历年高考理科数学真题分类汇编之圆锥曲线(含解析答案)

1、历年高考理科数学真题分类汇编之圆锥曲线(含解析答案)、选择填空【2011新课标】7.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A,B两点，|AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(B )(A) 22(B)币(C) 2(D) 3【2011新课标】14.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点 鸟下2在x轴上，离心率为 叵。过l的直线 交于A,B两点，且AB&的周长为16,那么C的方 2222程为巳+匕=1。168223a【2012新课标】4.设F1F2是椭圆E:与+y2=1(aAbA0)的左、右焦点，P为直线x = ab2上一点， F2PF1是底角为30

2、T勺等腰三角形，则E的离心率为(C )1 2(A) (B)，C) (D)2 3、【解析】& F2PF1是底角为30的等腰三角形-LL L 3、八C 3= PF2 = F2F1 =2( a-c)=2cu e = .二 2a 4【2012新课标】8.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点，'AB=4j3;则C的实轴长为( C )(A)、2 (B) 2.2 (C) ： (D)只【解析】设 C: x2-y2 =a2(a >0)交 y2 =16x 的准线 l :x = 4 于 A(4,28)B(-4-2V3)得：a2 =(-4)2-(2、

3、.3)2 =4= a =2= 2a =4 22rx y、5,【2013新课标1】4.已知双曲线Cg g=1(a>0, b>0)的离心率为？，则C的渐近线方程为(C ),1一 ， 1一 ， 1一A y=±；x(B) y=±-x(Q y=±-x(D) y=±x432解析由题知，c =,即5=a2罢，.b2=1, 一=J, . C的渐近线 a 24 a aa 4 a 2方程为y =±1 x ,故选C .2第10页共29页【2013新课标11210、已知椭圆ta椭圆于A B两点若AB的中点坐标为(1 ,1),则E的方程为2245 3622j

4、j27 182 x18【解析】设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 x +x2 =2,Vif= 2,22x y 有-2 + 2 =1a b22x221 2a b一得(Xi X2)(Xi -Xz) (Yi Y2)(Yi - y2)2八a22_ Y1 -y2 _ b (X1 X2) _b-kAB 2；: = 2X1 -X2a (y1Yz) a0,-0 11,又 kAB =-3-1 222(又 9=c2=a2-b2,解得b2 =9,a2 =18, 椭圆方程为 左十七=1,故选189D.【2013新课标2】11.设抛物线若以MF为直径的圆过点A. y2 = 4x 或 y2 = 8xC. y

5、2 = 4x 或 y2 = 16x(0,2),BC: y2= 2Px(p>0)的焦点为 则C的方程为(C ) .y2 = 2x 或 y2 = 8x.y2 = 2x 或 y2=16xF,点M在C上,|MF = 5,2y 卜b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线父【解析】设点M的坐标为(x。，y。)，由抛物线的定义，得| MF=x°+： =5,则x°= 5-.又点F的坐标为，匕0 所以以mf为直径的圆的方程为(x&)，x-卫j + (yy0)y = 0. 2.22将 x = 0, y = 2 代入得 px0 + 8 4y0=0,即

6、y4y0+ 8=0,所以 y0=4.2由 y02 =2px0,得 16=2p15p I,解之得 P = 2,或 p=8.所以C的方程为y2 = 4x或y2= 16x.故选C.【2013新课标 2】12.已知点 A1,0) , B(1,0) , C(0,1),直线 y= ax+b(a>0)将4ABC分割为面积相等的两部分，则 b的取值范围是(B ).lU2,11A. (0,1) Bl22J C .I23- Dj32J【2014新课标1】4.已知F为双曲线C: x2-mY=3m (m>0)的一个焦点，则点F到C 的一条渐近线的距离为(A )A. 3B. 3C.3?D.3m22【解析】双

