两角和与差的正弦、余弦、正切讲义

1、一、【检查作业并讲评】二、【课前热身】了解学生对本次内容的掌握情况，便于查漏补缺。三、【内容讲解】1和、差角公式；2二倍角公式；3降幂公式；4半角公式；5万能公式；6积化和差公式；7和差化积公式；8.三倍角公式：sin3= cos3=9.辅助角公式：两角和与差的三角函数，二倍角公式是高考的重点内容之一，同时也是三角部分中后继学习的基础，最重要的是多数考生得分的主要阵地之一。如2005年全国高考巻（）理科第（7）（11）题，文科第（6）（11）考查两角和与差及倍角公式 ，且得分率是相当高的；再如2005年全国高考巻（）文理科第（7）（8）题，也是得分率比较高的；而且在2005年全国高考巻（）文科

2、卷第（17）题以大题出现。这些都足以说明和、差、倍角的三角函数的重要地位。两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角，如，等；（3）注意倍角的相对性；（4）要时时注意角的范围；（5）化简要求；（6）熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。从近年高考的考查方向来看，这部分常常以选择题和填空题的形式出现，有时也以大题的形式出现，分值约占5%。因此能否掌握好本重点内容，在一定的程度上制约着在高考中成功与否题型讲解 例1 已知，求cos。分析:因为既可看

3、成是看作是的倍角，因而可得到下面的两种解法。解法一：由已知sin+sin=1 ， cos+cos=0 22得 2+2cos cos22得 cos2+cos2+2cos（）=1 即2cos（）=1 解法二：由得 由得 ÷得点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解sin、cos 、 sin 、 cos，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系。本题关键在于化和为积促转化，“整体对应”巧应用。例2 已知求分析：由韦达定理可得到进而可以求出的值，再将所求值的三角函数式用tan表示便可知其值。解法一：由韦达定理得tan所

4、以tan解法二：由韦达定理得tan所以tan点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”。（2）运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等。抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如例3 化简下列各式（1），（2） 分析：（1）若注意到化简式是开平方

5、根和2以及其范围不难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差，分母中的角，若注意到这两大特征，不难得到解题的切入点。解：（1）因为，又因，所以，原式=（2）原式= =。点评：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意三个角的内在联系的作用，是常用的三角变换。（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切割化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧。（3）公式变形，。例4 若分析：注意的两变换，就有以下的两种解法。解法一：由解法二：点评：此题若将的左边展开成再求cosx，sinx的值，就很繁琐，把，并注意角的

6、变换2·运用二倍角公式，问题就公难为易，化繁为简。所以在解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角，如，等。例5 已知正实数a,b满足分析：从方程 的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a，则已知等式可化为关于程，从而可求出由，若注意到等式左边的分子、分母都具有的结构，可考虑引入辅助角求解。解法一：由题设得 解法二：解法三：点评：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式，或在历年高考中使用频率是相当高的，应加以关注；解法三利用了换元法，但实质上是综合了

7、解法一和解法二的解法优点，所以解法三最佳。例6 试求cos2730+cos2470+cos730cos470的值。分析：由于本题非常对称，且两角之和为1200，所以可以构造对偶式，又因其形式与余弦定理相似，所以构造三角形利用正余弦定理求值。解法一：设x= cos2730+cos2470+cos730cos470，y=sin2730+sin2470+sin730sin470，则x+y=2+cos260 ；xy=cos1460+cos940+cos1200=2cos1200cos260 于是，得2x=故cos2730+cos2470+cos730cos470=解法二：由于原式=sin2170+si

8、n24302sin170sin430cos1200，构造三角形ABC,使A=170,B=430,C=1200,其外接圆半径为1，于是由正弦定理，有a=sin170,b=sin430,c=sin1200，再由余弦定理，得a2+b2-2abcosC=c2，即sin2170+sin2430-2sin170sin430cos1200=故cos2730+cos2470+cos730cos470=点评：在三角函数中，同一个角的正弦与余弦、正切与余切分别互为对偶式，它们之间存在着某些特定的关系，利用这种对偶式，可以巧妙求出某些三角函数的值。同时仔细观察和这种类比能力是高考必考查的能力之一，通过仔细观察寻找到

9、解题的突破口，通过类比，知识与能力得以提升。例7是否存在锐角，同时成立？若存在，求出分析：欲求角，则应先求出其三角函数值，由题意条件可知，应求的正切值。解法一：所以满足条件。解法二：点评：三角函数条件式本身就是方程的形式，在进行三角变换时要重视方程的思想方法并会灵活运用。一般地，若知道是某二次方程的两根，这往往与公式有必然的联系；若已知及二次方程的两根有联系，在解题时可充分利用这些联系，列方程求解未知数，另外，解方程组的消元法也是常用的三角变换，当已知条件中有某角时，而所求中没有该角时，常常可以用消元法求解，当求解两个角或其函数值时，可以用消去一角，先求出另一角，其一般方法是代入消元或借助同角

10、三角函数关系式。值得一提的是凡是求某角，基本上是先求出其三角函数值，再求角。例8已知， ，求证：=。分析：由题意首先将向量的坐标求出，再由数量积寻找角的三角函数值。证明：设的坐标为（x,y），则=（），所以，而，所以又因所以，故 =。所以原题得证。点评：求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型，其解题一般思路为 “五遇六想”即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角。“五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效。其中蕴含了一个变换思想（找差异，抓联系，促进转化），两种数学思想（转化思想，和方程思想），三个追求目标（化为特殊角的三角函数值，使之出现相消项或相约项），四种变换方法（切割化弦法，消元降次法，辅助元素法）四、【巩固练习】1.设（ ）A. B. C. D. 或2. 函数y=的最大值是（ ）A. B. C.4