利用导数求曲线的切线和公切线

1、利用与数求曲线的切线和公切线一.求切线方程，【例1】.已知曲线f(x)=x 3-2x2+1.(1)求在点P (1,0)处的切线li的方程； 求过点Q (2,1)与已知曲线f(x)相切的直线12的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二.有关切线的条数【例2】.(2014?北京)已知函数f (x) =2x3- 3x.(I )求f (x)在区间-2, 1上的最大值；(II)若过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切，求t的取值范围； (m)问过点 A(- 1, 2) , B (2, 10) , C (0, 2)分别存在几条直线与曲线 y=f (x)相切？(只需写出结论)【例3】

2、.已知函数f (x) =lnax (aw0, aC RO ,晨工)二Wlk. x(I)当a=3时，解关于x的不等式：1+ef(x'+g (x) >0；(H)若f (x) >g (x) (x>1)恒成立，求实数a的取值范围；(田)当a=1时，记h (x) =f (x) - g (x),过点(1, - 1)是否存在函数片h (x)图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由.【解答】解：(I)当a=3时，原不等式可化为：1+e1n3xKl>0； x等价于，"3" K 。，解得x>!,故解集为(L +8) 3a>033(R) , n

3、ax)1 对 X1 包成立，所以XXX令h(x)=-Inx, h'(工)y二*C0(k>1), xJ x可得h (x)在区间1 , +oo)上单调递减，故h (x)在x=1处取到最大值，故1na >h (1) =0,可得a=1,故a的取值范围为：1, +00)(m)假设存在这样的切线，设切点 t (xo,3工口), ° X。乂 1X 1(/ _1 ) 2切线方程：y+1=、GT),将点T坐标代入得：In孙一+1二口 .Xo0 X0I_31_即 InK口H广1 :0 ,设 g (x) =lmt+工一则(x)二)T)尸) X KX,. x>0, g (x)在区间

4、(0, 1) , (2, +8)上是增函数，在区间(1, 2) 上是减函数，故 g (x)极大=g (1) =1 >0,故 g (x)极，小=g (2) =1n2+5>0,.又 g，)=ln1+12- 6- 1 = - 1n4 - 3<0,由g (x)在其定义域上的单调性知：g (x) =0仅在(1,1)内有且仅有一根，方程有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条.【作业 1】.(2017?莆田一模)已知函数 f (x) =2x3 3x+1, g (x) =kx+1 Inx . fffv) y<1(1)设函数h&)二 '、，当k<0时，讨论h (

5、x)零点的个数；(2)若过点P (a, -4)恰有三条直线与曲线y=f (x)相切，求a的取值范围.三.切线与切线之间的关系【例4】.(2018?绵阳模拟)已知a, b, cCR,且?f足b2+c2=1,如果存在两条 互相垂直的直线与函数f (x) =ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+/2b+Vsc 的取值范围是 解： f '(I 【例5】.已知函数f (x) =lnx - a (x- 1) , g (x) =ex,其中e为自然对数的 底数. (I)设工 E (0, +8),求函数 t (x)在m, m+1 (m> 0)上的 最小值;(H)过原点分别作曲线y=f (

6、x)与y=g (x)的切线1i, l2,已知两切线的斜 率互为倒数，求证：a=0 或. ee) = a + ftcosx-csin x= a +"* +c2 cos(x += a +cos(x + p)令 + 尹=9,则H+> = q, &+9二区.fx) - ti + cos山题意，存在士,5e我使得尸&)尸(x)=Ti即g+cosqxu+c0s4)=-1，即关廿的二次方程。、(cos自 + cos&2)a + coscos02 +1 = 0 (*)有实根所以 A = (co导自十 cog 仇)* 一 4cos亿 35&-4 > 0 =&

7、gt; (cos- cos 02)2 > 4所以 cosq 8S© 之 2 ,又 |co$q-8他区 2 r 所以|cosq-cos刃=2所以co与q=i,s与%=-i此时方程(*)变为/ = 0=0=0则a+伍+73c = V2b+V3c, b2+c2=1,，设b = sinp,a =cosB ,0b + 73c = /5sin( B +2 ,故 a+V2b+V3c C -掂 西，【解答】(I)解：t (k) W，xE(O，+8),=工巳"尸令 t' (x) >0得乂>1,令 t' (x) <0得乂<1,所以，函数t (x)在