7、曲线C: x2 - my=3m （m>0）可化为匚二，3m 3一 一个焦点为（V3rn+3 , 0）, 一条渐近线方程为篁+不¥=0,点F到C的一条渐近线的距离为 专运班.故选：A.Jl+tn【2014新课标1】10.已知抛物线C: y2=8x的焦点为F,准线为l , P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若而=4而，则|QF|= （ B ）A. 7B. 3C.522D. 2【解析】设Q到l的距离为d,则|QF|=d,. FP=4FQ, /. |PQ|=3d,直线PF的斜率为-2血，VF （2, 0）,直线PF的方程为y=-2（x-2）,与 y2=8x联立可得 x=1,|Q

8、F|=d=1+2=3,故选：B.【2014新课标2】10.设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则a OAB勺面积为（D ）B.983 C.32 D.(【2014新课标2】16.设点Mx0,1 ），若在圆O:x2+y2 =1上存在点N,使得/ OMN=45 ,则Xo的取值范围是 -1,12【2015新课标11 5.已知M （xo,y。）是双曲线C: 上 y2=1上的一点，R、F2是C上2的两个焦点，若 叫 ,MK<0,则yo的取值范围是（A2、2(C) (-32、, 23(D)(-友3由题如耳（-后0）用后0）.4一月=1,

9、所以丽国【解析】2'-（£ - 3加" 三品+'-3 = 3"M。，解得一餐外（故选A22【2015新课标1】14. 一个圆经过椭圆 上+幺=1的三个顶点，且圆心在x轴上，则该164圆的标准方程为（x±g）2+y2=25。 243【解析】设圆心为(a, 0),则半径为4_|a|,则(4|a|)2=|a|2+22,解得a=±,故圆的方程为(x-)2y2 =25。 24【2015新课标2】7.过三点A (1,3) , B (4,2) , C (1,-7)的圆交于y轴于M N两点，则附M|=( C )(A) 2,6(B) 8r8析厂一

10、丁一(C) 4(D) 10由已知得 Ao = =,-温 143 a4-1=3，所以工泅与E=1，所以“仍即a为直角三角形，其外接心为半径为5,所以外接图方程为0-l>+a + 2)： = ",令工=0,得v = ±2质一工-所以=乐而.故选C.【2015新课标2】11.已知A, B为双曲线E的左，右顶点，点M 在E上，？ABMfe等腰三角形,且顶角为120。，则E的离心率为(A) V5(B) 2(C) V3(D)72薜丽一,J1JI，； !设双曲线方程为m1r = 13 > 0= 5 >。)，如图所示，|回=眼|,乙4gr =120%过煮£作期年

11、_工pWj轴，垂足为",在KfdAHN中，|月川二g |期川=岳，故点处的坐标为代入双曲线jnil方程得口' = 5'广+即心*=2#+所以£=J5d故选D.J22【2016新课标1】5.已知方程 一-T=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的 m n 3m - n距离为4,则n的取值范围是( A )(A)( - 1,3)(B)( -1,3)(C)(0,3)(D)(0,V3)1 n 0【解析】由题思知：m +n+3m -n=4,解得m =1 ,二W ,解得-1<n<3,3-n 0故A选项正确.【2016新课标1】10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交 C

12、于A、B 两点，交c的标准线于n e两点.已知|AB=4V2, |DE|=275, 则C的焦点到准线的距离为(B )(A)2(B)4(C)6 (D)8【解析】令抛物线方程为y2 =2px,D点坐标为（R , J5）,则圆的半径为r=J2_ + 5, 2. 43 ,解得p = 4 ,2-2r2 -8 = 2-3 ,即A点坐标为()匕3, 2衣)，所以(2V2)2=2p4- 4故B选项正确.【2016新课标2】4.圆x2+y2 2x 8y+13 = 0的圆心至IJ直线ax + y-1=0的距离为1,贝IJa= （ A ）,43(A)(B) -4(O 翼(D) 2342 222【斛析】圆x +y -

13、2x8y+13=0化为标准方程为：(x 1) +( y4 ) =4 ,一一 .，, a 4 -1 , 二一 4 一,故圆心为（1，4 ）, d=1 2，解得a=-钎故选Aa 1322【2016新课标2】11.已知F1, F2是双曲线E：与与=1的左，右焦点，点M在E上,a b,则E的离心率为（A1MF1 与 x 轴垂直 sin Mmf2Fi= 3(A)2（B）2(O 3(D) 2【解析】离心率e =F1F2MF2 -MF1,由正弦定理得F1F2 e =MF2 -MF1sin Msin F1 - sin F222"V1-13选A.22【2016新课标3111.已知O为坐标原点，F是椭圆

