具非线性边值条件的热方程组解的全局存在性与爆破

1、第40卷第1期文章编号:043820479(2001)0120007205(,福建厦门361005)摘要Rn中有界区域8上具非线性边值条件的热方程组ut=u,vt=v,x8,0<t<T,=h1(t)up11vp12,=h2(t)up21vp22,x58,0<t<T,nnu(x,0)=u0(x)>0,v(x,0)=v0(x)>0,x8正解全局存在的充要条件为0<1,这儿hi(t)=(t+t0)i或eit(i=1,2),t0>0,pij0,(1+p12-p22)>0.p12 p210,i为任意实数,=p11+bp12,b=(1+p21-p11)

2、关键词:热方程组;非线性边值;全局存在性;爆破中图分类号:O175.26文献标识码:A研究如下热方程组的初边值问题ut=u,vt=v,x8,0<t<T(1)=h1(t)up11vp12,=h2(t)up21vp22,x58,0<t<Tnnu(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x8_其中8是Rn中的有界区域,其边界58C2,n是边界58上的单位外法向量,常数pij0(i,tj=1,2),且p12 p210,hi(t)=(t+t0)i或ei,i为实数,t0>0,u0(x)与v0(x)为正的1C(8)函数且满足相容条件.近几年来,具非线性边值条件的抛物方程

3、组的全局存在性及爆破问题逐步引起人们的注意并有不少很好的结果.当p11=p22=0时,文献1证明,若p12p211时问题(1)的非负解全局存在,而当p12p21>1时解必在有限时刻爆破.当i=0(i=1,2)时,文献2,3证明解整体存在的充要条件:p111,p221,D0=(1-p11)(1-p22)-p12p210(2)本文着重考察i0的情形.对有界区域8上ut-u=h(t)up的第一初边值问题,文献4证明,因子h(t)=t(>-1)对解的全局存在性及爆破不会产生影响,但h(t)=et(>0)却收稿日期:2000204225基金项目:国家自然科学基金资助项目(1977106

4、9)作者简介:杨世(1946-),男,副教授.(自然科学版)2001年厦门大学学报8(>1).对于问题(1),我们应用文献5的1不变流形思想,通过实际构造上解与下解,证明因子hi(t)不论是(t+t0)i或eit且i可以为任意实数,对解的全局存在性及爆破性质均不产生影响.记-1(1+p12-p22),b=(1+p21-p11) b=b,=p11+bp12,=bp21(3)假定b>0.因此>0,>0且>1>1.应用压缩映像原理易证,问题(1)存在局部解.()b(=-a引理15设a=b-1 1+p12-p22.S=0,0是下使相应的Fujita指数由p3=1漂移

5、至p3=1+列问题的不变流形p1112)21=SRn)0,(0)=0(4)S.也即,若(,0,0)S,则(引理25问题(4)的非负解当0<1时全局存在,而当>1时必在有限时刻爆破.定理1若0<1,则问题(1)的正解全局存在.证为避免重复,仅讨论hi(t)=eit(i=1,2)情形.记M0=max(mu0(x),)为相应的问题(4)的正解,则()全局存在mv0(x).取(M0,M0)(,0,0)S.设()S.同时,易证,当且仅当s+时,(s),(s)+且(,.设h(x)C2(8)为下列问题的正解h=k(=(5)=1,x58n且m(h(x)+ h(x) )L,h(x)h0>

6、0=em2t(g(t)+epth(x)令u=em1t(g(t)+epth(x),v其中正函数g(t)及常数mi>0(i=1,2)与p待定.显然,u(x,0)8时,有0uo(x),v(x,0)0vo(x),x8.此外,当x5pp=e(m1+p)-(m1p11+m2p12)u11v12n()()p21p22=em2+p-m1p21+m2p22uvn取m1,m2使m1+p-(m1p11+m2p12)=1(6)()m2+p-m1p21+m2p22=21)当0<<1时(1+p12-p22),1-=D0 (1+p21-p11),故D0>0.由式(6)此时,因1-=D0 ),x8 8

7、解得m1=(1-)(1-)m2=(1-p11)2+p211 D0-p p22)1+p122 D0-(1-p (7)第1期杨世:具非线性边值条件的热方程组解的全局存在性与爆破9取p<0且 p 充分大,可使mi>0(i=1,2).因此有1tp11p12pp=euv,=e2tu21v22nn)S及0<<1,直接计算知由(,mt-1(s)g(t)-c1(ut-ue1+1)0t-vem2t-1(s)g(t)-c2(v+1)0-ci为正常数.取c0=max(c1,c2),令g(t)=c0(t,0ut-u0,vt-v0pt这说明(u,v)是问题(1同时,时,s=g(t)+eh(x)+

