273垂径定理含答案

1、27.3垂径定理:知识提要：1. 圆的对称性圆是轴对称图形.任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.2. 圆的相关概念弓形由圆的弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.3. 垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧.说明 在圆中？当条直线：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；V4）平分弦所对的弧（包括优弧 和劣弧）.在这四种关系中？只要有两种关系成比.则其余两种关系也成立 .其中当成立时.注意只 有在这条弦不是直径的情况下 .才有（2>、（ 4）成立.解题指导：例1OD图/2）7甥-13D示，已知-：（7OO申.？0的半径为=30。弦AB =

2、2V3,OC 丄AB, “二|垂足为山的履蛙,解 丁的半C又 V AB = 2 始.:.BD=>/3.在 RtAODfi中.OB = 2.BD=vA.图 27-8又?/ C) B=OA. :. ZA = ZB=30 ° .在厶 AOB 中，*.? ZA + ZAOB+ZB=180.I ZAOB=180 °-30 °-30 °120°.例2 “圆材埋壁”是我国古代数学著作九章算术中的一个问题.“今有圆材.埋于壁中，不知大小.以锯锯之.深一寸.锯道长一 尺， 问径几何？”用数学语言表述是：“如图27-9所示.CD为?0的直径，弦AB丄CD,垂

3、足为E,CE =1 寸* .AB=10寸，求直径CD的长解连接OA.':（X?丄 AB. 0 为圆心.I AE=BE.又？.*AB=10.:.AE=5.在 Rt/XAEO 中,设.40= X 寸，贝U E () = v.r 1 )寸.根据题意，得52+ （ t-1 ） 2=j-2.解方程，得.r=13.CD = 2X 13 = 26(寸)方法指导：圆的垂径定理.在圆内蕴含多个直角三角形，而直角三角形的边又满足勾股定理，这在解题中是常用的.基础训练1. 如图，AB是？0的直径，弦CD丄AB.垂足为E.根据垂径定理可得：CE= ,Ac= , BC= .2. 在00中.弦AB长为24,弦心距

4、为5,则?0半径为 3. 若圆内弦AB丄CD于点E,AE长为5,BE长为13,则圆心到弦CD的距离为 .4. 在？0中.弦AB = 24,弦CD=10,AB弦的弦心距为 5,则CD弦的弦心距为.5. 如图，已知 AB是？0的弦，直径CD丄AB,垂足为E/A0B = 100°,AB=12 厘米，连接 BC.（1）求AE的长；（2）求Z0CB的度数.£（第1题）拓展练习:1. 如图，？0半径0A = 5,延长弦AB到C.C0交00于点D, 0C= 8, ZC= 30，求AB的长.2.如图，在弓形门中，跨度 AB=4米，弓高CD=1米，求弓形门的半径.A图 27 10解题指导例3

5、如图27-10所示，已知在 00中，弦AB和弦CD的延长 线交于 点E,P、Q分别是知、的中点，00半径为2,PQ=2箱，求ZAEC的度数.解连接P0.Q0交AB、CD于点F、G.过点0作0H丄PQ, H为垂 足，:.PH = yPQ=yX2V3 =V3,P 0 丄 AB,Q()丄 CD.在 RtAOHP 中，0H=/9严戸川=7夕一(箱尸=1.?0P=2? OH = 1 ? ZP = 30 . °又? OP = OCT ? ? ZQ=ZP = 30 ° ?:.Z P0Q=80 ° 一 30° -30 ° = l 20 . °在四边形

6、0GEI中9I ZP0Q+Z0GE+Z0FE+360。，? ?120 +90 +90 +Z E= 360 . °A 乙 E=60。，即卩 Z AEC= 60。.例4如图27-11所示的半径为5厘米,A*、CD是?0的两条平行弦,AB = 8厘 米? CD=6厘米.求AB与CD之间的距离.图 27-11解过0点作0E丄C0,垂足为E.E0或其延长线交于点 F,则OF丄AB.连接OD、0B由垂径定理，得CE=ED乂 ? CD=6 厘米，? DE=3 厘米.同理，得 AB=8厘米，? BF=4厘米.在RtAOED中.V DE=3厘米，0D=5厘米，A 0E=4厘米.在RtAOFB中，0F=

7、3厘米.如图 27-11(1)所示，EF=EO-FO=4-3 = 1(厘米).如图 27-11(2)所示? EF=EO+FO=4 + 3 = 7(厘米).所以平行弦 AB和CD之间的距离为1厘米或7厘米.方法指导：在本章圆中，很多题目有两解，解题时容易漏解，主要是平行弦可能在圆心的同侧，也可能在圆心的两侧，而在题目中没有注明，这一点应引起注意基础训练1. 已包20的直径为10吃厘米，点 0到弦AB的距离是AB的一半.则AB =厘采.2. 在 20 = ?直径 AB 和弦 CD 相交于点 P,且/APC=3C° ,AP=2,PB = 6,贝U CD =（第6题）3. 已知圆的直径为15