14、C:2+*=1（a>b>0）左焦点，A、B分别为C的左、右顶点，P为C上一点，且PF±x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M与y轴交于E,若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ A ）A 1C 1c2-3（a）3（B）2（C）3（D）43 234【2016新课标3116.已知直线l : m杆y = 3m-43 = 0与圆x2+y2= 12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴并于C D两点，若|AB=2<3,则|CD=4【2017新课标1】10.已知F为抛物线C： y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l 1, %,直线l1与C交于A、B两点，直线l2

15、与C交于D E两点，则|AB+| DE的最小值为（A）A. 16B. 14C. 12D. 1022【2017新课标1】15.已知双曲线C： x2_y2=i (a>0, b>0)的右顶点为A,以A为圆 a b心，b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于 M N两点。若/ MAN60。，则C的离心率为2/3。-322【2017新课标2】9.若双曲线C:勺12 = 1 (a>0, b>0)的一条渐近线被圆 a b(x-2 2+y2又二.椭圆会十y-1与双曲线有公共焦点，易知c = 3,则a2+b222由解得卮则双曲线C的方程为、十:1,故选22【201硒课标3】10.已

16、知椭圆C:=+4=1 (a>b>0)的左、右顶点分别为A , A2 ,a b=4所截得的弦长为2,则C的离心率为( A )A. 2B.用C . V2D.空322【解析】双曲线C:三亏-。=1 (a>0, b>0)的一条渐近线不妨为：bx+ay=0,|aZ| |b|圆(x 2) 2+y2=4的圆心(2, 0),半径为：2,双曲线 C: -=1 (a>0, b>0) b的一条渐近线被圆(x-2) 2+y2=4所截得的弦长为2,可得圆心到直线的距离为：匠彳二心二尸1 2,解得：生字可得e2=4,即e=2.故选：A. V a +bc【2017新课标2】16.已知F是

17、抛物线C: y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则FN|=6.【解析】抛物线C: y2=8x的焦点F(2, 0) , M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若 M为FN的中点，可知M的横坐标为：1,则M的纵坐标为： |FN|二2|FM|=2 ., ._ ： - 11 -=6.225【201硒课标3】5.已知双曲线C:与-与=1 ( a >0 , b >0 )的一条渐近线方程为y=x, a b222且与椭圆竽卜有公共焦点.则C的方程为(B22A, 土-工=18 1022x y /B. - - =145【解析】二双曲线的一条渐近线方程为22C,

18、 土-上=1 I54yj,则2=近2a 2D.B.且以线段A A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为（ AA.唾B.算C. -2D. 1【解析】:以AA2为直径为圆与直线bx-ay +2ab =0相切，.圆心到直线距离d等于半径，2ab d = =a , X a >0,b >0 ,则上式可化间为 a =3b a2 b2.b2=a2c2,可得 a2=3（a2c2）,即 J =2/. e=6,故选Aa 3a 3【2018新课标11 8.设抛物线C： y2=4x的焦点为F ,过点（2, 0）且斜率为的直线与 3C交于M , N两点，则而向二（）A. 5B. 6C.

19、 7D. 8【答案】D2【2018新课标1】11.已知双曲线C: 2y2=1 , O为坐标原点，F为C的右焦点，过F3的直线与C的两条渐近线的交点分别为 M , N .若4OMN为直角三角形，则MN| =（ ）A. 3B. 3C. 2、3D. 42【答案】B22【2018新课标2】5.双曲线 与-%=1（a>0,b>0）的离心率为£,则其渐近线方程为（） a bA. y =±<2xB. y=±V3xC. y = x D . y =±3x【答案】A22【2018新课标2】12.已知Fi, F2是椭圆C: x2+乡=1（ab>0）的左

