第五章受压杆件的扭转屈曲与弯扭屈曲1

1、第第5章受压杆件的扭转屈曲与弯扭屈曲章受压杆件的扭转屈曲与弯扭屈曲5.2 轴心受压杆件的扭转屈曲与弯扭屈曲轴心受压杆件的扭转屈曲与弯扭屈曲5.2.1 扭转屈曲图5.1dz/d根据平衡关系，作用在以该倾斜纤维为轴线的微元体上的轴力dA在杆的横截面平面内有分力dFQ，且dAdAdFQ作用在截面上得扭矩：2020A2FrArdAMzr0截面对弯心的极回转半径扭转屈曲临界力为：tGIl2220crEIr1F，5.2.2 弯扭屈曲 对于截面单轴对称的单角钢、单槽钢或T形钢轴心压杆，形心和弯心不相重合。如果杆件在轴心力F作用下不能保持直线平衡而绕对称轴y弯曲时，由于剪力不通过弯心，不可避免的要出现扭转。0

2、euFMz 0uFeFr-GI-EI02014 A/IIeryx2020杆件的扭转平衡微分方程为：其中 0FeEI04 uFuy弯曲平衡的微分方程可以写为：两端铰接的杆件，杆端边界条件：当z=0时：00uu ，当z=L时：00uu ，解得：llzCsinzAsinu20222y2y/EI,EIFrGIlFlt令得：CrF-FAFe-0CFe-AF-F2000y）（y2yyFkF4-FF-FFk21Fcr200re-1k临界荷载式中：5.2.3计算弯扭屈曲的换算长细比的方法我国冷弯薄壁型钢结构技术规范设x轴为对称轴，如图所示：图5.4，20222y2y/EI,EIFrGIlFlt0EIEI-e-

3、rF2222x220222x220202crxtxcrxtxEIlGIIIlFrEIlGIIIl20t222x2x/GIEIFEIFrll和根据得：令0s222222EGIlIIlEIlGIIItxxtx由于039. 0EG20I039. 0Ast2x2lI上式可以写为：解得弯扭屈曲临界应力：2222020222022202x2cr2s2s1EhEsersrsr5.3 偏心压杆的弯扭屈曲偏心压杆的弯扭屈曲偏心压杆的弯扭屈曲是指其在弯矩平面外的失稳。偏心受压杆件的弯扭屈曲平衡微分方程为：0uMFr-GI-EI0MFuuEIx20txy 0uFeFr-GI-EI0FeuFuEI20t44y 0Fr

4、/e-F-FF-F220y（5.32）（5.33）将式（5.32）对z微分二次，式（5.33）对z微分一次，得到：得到偏心压杆的临界荷载：FFk4F-F-FFk-121Fy212yy21cr在钢结构设计中常常用相关公式来控制偏心压杆的弯扭失稳。由梁整体失稳的临界弯矩为：FFrlEIGIEIlMytycr022cryMMFF-1FF-1利用这个关系式，并将Fe用M代替，得到：当F=Fy时，F/Fy与M/Mcr之间的关系是直线关系1FFycrMM第二节 轴心受压时开口薄壁杆件的弯扭屈曲临界荷载中性平衡方程剪心C沿x和y轴方向平移u和v，截面绕剪力中心扭转角，点B(x,y)沿x和y轴方向位移为：)(

5、,)(u-u0101xxvvvvyyuuBB假定屈曲时杆件处于弹性工作阶段和小变形状态，并假定截面的周边形状保持不变，无初始缺陷。5.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载一 中性平衡方程的建立(一)通过势能驻值原理来推导弯扭变形下的总应变能ldzEIGIEIEI022t2y2xu21E变形后微段长度：dz1dzddzdudzdduds2122222由于u,v是微小量，上式简化为：dz1dzd21dzdu21ds22B点纵向纤维变形后的总长度为：dz1dzd21dzdu21sl022dzdzd21dzdu21l-sl022BB点纵向纤维变形后两端缩短为

6、：lBBdzvudAdAdW022B2121 lAlAdzruyvudzxxvyyudAAdWW0220022020202F21F21式中应力F/A在小条上的外力功为：对整根杆，压力F的外力功为：00yx20 xAIIryxyIdAIdAdAdAA2A2AAy,x, 0yxW-EEEEvp并考虑了因此，总势能为即：2-21Ep02202222 uFyvFuFvEIuEIEIGIlxyt二 临界荷载的确定(一)假设位移函数，将微分方程组化为求解代数方程组如杆段简支时，边界条件为000vuvulzz，处，和假设位移函数为：)374(sin,sin,sinlznClznBvlznAuA、B和C广义坐