8、厘米.半径0A丄OB , ZOAC= 60° ,AC交OB延长线于点C.交圆于点D,则CD长为 厘米.4. 已知圆的半径为R,弦把圆分成的两条弧的比为 1 : 2,则弦AB长为.5. 已知圆的半径为6厘米，弦AB长为6凰米.则乔中点到弦AB的中点的距离为厘米.6. 如图，已知在00中，弦AP和弦BP.C、D分别是內、內的中点.弦 CD交AP于点E,交BP于点F.求证：PE=PF.拓展练习：1. AB.CD是半径为25的?0内的两条平行弦,AB = 40,CD = 48.求这两条平行弦之间的 距离.2. 如图.若?O半径为5.P是OO外一点.PO= 8.Z0PA = 30".

9、求PA和PB的长.（第2题）3. 如图，AB是(DO的直径，CD是弦，若AB=10, ( : D = 8,求A、B两点到直线CD的 距离之1. AB=PF-CF,PA = PC.'本题证两直角三角形全等是关键然后用等屋减等量其差相?0的直径，弦CDJ AB于点EE=9,EB=】6,则CD解题扌,A (: =,BC-.2. 女例图5在半径为l2厘所示的已知卩|!?0径中Ej垂直于弦ABDC垂足为D,BC=4厘米，贝U ABA厘来.点、P,若 AB=CD求证；PAWPC73. 在证明屮过点Otoe为 如图V已AB?O的肖径CD恩已知豔和G笋仝屮过弦BC作垂直平分于径eOF丄若CBC于点腭b

10、则?Op的周长F ae=CF垂于弦AB.垂足为P, J1 AP = 4, 中仝 Rt/SOFP.77图 27-12:.PE=PF.5.如图，在？0中，过圆周上一点 A作弦AB和AC，且AB = AC.M,N分别为弦.4B .AC的中 点，连接MN并延长交？0于点Q,反向延长交？0于点P.求ill: PM-NQ.（第5题）拓展练习:1.2.如图，AB是半？（）的直径，C是半圆预'的中点，D是CO的中点.弦EF AI3.求XABE 的度数.圆内接等腰三角形ABC中，圆心0到底边BC的距离为3厘米.圖的半径为5厘米.求 腰长 AB的值.如图，已知圆心 0第在矩形AI3CD的边BC 上, 00

11、与AD.BC ；分别交于点E、F,AP = 4,BF=3,AE = 5,求题X）的直径.题）练习题：- 填空题1-在（；）0屮，弦AB = 8厘米，弦心距0C -3厘米，则该圆的半径为厘2. ?0的半径0A = 6,0A的垂直平分线交？）0于点B、C.那么弦BC的长为 .3. 在？0中.弦AB与AC相等，ZBAC= 120° ,AB = 3厘米，则（DO的直径为 厘米.4. 已知.AB是？0的弦，ZAOB = 90 ° ,?0的直径为10厘米.则圆心O到AB的距离为厘米.5. 在?0中，弦AB = 24.弦CD=10.若圆心到AB的距离为5.则圆心到CD的距离为二、选择题6

12、. 弓形的弦长为6厘米，弓形的高为2厘米，则弓形所在圆的半径为（）.（A）备厘米（B）芽厘米（C）夢厘米（D）备厘米7. AB是？0的直径，弦BC=4.则弦AC的弦心距是（A）1（B）2（C）3（D）4三、解答题&如图.AB是?0的直径，弦CD交AB于点E.ZCEA = 45° ,0F丄CD,垂足为F,DE= 7厘米,OF=2用米，求CD的长.（第8题）如图.M、N分别是弦 AB、弦CD的中点，且 AB = CD,求证:ZBMN = ZDNM.（第9题）10.女口图与？02是等圆,M是00的中点，过点M任作一直线分别交001于A、B两点，交？O? 于C、D两点.求证：励=3.27.3 垂径定理答案基础训练（一）DE AD BD2. 13 3. 4 4. 125. （1 ）AE=6 厘米； （2） ZOCB=65°拓展训练（一）1. AB=6 2. 弓形门的半径为号 ?米 基础训练（二）1. 10 2. 2 3.4-血 R5. 6 "或 6 + 3 松6. 提示：连接（XJ、OD?可证0C丄AP于点GOD丄BP于点H 拓展训练（二）6 基 础训练（三）1. 8或22 2. PA = 4箱+3? PB=4箱一 3 3. A、B两点到直线 CD的距离之和为1.241520 2. 715-V3 3. 4兀4.圆0的半径为5厘米5.提示：作