8、(0, 1)上是减函数，在(1, +°°)上是增函数，.二当 m> 1 时，t (x)在m, m+1 (no0)上是增函数，. =t (m)= minm当0<m< 1时，函数t (x)在m, 1上是减函数，在1 , m+1上是增函数，t (x) min=t (1) =e.(H)设12的方程为y=k2x,切点为(x2, V力，贝环=/2, k2二屋(z2)=eXz=2k2 - x2=1, y2=e - k2=e.由题意知，切线11的斜率卜1=?二工，.切线l 1的方程为 1 k2 ey=K,设 l 1 与曲线 y=f (x)的切点为(x1，y), e11 x

9、 1 e X1又 y二lnx 1 a （x1 一 1）,消去 y1, a 后整理得n 工 1 -1 =0 , a二1一 1 x! eX!令贝Um'（。二 ，二尺）,，- m （x）在（0, 1）上单调递减，在（1, +00）上单调递增，若 x1 C （0, 1）,m（工）=-2+巳>。，m（l）二 x 1 E A, 1）, eee1 e2而-在（L i）单调递减，x! e eee若 x1 C （1, +oo），= m （x）在（1, +00）上单调递增，且 m （e） =0,C11 Ax1二e,x e综上,a=0.ee【作业2】.(2017?黄山二模)已知函数f (x) = (a

10、x2.2.33+x-1) ex+f (0).(1)讨论函数f (x)的单调性；(2)若 g (x) =e xf (x) +lnx , h (x) =ex,过 O (0, 0)分别作曲线 y=g (x)与y=h(x)的切线l i, 12,且l i与12关于x轴对称，求证：-(日1)<a< -且2 . 22四.求公切线的方程9 22【例6】.(2018?安阳一模)已知函数二今_+J, g (x) =3e1nx ,其中e e x为自然对数的底数.(I )讨论函数f (x)的单调性.(H)试判断曲线y=f (x)与y=g (x)是否存在公共点并且在公共点处有公切当 乂4 且 xw0 时，f

11、' (x) <0；当 X.f (x)在(-8, 0)上单调递减，在(0,时，f ' (x) >0.上单调递减，在 1+8)上线.若存在，求出公切线1的方程；若不存在，请说明理由.19单调递增;(H)假设曲线y=f (x)与y=g (x)存在公共点且在公共点处有公切线，且切 点横坐标为x°> 0,2卷+三一3目Inx。(1)'f(x0)=gt z0)(沏)=/ (叼)'k 04 T 2口，其中(2)式即出号二四e x02 行记 h(x)=4x【解答】解：(I)由+ ,得广(K)二生壬二4K 一：, e xe x2 ex2令f '

12、 (x) =0,得. 3e2xe3,x (0,+oo),贝(Jh'(x)=3(2x+e)(2x e),得h (x)在(0,上单调递减，在 % +8)上单调递增，又 h (0) =-e3, h卢h (e)=。，2故方程h (xo) =0在(0, +00)上有唯一实数根xo=e,经验证也满足(1)式.于是，f (xo) =g (xo) =3e, f' (xo) =g' (xo) =3,曲线y=g (x)与y=g (x)的公切线l的方程为y-3e=3 (x-e),即 y=3x.【作业3】.已知函数f (x) =lnx , g (x) =2- (x>O) x(1)试判断当

13、f (x)与g (x)的大小关系；(2)试判断曲线y=f (x)和y=g (x)是否存在公切线，若存在，求出公切线 方程，若不存在，说明理由；(3)试比较 (1+1X2) (1+2X 3)(1+2O12X2O13)与 e4o21 的大小，并写 出判断过程.五.与公切线有关的参数取值范围问题【例 7.已知函数 f (x) =blnx , g (x) =ax2-x (aCR).(I)若曲线f (x)与g (x)在公共点A (1, O)处有相同的切线，求实数 a、 b的值；(H)当b=1时，若曲线f (x)与g (x)在公共点P处有相同的切线，求证：点P唯一；(田)若a>O, b=1,且曲线f