7、标或参变数n1,2,3, 弹性曲线的半波数将它代入总势能表达式，并令：tyyxxGIlEInrFlEInFlEInF222202222221,得到线性齐次代数方程组为：)394(000)(00200000CBAFFrFxFyFxFFFyPFxy特征方程为：0)()()()(20220220FFxFFFyFFFFFFFryxyx或解此方程式所得F的最小根，即为所求的临界力Fcr。0)(00200000FFrFxFyFxFFFyPFxy三 关于临界荷载的讨论以两端简支的轴压杆为例(一)当杆件截面为双轴对称或点对称时截面形心与剪力中心重合，x0y00：0)()(FFFFFFyx22lEIFFxx方程

8、式的三个根为22lEIFFyytGIlEIrFF22201得到最小临界力，将此三根代入(5.56)式，可得, 0, 0,ACBFFy时当, 0, 0,BCAFFx时当0, 0,CBAFF时当当FFx和FFy时，杆件为弯曲屈曲，当FF时，杆件为扭转屈曲。对于双轴对称或点对称截面的轴压杆，只能发生绕其主轴弯曲屈曲或绕剪力中心的扭转屈曲，不会发生弯扭屈曲。(二)当杆件截面为单轴对称(设y轴为对称轴)时，则x00，0)()(20220yFFFFFrFFyx则上式的根为设,1220Cryk222lEInFFxxFkFFFFFkFyyy4)(212和弯曲屈曲弯扭屈曲(三)当杆件截面为不对称时，则必为弯扭屈

9、曲，临界力为(5.58)式的三个根中最小值，并取n1。取n1，得到最小临界力。5.5 用能量法计算开口薄壁偏心压杆的屈曲荷载除了上节所述的基本假定外，需再假设杆件截面具有足够的抗弯刚度，由偏心弯矩产生的弯曲变形很小，可以略去不计。)66. 5(yyxxIxMIyMAF轴的杆端作用力矩轴和是绕和式中yxMMyx轴的偏心矩。轴和为对分别和则当为偏心受压时，yxPeeFeMFeMyxyyxx,一 中性平衡方程的建立(一)根据势能驻值原理来导出中性平衡状态时，截面上任意点B(x,y)的位移、应变能U和外力所作的功W的表达式与上一节表达式相同。将(5.66)代入(5.48)式，对整个截面积分，并注意O为

10、形心，x和y轴为形心主轴，可得：AdzdxxvyyuIxMIyMAFdWWlAyyxxA 02020)()(21dzMMvMFxuMFyrvuFxyyxlyxC22)(2)(2)(21220002222式中 x和y为不对称截面的几何特性。AxyAyxydAyxyIxdAyxxI022022)(21)(21)(212202202222rvuFGIEIvEIuEIElkxyp体系总势能Ep的表达式为：dzMMvMFxuMFyxyyxyx)(2)(2)(2200二 临界荷载的确定(一)假设位移函数，将微分方程组化为求解代数方程组如杆段简支时，边界条件为0,0vuvulzz处，和假设位移函数为：lzn

11、ClznBvlznAusin,sin,sinA、B和C广义坐标或参变数n1,2,3, 弹性曲线的半波数根据势能驻值定理，令0,0,0CEpBEpAEp02200200000CFeFeFFrBexFAeyFCexFBFFCeyFAFFxyyxyxxyyxA、B、C不同时为不同时为0的条件是其系数行列式的条件是其系数行列式=0，则可，则可以得到稳定方程为：以得到稳定方程为：0220220220yyxxxyyxyxexFFFeyFFFeeFrFFFFFF得：解这个特征方程可得F的三个根，其最小根就是所求的临界荷载。三 关于临界荷载的讨论以两端简支的轴压杆为例(一)当杆件为双轴对称，且压力F作用在一个

12、对称轴(假定是y轴)上时，则x0=y0=ey=x=y=0，此时方程形式为：0)()(2220 xyxeFFFFFrFF或者上式的根为设,1Cxrek 22lEIFFxx4)()1 (2121221kFFFFFFkFyyyAIIryx20式中：临界力为上述三根中最小值，并取n1。当临界力为Px时，为绕x轴的弯曲屈曲，当临界力为其它根时，为弯扭屈曲。当为弯扭屈曲时：;, 101有二个正根即若Frekx;, 101FFFFFrekyyx即若受拉时的弯扭屈曲；，负根表示大偏心有一个正根和一个负根即若Frekx, 101与上节相同。和即有两个正根，为心受压，即若FFFFFekyx , 0, 01(二)当杆件为单轴对称，且压力F作用在对称轴(假定是y轴)上时，则x0=ey=x=0，此时方程式的形式为：0)(2)()(20220 xyxyxeyFFeFFrFFFF杆件可能绕x轴弯曲屈曲，也可能是弯扭屈曲。(三)当杆件截面无对称轴时，则为弯扭屈曲。但当偏压力P作用在剪