20、，右焦点，A是C的 a b左顶点，点P在过A且斜率为 也的直线上，PF1F2为等腰三角形，/FiF2P=120、则C 6的离心率为（A. 2b2D.【答案】D【2018新课标316.直线x + y+2=0分别与x轴，y轴交于A,（x-2 2+y2=2上，贝U &ABP面积的取值范围是（）B两点，点P在圆A. 12 , 6B. k, 8【答案】A22【2018新课标3】11.设FF2是双曲线C：与_4=1(a>0,b>0 )的左，右焦点，Oa b是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为 P .若PF1 =J6|OP ,则C的离心率为()A. ,5B. 2C. 3D.

21、,2【答案】C【2018新课标3】16.已知点M(-1, 1例抛物线C： y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A , B两点.若/ AMB =90) 贝U k =.【答案】2二、解答题【2011新课标】20.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1) , B点在直线y = -3 上，M点满足MBOA MA?AB = MB?BA, M点的轨迹为曲线 C。(1)求C的方程；(2) P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点至山 距离的最小值。【解析】(1)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以识=(-x,-1-y ), MB 二(0,-3-y),为口x,

22、-2).由题意得知(而+ D) ?标=0，即(-x,-4-2y ) ?(x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y=1 x2 -2.4设P(x0,y 0)为曲线C： y=lx2-2上一点，因为y'=1x,所以l的斜率为x04221因此直线 l 的方程为 y-Yo=-Xo(x-Xo),即 XoX -2y+ 2y0 -x =0。122 i贝U。点到 l 的距离 d =|2y。x0|.又 y° =1x；-2 , .x2 474'当x02=0时取等号，所以。点到l距离的最小值为2.【2012新课标】20.设抛物线C:x2 =2py(p >0)的焦点为F ,准线为l , AC

23、 ,已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B,D两点；(1)若/BFD =900 , MBD的面积为4v2 ;求p的值及圆F的方程；(2)若A, B, F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求 坐标原点到m, n距离的比值。【解析】(1)由对称性知：ABFD是等腰直角,斜边BD =2p11点 A 到准线 l 的距离 d =|FA =|FB| =y2p , S&BD=4j2u 2TBD.xd=4j2y p = 2圆F的方程为x2 +(y-1)2 =82(2)由对称性设 A(X0X0-)(Xo >0),则 F(0,R)2p222点 A,B 关于点 F 对称得：

24、B(-%,p-x°)= p-x0 =-pu x2 = 3p22p2p23p p得：A(J3p,3p),直线 m:y = 2L2x+pu x-V3y2、,3p 222xx =2py = y = 2p直线 n : yE =立(x -p)：= x_、3y_-p = 0 6336坐标原点到m,n距离的比值为 由匕 叵 =3。26【2013新课标1】20.已知圆M (x+1)2 + y2=1,圆N: (x-1)2+y2=9,动圆P与圆M 外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线Co(1)求C的方程；(2) l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A, B两点，当圆P的半径 最长时，求|AB

25、|.【解析】由已知得圆M的圆心为M (-1 , 0),半径1=1,圆N的圆心为N (1,0),半径 r2=3.设动圆P的圆心为P ( x , y ),半径为R.(1)二.圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切， . |PM|+|PN|= (R+r1)+(r2 R)=r1+r2=4,由椭圆的定义可知，曲线 O以M, Nfe左右焦点，场半轴长为2,短半轴长为J3的椭圆22(左顶点除外)，其方程为 亍+5=1(x¥-2).(2)对于曲线Ch任意一点P (x, y),由于|PM|-|PN|= 2R-2<2,RC 2,当且仅 当圆P的圆心、为(2, 0)时，R=2.当圆P的半径最长时，其

26、方程为(x2)2+y2=4,当l的倾斜角为900时，则l与y轴重合，可得|AB|= 273.当l的倾斜角不为900时，由ri w心口 l不平行x轴，设l与x轴的交点为Q则也勉=R,|QM | r,可求得Q (-4, 0) , 设l： y=k(x+4),由l于圆Mf目切得3kL = 1 ,解得k = ±Y2.,1k2422 v2 0当卜二%时，将y = *x + &代入 L+L=i(x#2)并整理得7x2+8x-8 = 0,解得K2 4443="4 6 2 , . |AB|= .1 k2 |xi -x2 | = 18 .当k=，时，由图形的对称性可知|AB|= 180

