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1、第四章 不定积分 一 、基本内容（一）不定积分的概念与性质1 原函数与不定积分的性质:设函数、在区间上有定义，若成立，则称：（i）是在区间上的一个原函数.（ii）是在区间上的不定积分，记作，即 其中为任意常数（以下同）.2.原函数存在定理若在区间上连续，则在上一定有原函数.3.不定积分性质:（1），其中，是与无关的常数.（2）或.（3）或.（二）积分法1.换元积分法.2.分部积分法.或.二、练习题4.1试用基本积分公式和不定积分的性质求下列各不定积分:(1).解：原式=.（2）.解：原式=.(3).解：原式.(4) .解：原式.(5).解：原式 .(6) .解：原式.(7) .解：原式.(8)

2、.解：原式.(9) .解：原式 .(10) .解：原式.4.2试用凑微分法求下列各不定积分:(1).解：原式.(2) .解：原式.(3).解：原式 .(4) .解：原式.(5).解：原式.(6).解：原式.(7).解：原式 .(8) .解：原式.(9) .解：原式.(10) .解：原式.(11) .解：原式.(12) .解：原式.(13).解：原式.(14).解：原式.(15).解：原式 .(16) .解：原式 .4.3试用变量代换法求下列各不定积分:(1).解：原式 .(2).方法一:解：令，则，于是，原式，再令，则，于是，上式 .方法二:解：令，则原式，再令，则.于是，上式+ 由，则，故，

3、所以原式 .(3).解：令则原式，令,则故原式=.(4) .解：原式.(5) .解：原式由于.故原式.(6) .解：原式.4.4试用分部积分法求下列各不定积分:(1).解：原式 .(2) .解：原式.(3) .解：原式 .(4).解：原式.(5).解：原式其中：.故原式.(6) .解：原式.(7).解：原式 .(8)，其中解：原式.又，所以故原式.（三）测试题判断是非:（1）设是奇函数，则其原函数必为偶函数解答：正确设是的一个原函数，则（2）.解答：正确将上式右端求导，则有.（3）解答：正确左端.（4）设，则其中为常数，解答：错误当时，.当时，.又在处连续，所以，故，得，所以.填空：（1）则.解答：因为.（2） .解答：.（3）设又存在且连续，且按分部积分法，有.解答：.3.求下列各不定积分:（1）.解：令则，原式 .（2）.解：原式 ，由于，故原式.（3）.解：原式 .（4）.解：令 ，则原式.（5）.解：由于，所以解得.故.（6）.方法一：解：原式 .其中：.故原式.方法二：解：原式 .4.设函数试求的原函数，使解：当时，故.同理，当时.又显然在处连续，故，即，又，则，.所以有5.设有一条曲线，其上任一点处的法线斜率是该点的横坐标的平方与四

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