14、 (x)与g (x)总存在公切线，求正实数 a的最 小值.【解答】解：(I) f' (x)立，g' (x) =2ax- 1. x 曲线f (x)与g (x)在公共点A (1, O)处有相同的切线，' 晨 1)=a-l=0 ,解得 a=b=1.Lb=2a-1(H )设 P (xo, yo),则由题设有 Inx o=axo2 xo，又在点 P有共同的切线，. f ' (xo) =g' (xo) , =2axc-l,xo1+孙，、11a=工,代入得 lnx o=7-xo,设 h (x) =lnx -y+-x,贝U h'(x)4V(x>0),贝Uh

15、'(x)>0, h (x)在(0, +oo)上单调递增，所以h (x) =0最多只有1个实根，从而，结合(1)可知，满足题设的点P只能是P (1, 0) .(田)当 a>0, b=1 时，f (x) =lnx , f' (x)=,f (x)在点(t, Int )处的切线方程为 y - lnt= (x-1),即yx+lnx - 1. tt与丫=2乂2-x,联立得 ax2- (1立)x - lnt+1=0 .,曲线f (x)与g (x)总存在公切线，关于 t (t >0)的方程 = (1今)2+4a (lnt 1) =0,即(lJ)2=4a (1-lnt ) (*

16、)总有解.若t>e,则1 - lnt <0,而(1彳)2>0,显然(*)不成立，所以0<t<e,2从而，方程(*)可化为4a=口+t).t (1-lnt)t)l+t)nt+Ll)2令 H (t)=) (0<t <e) , WJ H， 12(1-lnt) 当 0Vt <1 时，h' (t ) <0；当 1<t <e 时，h' (t) >0,即h (t)在(0, 1)上单调递减，在(1, e)上单调递增.h (t)在(0, e)上的最小值为h (1) =4,.要使方程(*)有解，只须4a>4,即a>

17、1.正实数a的最小值为1.【例8】.(2017?韶关模拟).已知函数f (x) =aex (aw0) , g (x) =x2(I)若曲线c： y=f (x)与曲线C2： y=g (x)存在公切线，求a最大值.(H)当 a=1 时，F (x) =f (x) bg (x) cx 1,且 F (2) =0,若 F (x) 在(0, 2)内有零点，求实数 b的取值范围.【解答】解：(I)设公切线l与ci切于点(xi, a/i)与C2切于点(x2,町2),f' (x) =aex, g' (x) =2x,ae1 = 2叼z2ae f2,由知 乂2*0,代入： 一二2x2,即 X2=2x2,

18、一今2的x 1 x_由知 a=,设 g (x) ='k 4 , g (x) =' '上 ,e 1ee令 g' (x) =0,得 x=2;当 x<2 时 g' (x) >0, g (x)递增.当 x>2 时，g' (x) <0, g (x)递减.；x=2 时,g (x) ma=g (2) =,ama=-.ee(H ) F (x) =f (x) - bg (x) - cx - 1=ex - bx2 - cx - 1,= F (2) =0=F (0),又 F (x)在(0, 2)内有零点，F (x)在(0, 2)至少有两个极值点

19、，即F' (x) =ex-2bx-c在(0, 2)内至少有两个零点.2_F" (x) =ex - 2b, F (2) =e2 - 4b - 2c- 1=0, c=e ,当”护，在(0, 2)上，exL, F(x)0，.F (x)在(0, 2)上单调增，F' (x)没有两个零点.当 b£时，在(0, 2)上，ex<e202b, ；F (x) <0,2F (x)在(0, 2)上单调减，F' (x)没有两个零点；1 2当 上<b<时，令 F" (x) =0,彳4 x=ln2b ,2 2因当 x>ln2b 时，F (x

20、) >0, x<ln2b 时，F (x) <0,F (x)在(0, ln2b)递减，(ln2b, 2)递增，21所以 x=ln2b 时，.F' (x)最b=F' (ln2b ) =4b 2bln2b - -+i,2 221设 G (b) =F' (ln2b) =4b-2bln2b - J+匕2 2令 G' (b) =2-2ln2b=0,得 2b=e,即b=,当 b<J时G'(b)>0;当b> 旦时，G'(b)<0,222当 b=77时，G (b)最=G (-|-) =e+内有两个零点,G (b) =f&#