27、 综上，|AB|= 18或|AB|= 273.22【2013新课标2】20.平面直角坐标系xOy中，过椭圆M 三十多=1(a>b>0)右焦点 a b的直线x + y-T3 = 0交M于A, B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为1.2求M的方程；(2) C, D为M上两点，若四边形 ACBD勺对角线CDLAB,求四边形ACBD0积的最大化 【解析】2222(1)设 A(x1, y), B(x2, y2) , P(x0, y0),贝与=1, 绮 +咚=1, 12sli 二 一1,a b a bx2 - x12,由止匕可得 2 x2 = - =1. 因为 x1+x2 = 2x0, y

28、+ y2= 2y0, -y0 = 一,a y2 yx2 - xx0 2所以a2=2b2.又由题意知，M的右焦点为(V3, 0),故a2b2= 3.22因此a2=6, b2=3.所以M的方程为 人+匕=1.63(2)由x y ：,3 : 0,22L+Jl63,4 3x 二解得 3 _3 y1,x = 0,或 .y = 3.因此| AB由题意可设直线CD的方程为y = x + n 一？叵< n c曲,I 3 J设 qx3, y3), 口X4, v4 .工y = x n,2-由! x2 V2 得 3X2+ 4nx+2n2 6=0.于是 xl 2n ±219 >).土 上=136

29、3因为直线CD的斜率为1,所以| CD= J2|x4 x3 |=J9 n2 .3由已知，四边形 ACBD勺面积 S=1|CD | 1 AB| = 8、6 ,：9-n2 .29当n = 0时，S取得最大值，最大值为 他.所以四边形ACBEH积的最大值为 选.33【2014新课标1120.已知点A (0, - 2),椭圆E: -+=1 (a>b>0)的离心率为学,F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为公，O为坐标原点.31(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P, Q两点，当OPQ勺面积最大时，求l的方程.【解析】(1)设F (c, 0),二.直线AF的斜率为名旦,3又b2

30、=a2 c2,解得a=2,又1.二椭圆E的方程为，+/2二1； 3 L4(2)设P (Xi, y1), Q (x2, y2).由题意可设直线l的方程为：y=kx-2.联立、y=kx - 2Lx2+4y2=4,化为(1+4k2) x2- 16kx+12=0,当=16 (4k2 3) >0 时，即 1?时, |PQ|=： . 1)1 十4k?： -. - ,：.-= ''；: 士1 上 V 上 l+4k2明k。_ 3 4k2+l设,二二-2点O到直线l的距离d= j 飞.>0,则 4k2=t2+3,1S»aOP(=d |PQ | =H- 34k2+l匕<

31、/%=1,当且仅当t=2 ,即- 3二2，解得上士 tF H 4满足 > 0,. OPQ勺面积最大时直线l的方程为：尸土乂£-£.2【2014新课标2】20.设Fi,F2分别是椭圆C:* + g=1(a>bA0)的左，右焦点，M是C上一点且乂52与乂轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为3 ,求C的离心率；4(2)若直线MN& y轴上的截距为2,【解析】且 MN =5 F1N ,求 a,b. b2(1)根据 c= a2 - b2以及题设知 M (c, ) , 2b2=3ac,将b2=a2-c2代入 2b2=3ac,a解得c=1

32、c=-2 (舍去)，故C的离心率为1 a 2 a2(2)由题意，原点。的F1F2的中点，M2/y轴，所以直线MF1与y轴的交点D是线段b2MF1 的中点，故一二4,即 b2 = 4a 由 MN =5 F1 N 得 DF1 = F1N 'a设 N (x, y)3c即 x =- 5 y = - 1将以及c=,由题意可知y<0,则2 - C- x ； c-2y = 2代入方程C,得与14a2 b2萨一代入得到七土 J=1,解得a=7,b2 = 4a = 28,4a2 4a'故 a=7, b2 = 2 72【2015新课标1】20.在直角坐标系xoy中，曲线C： y=L与直线y

