 30° / B = 90° ,BC = 6米，所以AC = 12米.设当AE为x时，所以3EC= 12-x，由 DC 2 = AE 2 + BC2 .及 DC2= DE2+ EC2，所以有 22+( 12-x) 2= x2 +36，解得：x =.33. 解：过 C 作 CD 丄 AB 于 D，/ ADC = / BDC = 90 °

5、V/ B= 45°/ BCD = / B= 45° CD = BD.v/ A= 30°， AC= 2 3，BD = CD =3由勾股定理得：AD = AC2-CD2 = 3， AB = AD + BD = 3 +3 .答：AB的长是3 +3 .4. 解：延长 AD至U E，使DE=AD，连接 BE.在厶ADC与厶EDB中./ AD=ED，/ ADC= / EDB，CD=BD， ADC EDB， EB=AC=5cm.在厶AEB中，/ AB=13cm， EB=5 cm， AE=2AD=12 cm ，2 2 2 AB =EB AE， / E=90 ° .在Rt

6、 BED中，由勾股定理得 BD nEB2 DE2 =$61，VE5. 解：连结 AC.设 AB、BC、CD、DA 分别为 2x, 2x, 3x, x,则AC2 =8x2, AD2 =x2,CD2 =9x2 ,2 2 2 AC AD =CD ,/ DAC=90 ° ,/ DAB=90 ° +45° =1354【解析】6.3(1)如图，当 AB=AC时,/ A=30° , CD=丄 AC= - X8=4;2 2(2)如图，当 AB=BC 时，则/ A= / ACB=30 ,/ ACD=60 ,/ BCD=30 ,1-BD= BC =4 ,2 CD= BC2-

7、BD2=4 3 ；(3)如图，当 AC=BC 时，贝U AD=4.设 CD=x，则 AC=2x.则(2x)2 -X2 =42，解得 x=故答案为4v3或4*3或4.7. 42 或32【解析】当厶ABC是锐角三角形时，如图，根据勾股定理可得 BD=9 DC=5, BC=14,此时当 ABC 的周长为 15+13+14=42.当厶ABC是钝角三角形时，如图，根据勾股定理可得BD=9 DC=5,. BC=9-5=4,此时当厶ABC的周长为15+13+4=32.8.解：T AC=4 , BC=2 , AB= 2 5 , AC2+BC2=AB2, ACB为直角三角形，/ ACB=90 ° .分

8、三种情况如图（1），过点D作DE丄CB,垂足为点E.易证 ACB BED，易求 CD=2 10如图，过点D作DE丄CA，垂足为点如图，过点D作DE丄CB，垂足为点易证 AFD DEB，易求 CD=3 2 .E.易证 ACB DEA，易求 CD=2 13 .E,过点A作AF丄DE ,垂足为点F. CD的长为2 10或2 13或3 2.=52（5二）22设路线1的长度为11，则= AC2AB2 AC2-25 2514.2勾股定理的应用专题 最短路径的探究1.编制一个底面周长为a、高为b的圆柱形花柱架，需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根，如图中的AiGBi, AzCB，,则每一根这样的竹条的长度最少

9、是 Bi6-12.请阅读下列材料：问题：如图(2)，一圆柱的底面半径为 5 dm高为BC是底面直径，求一只蚂蚁从 出发沿圆柱表面爬行到点 C的最短路线.小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的线段 AC.如下图(2)所示：路线2：高线AB +底面直径BC.如上图(1)所示：设路线 2 的长度为 |2，则 |22 二(AB AC)2 二(5 10)2 二 225.2 2 2 2l1 -12 =25 25二 -225 = 25二 2 -200 =25（二2 -8） 0|1 2 .所以要选择路线2较短.(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件 改成："圆柱的底面半径为 1dm,高AB为

10、5dn”' 继续按前面的路线进行计算。请你帮小明完成 下面的计算：路线 1： I： =AC2 =；路线 2： I22 =(AB+AC)2 =. Il22-l1l2（填或）所以应选择路线 （填1或2）较短请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r,高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短3.探究活动有一圆柱形食品盒，它的高等于188cm底面直径为 一 cm,ji蚂蚁爬行的速度为2cm/s.（1）如果在盒内下底面的 A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点 它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含根号）（2）如果在盒

11、外下底面的 A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点 它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计）B处的食物，那么B处的食物，那么参考答案1. a2 b2【解析】底面周长为a、高为b的圆柱形花柱架，如图每一根这样的竹条的长度最少是,a2 b2 .2 2路线 2 ： 12 =( AB+BC =49.2解：(1)路线 1: I i2=AC=25+n2 2/ I K I 2 , | 1V I 2,选择路线1较短.I 22= (AB+BC 2= (h+2r) 2,(2) I i2=aC=aB+ BC 2=h2+ ( n r)( r恒大于0,只需看后面的式子即可.4h 时，I2 2 2 2 211 -I 2 =h + ( n r) - ( h+2r) =rr= 2 /44h 口斗r >2 时,二-44h 口斗r V 2/时,42 21 =I 2 ；3解:(1)如图,n 2r-4r-4h