21、39; (ln2b) <0 包成立， 因 F' (x) =ex-2bx-c 在(0, 2)f2 dFy (O)=l-c=l-e>02+.F (In2a)=2b-2bln2b<0, -w(2)=e2-4b->0L乙22解得：J_zl<b<J_LL, 4422综上所述，b的取值范围(是乜，至昔).【作业 4】,已知函数 f (x) =a (x - ) blnx (a, b RO , g (x) =x2. x(1)若a=1,曲线y=f (x)在点(1, f (1)处的切线与y轴垂直，求b的值；(2)若b=2,试探究函数f (x)与g (x)在其公共点处是否

22、有公切线，若存在，研究a的个数；若不存在，请说明理由.六.公切线的条数问题【例9】.已知函数f (x) =lnx , g (x) =ex.(1)确定方程f (x)三内实数根的个数；x-1(2)我们把与两条曲线都相切的直线叫作这两条曲线的公切线，试确定曲线y=f(x) , y=g (x)公切线的条数，并证明你的结论.【解答】解：(1)由题意得lnx=±L=1+-?-,X-l K-1分别作出y=lnx - 1和y的函数图象，由图 x-1象可知：y=lnx - 1和丫二二一的函数图象有两个交 x-1点，方程f (x)三中有两个实根；x-1(2)解：曲线y=f (x) , y=g (x)公切

23、线的条数是2,证明如下：设公切线与f(x)=lnx , g (x)=ex的切点分别为(mlnm),(n,en),廿n,f' (x) =1, g' (x) =ex, x(1 n =e mn ,化简得(m-1) lnm=m+1, Inm-eL mF m当 m=1 时，(m- 1) lnm=m+1 不成立；当 m 1 时，(m 1) lnm=m+1 化为 lnm=L, in-1由(1)可知，方程lnm=Ut1有两个实根，m-1:曲线y=f (x) , y=g (x)公切线的条数是2条.【作业 5】,已知函数 f (x) =x2+2 (1 a) x4a, g (x)(a+1) 2,贝

24、f(x)和g (x)图象的公切线条数的可能值是 .【作业 1 解答解：(1) f ' (x) = (2x+1) (x1) 2=0, x=工或 1, x= 2- 1是h (x)的零点;. g' (x) =k-, xk<0, g' (x) <0, g (x)在1 , +00)上单调递减，g (x)的最大值为g (1)=k+1.k< - 1, g (1) <0, g (x)在1 , +oo)上无零点；k=-1, g (1) =0, g (x)在1 , +oo)上有 1 个零点；- 1<k<0, g (1) >0, g (e1 k) =

25、ke1 k+k<0, g (x)在1 , +8)上有 1 个零 点；综上所述，k<-1时，h (x)有1个零点；-1&k<0时，h (x)有两个零点； (2)设切点(t, f (t) ) , f' (x) =6x2-6x, 切线斜率 f' (t) =6t2-6t, 切线方程为 y- f (t) = (6t2-6t) (x-t),2- 切线过 P (a, -4) ,- 4-f (t ) = (6t -6t) (a-t),- 4t3 3t2- 6t2a+6ta 5=0由题意，方程有3个不同的解.令 H (t) =4t3- 3t2- 6t2a+6ta -5,

26、贝U H' (t) =12t2-6t - 12at+6a=0. t=工或 2a.a=1时，H' (t) >0, H (t)在定义域内单调递增，H (t)不可能有两个零点, 2方程不可能有两个解，不满足题意；a>!时，在(-8,工)，(a, +8)上，h' (t) >0,函数单调递增，在(1,222a)上，H' (t) <0,函数单调递减，H (t)的极大值为H(),极小值为H 2(a)；a<工时，在(-°°, a) , (,L, +oo)上，h' (t) >0,函数单调递增，在(a, 22工)上，H