33、= kx +a ( a >0)交 4与MN两点，(1)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2) y轴上是否存在点P,使彳3当k变动时，总有/ OPM/ OPN说明理由。【解析】(1)由题设可得 M(2Va,a) , N(-2衣,a),或 M (-2&, a) , N(2Va,a).2_.y' =1x,故丫 =二在x = 2%，2a处的到数值为Ta , C在(2V2a,a)处的切线方程为24y -a =>/a(x-2Va), 即 JOx-y-a = 0.2故y =X在x=-2鬲处的到数值为-.a ,4C在(一2幅e)处的切线方程为y-a = -Va(x +

34、2Va),即 «x + y + a = 0.故所求切线方程为Tax _y - a =0或后x + y + a = 0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0, b)为复合题意得点，M(xi,y), N(x2,y2),直线PM PN的斜率分别为"k2.将y =kx +a代入C得方程整理得x2 -4kx -4a = 0 .x x2 =4k,x1x2 - -4a.yi -b y2 -b 2kx忆(a-b)(x x?) _ k(a b) k1 k2 =.xix2x1x2a当b = a时，有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补, 故/ OPM = OPN所以

35、P(0, -a)符合题意.【2015新课标2】20.已知椭圆C: 9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A, B,线段AB的中点为M(1)证明：直线OM勺斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点(m,m),延长线段OMf C交于点P,四边形OAPBg否为平行四边形？若3能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。【解析】(D 设直线 l：y=kx+b(k#0,b*0), A*,%), B(x2，y2), M(xM,yM).将 y =kx +b 代入 9x2 +y2 = m2得(k2 +9)x2 +2kbx + b2 -m2 =0 ,xi x2 kb,

36、 一 9b故xM =丁 = 一a'yM=kxM+b = E.于是直线OM的斜率kOM =迎=9 ,即kOM k = -9 .xmk所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)四边形OAPB能为平行四边形.因为直线l过点(m,m),所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0, k*3.39由得OM的方程为y = .?x.设点P的横坐标为xP,由，y = Ex,k9x2y2 = m2,22k m9k2 81，即XP二 km3. k2 9将点(m,m)的坐标代入直线l的方程得b = m(3-k)，因此Xm =吗.3).333(k2 9)四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段

37、AB与线段OP互相平分，即 Xp=2xm .于是=km=2 父吗二32 .解得匕=4J7，k2=4 + J7.因为3，k2 93(k9)K >0,ki 3，i =1 , 2 ,所以当l的斜率为4-V7或4 + "时，四边形OAPB为平行四边形.【2016新课标11 20.设圆x2 +y2 +2x15 = 0的圆心为A,直线l过点B (1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交 AD于点E.(1)证明|EA+|EB为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C，直线l交G于MN两点，过 B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ 面

38、积的取值范围.【解析】(1)圆心为A(1,0)，圆的半径为 AD=4，;AD=AC，./ADC =/ACD，又BE/AC，ACD =NEBD =NADC， BE= ED,EA + EB = AD =4所以点E的轨迹是以点A(-1,0)和点B(1,0)为焦点，以4为长轴长的椭圆,22即a=2,c=11. b=点，所以点E的轨迹方程为：上+上=1.43(2)当直线l的斜率不存在时, 形MPN面积为12;直线l的方程为x=1，MN =3,PQ = 8,止匕时四边当直线l的斜率存在时，设直线22l的方程为y = k(x-1),与椭圆上+工=1联立得: 43(3+4k2)x2 -8k2x+4k2 -12

39、=0,则设 M (X1,y), N(&,y2),xx28k24k2 -12一2-， x1 x2 = 2-，34k34kMN | =d1 +k2 |x1 -x2 =，1 + k2 J(x1 +x2)2 _4x1x2 卞 KJ44kI 二詈*1直线 PQ 方程为 y = (x-1),即 x + ky-1=0 k所以圆心 A(-1,0)到直线 PQ 的距离为 d =-=X=，二 PQ =2J16-d2 =4”3+4kSh边形MPNQ=MN PQ =一1 12(1 + k2)4 m4k21 k22 3 4k.1k22 =123 4k4k2 43 4k2>/17FT1T7x ye,一 =1

