斜拉索非线性分析的状态修正法

1、第28卷第1期斜拉索非线性分析的状态修正法李国平(同济大学桥梁工程系,上海200092)摘要:Ernst公式常被用于计算斜拉索的弹性模量,但在某些情况下它会造成索力与索拉伸量之间关系的不闭合.为此利用斜拉索外形与索力的协调方程,提出了一种适合斜拉索非线性分析的状态修正法,并由算例证明了此法的正确性、实用性.关键词:斜拉索;非线性;状态修正中图分类号:U442文献标识码:A文章编号:0253-374X(2000)01-0001-04StateRevisionMethodinNonlinearAnalysisofStayCableLIGuo-pingKeywords:stay;nonlinear;

2、staterevision斜拉索由于其自重垂度的影响,索力与索的拉伸量呈非线性关系,且随索力减小而愈加明显.斜拉索的这种性质,也使与之组合的结构反映出不可忽视的非线性问题.为了计入斜拉索的这种特性,同时也便于结构分析,通常采用斜拉索的表观弹性模量来描述其弹性性能,这种弹性模量也就被人们所称的“有效弹性模量”或“修正弹性模量”.其中最早由Ernst提出的计算有效弹性模量公式为1223(1)E1=E/1+WLxAE/(12T)式中:E1即为有效弹性模量;E为不计拉索垂度影响的弹性模量;W,A,T分别为索单位长度的重量、钢丝索截面的面积以及索的拉力;Lx是索水平投影的长度.由于式(1)的E1为一种切

3、线模量,在斜拉索受力变形的计算过程中,索拉力增加时E1值偏小,反之偏大.故当索拉力从T1变为T2时,Ernst及在美国土木工程师协会(ASCE)的暂行规定中,建议采用如下的修正弹性模量2:E1=21+WLxAE(T1+T2)/(24T21T2)22(2)式(2)所表示的修正弹性模量,实际上是一种割线模量,故在使用时,索变形后的拉力T2必须是已知的.根据文献2,斜拉索垂度对斜拉桥内力的影响大致为:主梁内力一般约6%,大者超过10%;索力几乎未改变.这是因为斜拉桥的主梁主要以拉索为支承,不管索的刚度大小,其所承受的拉力应与主梁荷载平衡,故索力变化只是微小的;而主梁内力变化的原因,则主要是斜拉索的非

4、线性伸缩变形.在考虑斜拉索垂度影响的斜拉桥结构非线性分析过程中,由于索与梁、塔相连,其受力大小由结构整体平衡所决定,故通常分级施加荷载并逐步迭代修正E1或E2.然而,由于拉索两端的累加位移与索力增量并不存在线性关系,这种算法将导致索力与索拉伸量之间关系的不闭合(见图1).上述索力与拉伸量之间的不闭合关系,正是斜拉桥倒退分析过程中出现结果不闭合或发散的主要原收稿日期:1998-11-06),男,浙江鄞县人,副教授.作者简介:李国平(1958-同济大学学报第28卷2因.然而,这种不闭合并不反映结构的失衡.事实上,索力与其拉伸量的不闭合,意味着拉索无应力长度的改变,而其原因在于拉索的垂度影响被模拟成

5、可变弹性模量之后,拉索伸长与其弹性抗力偏离了精确值.当然,斜拉索也可以采用柔索微分方程及相应有限元法进行分析35,但拉索在挂索初张之后垂度并不很大,而对结构分析有意义的也正是初张以后.值得注意的是,索力与索拉伸量不闭合的问题并不出于Ernst公式本身,而是在迭代过程中没有保证这种闭合的手段.因此,由此引起的结构位移、主梁及塔1斜拉索状态修正法的原理1.1斜拉索状态协调方程与闭合条件为了建立保证斜拉索在任何受力阶段索力与索拉伸量之间的闭合关系,在此采用与Ernst公式相同的假定条件,(见图2).因图2c受力图式对拉索的曲线长度l无影响2b索的曲线长度l可近似表示成32(3)l=L+W22=L0T

6、01L式中:L01=0/单位长度的自重;其它符号同式(1).式(3)最后一项所表示的拉索弹性伸长近似用T计算.将式(3)改变成如下形式:2222(4)WLcosL0/24T-(1+T/EA)L0+L=0从式(4)可知,无应力计算长度为L0、单位长度的自重为W的斜拉索,当其两端直线距离L、其与水平线的夹角一旦确定,索中点的拉力T随之确定.显然,这是综合描述斜拉索受力及其形状的方程,同时也是保证索力与索拉伸量之间关系闭合的必要条件,故在此将式(4)称为斜拉索状态协调方程,并把它作为索力、变形与索拉伸量之间关系闭合条件.需要指出的是,虽然斜拉索形的精确解为悬链线,但根据文献1,2,假定索形为二次抛物