27、' (t) <0,函数单调递减，H (t)的极大值为H (a),极小值为H 2弓)；要使方程有三个不同解，则 HI (-) H (a) <0,即(2a-7) (a+1) (2a2- 25a+5) >0,.a>或 a< - 1.2【作业2解答】解：由已知得f (x) =ax2+ (2a+1) xex, f (0) =0,所以f(x) = (ax2+x - 1) ex.(1) f (x) =ax 2+ (2a+1) xex=x (ax+2a+1) ex.若a>0,当犬<2或x>0时，f (x) >0；当-22<k<0时，f

28、(x) <aa0,所以f (x)的单调递增区间为 e, -2),(o, +8)；单调递减区间为a(-2-* 0). a若 a=0,f(x)=(x1)ex,f (x) =xex,当 x>0 时，f(x)>0；当 x<0 时，f (x) <0,所以f (x)的单调递增区间为(0, +8)；单调递减区间为(2,0).若卷<0<0,当X>-2或 x<0 时，f (x) <0;当0<K<-2时，f (x)0,所以f ( x )的单调递增区间为。- 2);单调递减区间为y, o),(气工 +8).a若行L, F G)二斗工2匚区0，故

29、f (x)的单调递减区间为+OO).22若当犬2或x0时，f (x) 0；当-2-工0时，f (x) 2aa0,所以f ( x )的单调递增区间为(-2-L，0);单调递减区间为 a(g, -23，(0, +8).a当a0时，f (x)的单调递增区间为(tq, -24),(0, +8)；单调递减区间a为(-2* 0)-a当a=0时，f (x)的单调递增区间为(0, +00)；单调递减区间为(-°°, 0).,当 a40时，f (x)的单调递增区间为3, -2,)；单调递减区间为2a(9, 0),+8).a当a二Tj时，f (x)的单调递减区间为(-°°,

30、+oo)；当时，f (x)单调递增区间为0);单调递减区间为(-，-2 ), 2aa(0, +00)；(2) 证明：g (x) =e xf (x) +lnx= - e x (ax2+x-1) ex+lnx=ax 2+x-1+lnx ,设12的方程为y=k2x,切点为(x2, v2 ，贝肛二k?二/£上2，所以x2=1,k2y2=e, k2=e.由题意知k尸-k2=-e,所以11的方程为y= - ex,设1 i与y=g (x)的切点为(x1, y。，贝Uk尸屋('，二2以篁1+14二& 1詈、.1 11勺勺2町2工j又 第二ax ；+x +T+ln 町二-e* ， 即告

31、工+lnx 尚七。， 令/ % e+13 j f _e+l , 1u(。)二 g x+lnx-y* u (x)-, -wLf X在定义域上，u' (x) 0,所以(0, +oo)上，u (x)是单调递增函数，又 u(l)二片/"。, u()=+ln。，所 以 uu(，即/e+1Je+1e+1e+1令< 町 < 1 ,1町"二,3(t)=。t 2+(e+l) t eZ(e+1 尸2e2【作业3解答解：(1)证明：设F (x) =f (x) - g (x),则F' (x)由 F' (x) =0,彳4x=3,当 0Vx<3 时，F'

32、; (x) <0,当x>3时F' (x) >0,可得F (x)在区间(0, 3)单调递减，在区间(3, 十 8)单调递增，所以F (x)取得最小值为F (3) =ln3 - 1>0,F (x) >0,即 f (x) >g (x);(2)假设曲线f (x)与g (x)有公切线，切点分别为 P (xo, Inxo)和Q (xi,2 -且).因为 f' (x),，g' (x) =4, V_工所以分别以P (x。,lnx o)和Q(xi, 2-)为切线的切线方程为 y=-+lnx o- 1, 町F3工八 6y=-7+2-.R 引1 二 3x0

33、 x j2lnx0-l=2-,即 21nx i-(3+ln3) =0.zlIf令 h (x) =2lnxiq-(3+ln3).X1 96 一所以由 h ( x)=0, 44 xi=3.町Xi显然，当 0<xi<3 时，h' (x) <0,当 xi>3 时，h' (x) >0,所以 h (x) min=ln3 1 >0,所以方程 2lnxi+-L (3+ln3) =0 无解, X1故二者没有公切线.所以曲线y=f (x)和y=g (x)不存在公切线；(3) (1+1X2) (1+2X3) ?？( 1+2012X2013) >e4021.理