40、、心联立*43 并整理得,y =k x 2因为 AM _LAN ,8k2 -63 4k2,贝(J AM | =，1 +k2所以AN =8k2 -63 4k2+ 2 = Ji + k2 123 4k2122/二 1 k3 411123k%= 12. 1 -1 2 (12,8.3)3 4k2综上可知四边形MPNQ3积的取值范围为12,8、3)22【2016新课标2】20.已知椭圆E： 土+上=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率 t 3为k(k>0)的直线交E于A, M两点，点N在E上，MALNA.(1)当t=4, |AM =AN|时，求4人乂砧勺面积；(2)当2 AMi = AN时，求k

41、的取值范围.【解析】22(1)当t=4时，椭圆E的方程为 '十匕=1 , A点坐标为(-2, 0), 43则直线AM的方程为y=k(x+2).-2222223 4k x 16kx 16k -12 = 0212_ 212因为 AM|=AN , k>0 ,所以力 k 3+4k2 ="1 k U ,整理得(k1"k2k + 4)=0, 3kk4k2 -k +4=0无实根，所以k=1 .所以AAMN的面积为Jam 2=2汴1，含=144 .(2)直线AM的方程为y=k(x+H ),- 22x y / 二1联立/ 3并整理得，(3十tk2 Jx2+2t&k2x+

42、t2k2_3t =0解得 x=_«或y =k xt_ t tk -3</t一一 3 tk2'所以AM -Ik2t tk2 -3. t23 tk,J 6 tAN ；1 ' k+ / =5+k 2,所以 “3 tk '26 t3k - k« 6k2 -3kt =3k3 -22irk26 t ,. 1 <k26 t因为 2 AMi | AN所以 2、1 + k 3Tt*71+k R,整理得,3 k 一k因为椭圆Emxtt,所以t*即*|k>3,整理得二IkF)<0,解得3/2 <k <2 .【2016新课标3】20.已知

43、抛物线Cy2 = 2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线11, 12分别交C于A、B两点，交C的准线于P、Q两点，(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR/ FQ(2)若PQF勺面积是4ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程。1 、, 一【解析】由题设F (2, 0),设1 1: y=a, 12：y = b,则abw0,且“a2b2111 a+ bA工，a)，蜕,，b)， P( 2，a)， Q2，b)， R( 2，-2-)记过A、B两点的直线为l ,则l的方程为2x (a+b)y + ab=0FQ的斜率为k2,则(1)由于F在线段AB上，故1 + ab = 0,记AR的斜率为k1,a

44、 b ab 1 ab,k1= 1+a2=a ab a="b = - b= k2 ar fq11.1(1)设 l 与 x 轴的父点为 D(x1, 0),则 Szxabf= 2|b a| FD=2|ba| x12| ,La bLSa pqh2, x =0(舍去),x1= 1设满足条件的AB的中点为E(x, y)2 ya+b当AB与x轴不垂直时，由 kAB= kDE可得工；=(xw 1)而不一=y, a 十 b x 12. .y2=x1(xw1)当AB与x轴垂直时，E与D重合，所求轨迹方程为y2= x- 122【2017新课标 1】20.已知椭圆 C： x2 + y2 =1 (a>b

45、>0),四点 R (1,1 ) , P2 (0,1 ), a bP3（- 1,叵）,P4 （1,叵）中恰有三点在椭圆C上。（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A, B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和 为-1,证明：l过定点。【解析】（1）由于R , P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3, P4两点.又由12 + 12 > 12 + 32 a b a 4b知，1彳2 =122C不经过点P1,所以点B在C上，因此4 b，解得月，故C的方程为土 + y2= 1.13星m4y了 47 一1（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k, k2,如果l与x轴垂