7、线,对索力与变形的影响仅发生在矢跨比大于0.15,精度要求的.1.2斜拉索状态修正方法图2拉索计算图式Fig.2Calculatingmodelofstaycable这是具有初张力的斜拉索不可能出现的情况,因此采用二次抛物线斜拉索形,是完全能满足工程设计计算在斜拉索非线性分析时,首先需给出索的无应力计算长度L0.利用求根公式由式(4)可得L0=1+T0/EA-2222(1+T0/EA)2-W2L2cos2/12T0)/6T0(WLcos(5)式中:T0为斜拉索的初始张拉力;其它符号同前.若施工期斜拉索调索,无应力计算长度L0将由式(5)改变为另一数值.为了得到拉索两端作用力,按图3荷载分解方式

8、计算.考虑到图3b,c中的R11,R12为图3d中拉索自重反力的R1的两个分量,即R11=R1cos,R12=R1sin(6)其中:R1=W1L/2=WL0/2.图3c中的R2为沿着曲线索l分布的单位长度的自重分量W2=WL0sin/l,其所引起的索端反力为R2=Llydl=fW21+35L(7)第1期李国平:斜拉索非线性分析的状态修正法3式中:y坐标的零点位于拉索两端连线,并垂直于连线指向二次抛物线索的矢高方向;矢高f=W1L2cos/8T.由上,求得拉索两端水平分力H、上端与下端垂直分力Vo,Ve,以及上端与下端索的拉力To,Te如下:H=Tcos-R2sinVo=Tsin+R1+R2co

9、sVe=Tsin-R1+R2cosTo=Te=H+222Vo2(8)H+Ve在结构非线性分析过程中,首先根据斜拉索的初始张拉力或调索之后的索力,按式(5)计算索的无应力计算长度L0.每一次迭代计算时,斜拉索的状态修正按照如下步骤进行:(1)计算斜拉索两端直线距离L及与其水平线的夹角.(2)根据式(4)求解斜拉索中点的拉力T6.(3)根据式(6)(8)计算拉索两端的水平分力H、分力Vo,Ve,形成索端力参与结构整体平衡,To,Te替换原索力.由上可见,图3拉索荷载分析2算例与分析2.1低应力斜拉索闭合条件的校核取3根139<7的成品拉索,在本文方法中它们的斜长L分别取200、300、400

10、m,与水平线的夹角为30°,弹性模量E=205GPa,面积A=5.349×10-3m2,单位长度的重量W=0.4199kNm-1,现在比较其与精确解的差别.按照本文方法,首先采用式(5)计算无应力索长L0,然后再用式(8)可计算出索端拉力及其水平与垂直分力H,Vo,To,Ve,Te.另一方面,根据文献3,4提供的精确解,当拉索无应力长度L0、索端力H,Vo,To,Ve,Te等参数已知时,其在水平、垂直线上的投影长度分别为Lx=Ly=EAHLT+V+lnEAWTe+VeVo-(9)(10)2-W(10)再计算索两端的位置并与本文结果比较,数据列于表1.故按式(9)、表1本文计

11、算结果与精确解的比较Tab.1Comparisonwithaccurateresults本文值L/mT/MPa100Lx/m精确值Lx/m本文值Ly/m精确值Lx/m精确值L/m200300400同济大学学报第28卷4由表1可知,当本文方法将斜拉索两端直线距离L取为200m时,本图4重复荷载结构图式Fig.4Structuralmodelunderrepetitiveloads表2Tab.2C工况初张加P卸P1号索2T/T/T/To/T/Te/1/mm2/mm0598.874-0.23702738.820-6.6653结论本文利用斜拉索外形与其拉力的关系,建立了斜拉索状态协调方程及保证拉索在非线性分析迭代计算收敛的闭合条件,从而避免了在使用Ernst公式时可能出现的索拉力与索拉伸量之间关系的不闭合问题.在拉索应力仅为100MPa、长度为400m、斜角30°的情况下,本文方法就有很高的精度;而当拉索应力大于200MPa后,本文方法与精确解完全一致;在斜拉索初始低应力、重复大应力幅度作用的情况下,本文方法在内力和位移方面的归零精度完全满足工程计算要求.参考文献:1范立础.桥梁工程:下册M.北京:人民交通出版社,1987.2严国敏.现代斜拉桥M.成都:西南交通大学出版社,1996.3潘永仁.悬索桥的几何非线性静力分析及施工控制D.上海:同济大学桥梁工程系,1996.4肖汝诚