8、.所以(u,v)21此D0=0,且b=,=,=p121p12-p221+p21p111+p12-p22取p=,则方程组(6)有无数组1+p21-p111+p12-p221+p21-p11解,且1+p12-p22因此,取m1>0充分大,可保证m2>0.仿前亦有1tp11p12pp=euv,=e2tu21v22nnm1t(S)(g(t)-c3e2 p t)ut-uet-vem2t(S)(g(t)-c4e2 p t)vm2=bm1+ci(i=3,4)为正常数.取c5=max(c3,c4),令g(t)满足(t)=c5egg(0)=02 p t由此解得g(t)=(e2 p t-1)(p0);

9、g(t)=c5t(p=0).因此,(u,v)确为问题(1)的上2 p解.至此定理得证.定理2若>1,则问题(1)的正解必在有限时刻爆破.证记m0=min(mu0(x),mv0(x).取(0,0)S且0<0,0)是0.设(,2)S且在有限时刻爆破相应的问题(4)的正解,由引理1及引理2知,(,.令ptmtpt-u=em1t(g(t)+eh(x),-v=e2(g(t)+eh(x)其中0<<1,p>0与mi为待定常数,g(t)>0为待定函数,h(x)为问题(5)定义的函数.类似于定理1的证明知,取mi如式(7)所表达,则有tpptpp=e1-u11-v12e1-u

10、11-v12ntpptpp=e2-u21-v22e2-u21-v22n直接计算,可得(自然科学版)2001年厦门大学学报10(s)g(t)+(pL-K)eptm1em1t(s)+em1tt(s)g(t)+(pL-K)eptm2em2t(s)+em2ttpt)S,故其中s=g(t)+eh(x).因(,b(s)=ap12(s)=a-p21 (s),由此得1-1-1-1-(s)=(s-(-1)ap12s0从而有1-a-(s)(s-01-b1-(s)ap21 (s)ap21s)0把式(9)(8),得(8)-1)a-p21 bs+(9)1-(s) m1 a-p12(t)+(Lp-K)ept-uem1t+

11、g0tb1-(s) m2 ap21 (t)+(Lp-K)ept-vem2t+g0t令p=>0,记K0=max( m1 a-2L2t(t)=geL-K0p12(10)1-b1-),并令g(t)满足, m2 ap21 002(11)g(0)=0则必有-u0,-v0.由式(11)解得ttt(12)g(t)=L(e2L-1)-K0t显然,当t+时有g(t)+,s+.因此,只要能证明-u(x,0)u0(x),-v(x,0)v0(x),x8,则(uv)为问题(1)的下解,且它在有限时刻爆破,定理2就得证.-,-因,连续且0<0,00,故存在s0>0,使得当0ss0时有0<(s)m0

12、,2).此时对x8有L0<(s)m0.取>0充分小,使0<<min(1,-u(x,0)(L)m0u0(x)-v(x,0)(L)m0v0(x)定理2证毕.注条件0<1隐含着p11<1,p22<1.同时,由于1-=1+p12-p22,必有D00.若允许p12=0或p21=0,则有p11=1或p22=1,此时问题(1)其实可以化为单个方程的情形考虑,因此,条件0<1与式(2)是等价的.第1期杨世:具非线性边值条件的热方程组解的全局存在性与爆破11参考文献:1DengKeng.Globalexistenceandblowupforasystemofhea

13、tequationswithnon2linearboundarycon22王明新.一类带非线性边界条件的抛物型方程组J.科学通报,1994,39(2):2017-2.3RossiJD.Onexistenceandnonexistenceinthelarge,foranN2dimensionalheatequationswithnontrivialcouplingattheboundaryJ.NewJ.ath.,(285.4.,1990,MeierP.Onthecriticalexponentforreaction2diffusionJ.A.nal109(1 2):63-71.5LuG.Glob

14、alexistenceforlicsystems:aCauchyproblemJ.,11.NonlinearAExistenceandBlow2upforaSystemofHeatEquationswithNonlinearBoundaryConditionsYANGShi2xin(Dept.ofMath.,XiamenUniv.,Xiamen361005,China)1fortheglobalAbstract:Itisprovedthatthenecessaryandsufficientconditionis0<existenceofpositivesolutionstothefollowingheatequationswithnonlinearboundarycondi2tionsinaboundeddomain8inRnut=u,vt=v,x8,0<t<T=h1(t)up11vp12,=h2(t)up21vp22,x58,0<t<T,nnu(x,