46、直，设l ： x=t ,由题设知t #0 ,且|t|<2 ,可得A, B的坐标分别为（t ,耳）,（t, -岑）.，则1+卜2=毛2二2-空W=-1,得t=2,不符合题222t2t设.2,贝U Xi+X2 = _ 8km , XiX2=4k2 1从而可设 l : y =kx +m （ m 卉1 ）.将 y =kx+m 代入+y2 =1 得,（4k2 +1）x2 +8kmx + 4m2 4=0 4由题设可知 a16(4k2 -m2+1)0.,设 A (xi, y0 , B (x2, y2)4m2 -42. 2kxix2 (m 1)(x x2)X1X24k 1XiX2XiX2而 k1 k2

47、=匚 比二1 =kX3z1 .坪3Z1 由题设 k1 +k2 =1 ,故(2k +1)x1x2 十(m -1)(x1 +x2) =0 .，2 ，4m -48km -即(2k +1) -2 十(m1)，一2一 =0 ,4k 14k 1当且仅当mT时，Zk>。，欲使l :m 1m 1y = - x + m , 即 y +1 = - (x -2),所以l过定点（2, -1 ）2+ y =1上，过M做x轴椭圆+y2=1 的左焦点 F ( - 1, 0),由 ko=-l-h/2cosG正 minQ【2017新课标2】20.设。为坐标原点，动点M在椭圆G 的垂线，垂足为N,点P满足N尸二五八小/。(

48、1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x=-3上，且苏.元=1。证明：过点P且垂直于OQ勺直线l过C 的左焦点F。【解析】(1)设M (xo, y。)，由题意可得N (xo, 0),设P (x, y),由点P满足靛=/!布而.可得(x-x。，y) =E (0, y。),可得 x-xo=0, y=Jy。，即有 xo=x, y务代入椭圆方程 <+y2=1,可得、£=1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=20(2)证明：设 Q ( 3, rnj) , P (&cos a , Esin a ) , ( 00 a <2 兀)，OP?PQ=1,可得(3cos a , IVs

49、in a ) ? (- 3 - V2cos a , mr V2sin a ) =1, 即为一3/licos a 2cos2 a +msin a 2sin 2 a =1,解彳电窸Q，即有Q( - 3,*由ko?kPF= - 1,可得过点P且垂直于OQ勺直线l过C的左焦点F。【2017新课标3】20.已知抛物线C: y2= 2x ,过点(2, 0)的直线l交C于A , B两点, 圆M是以线段AB为直径的圆。(1)证明：坐标原点。在圆M上；(2)设圆M过点P (4, - 2 ),求直线l与圆M的方程。【解析】(1)显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意.设 l:x=my+2, A(

50、x1,y1), B(x2,y2),y2 =2x 2联立：，1 # y -2my4=0, A=4m +16恒大于 0, yI+y? =2m , y1y2=-4.x 二 my 2(厂.Q'J . j.卜】j , ： (my 2)(my2 2) =(m2 1)yy2 2m(y y2) 4 - -4(m2 1) 2m(2m) 4 =0OA1OB,即。在圆M上.(2)若圆 M 过点 P,则4.加=o, (xi 4)(X24)+(% +2)2+2)=02(myi -2)(my2 -2) +(yI +2)(y? +2) =0 , (m +1)yy2 _(2m -2)(y1 + y?)+8 =01 化

51、间得2m m 一1 =0解得m = 一一或121m 二-当 2 时，l:2x+y-4=0圆心为Q'y。)yi +y2=-1 y。+2 = 9,22249、2 /1、285一)(y )二 一216当 m=1 时，I ： x_y_2=0 圆心为 Q(%,y0),y°=y1；y2=1,X0=y0+2=3,半径 rOQ |= 32 12 ,则圆 M :(x -3)2 (y -1)2 =102【2018新课标1】19.设椭圆C: x+y2 =1的右焦点为F ,过F的直线I与C交于A , B 两点，点M的坐标为(2, 0).(1)当I与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设0为坐标原点，证明：/OMA=/OMB.【解析】(1)由已知得F(1,0), I的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为(1,-所以 AM的方程