§2.2 函数解析的充要条件2011-9-27(上课用)

1、提问：（1）函数在平面上解析吗？（2）函数 在点处是（ ）（A）不可导的. (B) 可导的. (C) 解析的. (D)既不可导也不解析. 若有可导处，写出可导处的导数.§2.2 函数解析的充要条件教学目的：掌握复变函数可微、解析与实、虚部两个二元实函数的关系（CR条件）；正确判断函数的解析性重难点：判断函数可导与解析教学过程：在形式上复变函数的导数及其运算法则与实函数相似，但实质上它们之间存在很大的的差异 【定理2.2 】（函数在一点可微的充要条件）设 定义在区域D上，则在点可微（可导）的充要条件是 ： (1) 在点可微； (2) 在点满足（ 柯西黎曼条件或称方程 ） 证明 必要性:

2、若 在点可微 记, , 其中 ，由导数的定义知 比较上式两边的实部、虚部得)）再由二元实函数可微的定义知, 在点可微, 且 充分性: 在点可微,且记 则 .所以 .说明：如果在点可微， 则有 导数公式 （由方程还可以写出其它形式）特别注意：方程是函数可导的必要而非充分条件.在实函数中,我们知道由二元实函数具有一阶连续偏导数可以推得二元函数可微, 由此可得【推论】 (可微的充分条件) 设定义在区域D上，则在点可微的充分条件是(1) 在点 处具有一阶连续的偏导数； (2) 在点满足CR条件注： 定理2.2的充分性由推论立即可得, 但必要性的证明需要用到第三章中的解析函数的无穷可微性例如：函数 令

3、，则在点处满足方程即 ，但是由于在点处不连续，所以函数在处不可导.【定理2.3】 设定义在区域D上，则在内解析的充要条件是 (1) 在D内处处可微； (2) 在D内满足方程【推论】设定义在区域D上，则在内解析的充分条件是 (1) 在D内具有一阶连续的偏导数； (2) 在内满足CR方程例1 讨论下列函数的可导性与解析性（1）解：设, 则有, 记 , 因, , 显然它们不满足CR条件, 在平面上处处不可导且处处不解析（2）解： 设, 则有, 记 , 因 , , 显然它们都是连续的.要使CR成立, 只需即可,所以 仅在原点可导, 但在z平面上处处不解析（3）.解：设, 则有 因为 ，且四个偏导数存在

4、且连续，所以 在z平面上处处可导且处处解析且注: 满足此例题条件的解析函数称为复指数函数（4）说明：在讨论具体函数的可导性和解析性时,若CR方程不成立，则函数一定不可导.用推论有时更方便.思考提问：6若在曲线C上每点不解析，则在C上不可导（ ） 7若在曲线C上每点可导，则在C上每一点解析（ ）练习：（1）讨论函数的可微性与解析性解 记, , 因 , ,显然它们都是连续的.要使CR 条件满足, 只需 即, 所以 仅在直线上可导, 但在z平面上处处不解析(2) 讨论函数 的可导性与解析性解 记 , , 因 , ,显然它们都是连续的 要使CR 条件满足, 只需 即仅在轴或轴上的点可导， 但在z平面上

5、处处不解析例2 判断函数 在何处可导，何处解析，并求解 ，四个一阶偏导数连续，由CR方程得故 函数 仅在曲线上可导，又点在此曲线上，所以存在且6，而不在曲线上，所以 不存在例3判断函数 在复平面上的解析性；若解析，试求解 , ，四个一阶偏导数连续，由CR方程得成立，故函数 在复平面上处处解析且提问（1） 求实数，使在复平面上解析.分析：由条件可以推出 （2）设为解析函数，试确定的值.提示：由C-R方程推出：且 解得：=1, .例4 函数在区域D内解析, 且满足下列条件之一, 证明: 在区域D内必为常数(1) （2）常数（3）在区域D内解析. (4) 在区域D内为常数（5），其中a,b,c为不全

6、为零的实常数.证明 (1) 由 知 ，故 u ，v都是常数，从而 在D内必为常数（2）设 ,因为 u常数，故 ，由方程知 ，从而 在D内必为常数(3) 设 , 则 . 又和都在区域D内解析, 由CR条件得, , 解得 , 再由实函数的知识, 与均为实常数, 所以在区域D内为常数(4) 设, 则 . 由题设在区域D内解析, 且为常数, 从而 (1) (2)由(2)式得 (3) (4)若, 则, 结论显然成立；若,联立(1)(3)(4)得，；再由实函数的知识, 与均为实常数, 所以在区域D内为常数（5）将两边分别求对的偏导数得当时，此与不同时为零矛盾，舍.当时，例5 设函数问常数为何值时，在复平面上处处解析？解 由于 ，由 故 当 时，在复平面上处处解析例6 如果为一个解析函数，且，那么曲线族和必定相互正交，其中 为常数（两曲线在交点处的切线互相垂直）证明 由于，所以与必不全为零1） 如果在曲线的交点处与都不为零，由隐函数求导法知曲线族和中任意一条曲线在交点处的切线斜率分别为 ，由C-R方程得即 和正交2）如果和中有一个为零，则两曲线族中的曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的，它们仍互相正交小结：1.判断函数的解析性时最好将其转化为运用推论即对应实、虚部函数是否具有一阶连续偏导数，是否