34、由：由(1)可得 lnx >2 (x>0),x可令 x=1+n (n+1),可得 ln (1+n (n+1) ) >2 >2 -l+n(n+l) n(n+l)1n+1则 ln (1+1X2) +ln (1+2X3) + +ln (1+2012X 2013)>2X2012- 3 (1-+1+-) =4024- 3>4021.2 2 32012 20132013即有(1+1X2) (1+2X 3)( 1+2012X2013) >e4°21.【作业 4 解答解：(I) f (x) =x - - - blnx ,x(x) =1凸-£J X由

35、于曲线y=f (x)在点(1, f (1)处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0,即f' (1) =0,即1+1-b=0,b=2;(2)假设f (x) , g (x)的图象在其公共点(xq, y°)处存在公切线,由 f (x) =a (x- -) 2lnx，得 f' (x)一"一泞*,g' (x) =2x, Y_ 2由 f ' (xo) =g' (xo),得 广=2xo, 即 2xo3 - axo2+2xo - a=0,即(xo2+1) (2xo-a) =0,则 xo,2又函数的定义域为(0, +8),当a00时，xo=-|-<

36、0,则f (x) , g (x)的图象在其公共点(xo, yo)处不存在公切线;21n m2=月一,24当a>0时，令f (旦)=g (2)，工222即三fl=ln且，822_o令 h (x)=工 b - ln , (x>0),则 h（x）在（0, 2）递减，（2, 9 递增.且 h（2）=3<0,且当 X一0 时，h （x） 一+OO；当 x一+00时，h （x） 一+oo, .h （x）在（0, +oo）有两个零点，万程2_L=1n且在（0, +oo）解的个数为2. 82综上：当a00时，函数f （x）与g （x）的图象在其公共点处不存在公切线；当a>0时，函数f

37、（x）与g （x）的图象在其公共点处存在公切线，a的值有2个.在导数的练习中，常见这一类题型：已知含有/'（父）的一个不等式，以及 /（）的一些其他性质，让解不等式或者比较大小。这类题型的常用思路是emph构造函数,下面举例说明。1 . /（£ 1是定义在R上的奇函数，当厂 >p时，/+1）工）+力/（工） v o且八-9=o 则不等式/（£）> “的解集是（）+oc）PLOj-U（L+）C（-oo. - 1）Z?.( oo, - 1) U (0. 1 i分析：观察条件给的不等式一 + 1)+ 2z/(.r) 0,它的左边是9(注)=1)/11)的导函数

38、。故构造 ,并把题中/(?)的其他性质转化成q(；r)的性质，把要求解的不等式也转化成关于的不等式。解答:令小)=+ 1) /，:当w 。时/或=(7 + 1) r+ 2工/、'由/3k奇函数得g(r)也是奇函数，由八一1.)=。得。(- 1) =可得处”的“草图”如下：而不等式/ ) ”等价于“3 。由“草图”易知解集为-8, -i)u (o, ij,选Q拓展：怎样构造出合适的函数呢？ 一般考虑一下三个模型:/)=，曰1"+门力特别地，当以=1时,有"企)Y = /+/广；当H = -1时，有工)_工尸(工)一/工)T )工*产产*-二巴以特别地，当值=1时，有口

39、产."上“一"()+ /(');当” =1时，有（“/1=巴1/工l«/U） +的/+"Q）我们可以对比这三个模型求导后的形式与题中给出不等式的形式，确定H或者E。下面再举几个例子：2 .已知函数/（T）的定义域为R%/1-1） = 2,对任意1- e r, rs） > 2,则不等式）红+ 4的解集是（）乐（-L1）(37( L +x)分析：观察条件中给出的不等式，以及要求解的不等式，易知可以构造gr） = f3一 2一 4。再把/1f%勺其他性质也都转化成“上1的性质。解答：构造亦1= ,门上电.二4则/但=:_ 2>q,血三）湎上递增。由/& 1） = 2知,。（一。=0,而不等式/> 2上+ 4即为“ 沙工解集为"L +艾）,选13 o3.已知,（工为定义在R上的可导函数，且小）对于工ZTR恒成立，且七为自然对数的底,4Ml颂 网2012万产巴强）叵H1）。二型）2012）”叫旭/(201