两个重要极限教案

1、高等数学课程教案授课题目§2.6 两个重要极限主讲人刘艳授课时间2013年11月9日课时安排两课时教学目的：（1）掌握两个重要极限公式的特点及其变形式，并能运用其求某些函数的极限；（2）通过对重要极限公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，同时激发学生的学习兴趣。教学重点、难点重点：两个重要极限公式及其变形式难点：两个重要极限的灵活应用授课类型：理论课教学方式：讲授教学手段：多媒体及板书结合教学过程备注回顾：说出函数极限的四则运算法则。新课：一、问题的提出“型”极限的计算方法 ，到目前为止，我们学过因式分解去零因子，有理化分子

2、或分母这两种方法。是不是所有的“型”都可以用这两种方法解决呢？ 问题：如何求？准则1 （夹逼定理）设函数在的某一邻域内满足且有极限，则有例1 求 解 由题意，当时，因为，由定理得 例2. 求 解 由题意，因为，由定理得，即。例3 求解 即 因 所以 由定理得。 ODACB1x 一、第一个重要极限证 如右图，作单位圆O,设圆心角,过点A作圆O的切线，交0B延长线于点C，过点B 作，交OA于点D，于是，得，因为 AOB的面积<圆扇形AOB的面积<AOC的面积，所以 (过程中注意互动，提问扇形面积的计算) 即 由偶函数性质，时也成立。又，由夹逼准则，即得 注意：(1)这个重要极限主要解决

3、含有三角函数、反三角函数的“ 型”的极限。(2)为了强调此极限的一般形式,我们把它形象地写成，等式中的“”内的变量必须完全相同且趋于。例1 求 解 例2 求解 例3 求解 例4 求解 令,则,当时,有.于是由复合函数的极限运算法则得例5 求解 令.当时，. 例6 求解 令,则.当时，.例7 求解 . 练习：求下列极限： 小结：1 正确、灵活地运用公式。2 运用换元法时须注意自变量的变化趋势的改变和系数的变化。3. 利用此公式求极限时，一定要注意变量的变化趋势，不能一概而论，造成思维定势，如求。定义1：设有数列，如果对任何正整数，恒有，则为单调增加数列；定义2：如果对任何正整数，恒有，则为单调减

4、少数列。定义3：如果存在两个常数和，使对任何正整数，恒有，则为有界数列。准则II 单调有界数列必有极限.例如，：可看出，单调减少，且，所以，存在，。二、第二个重要极限（2） 证明 下证这个极限是存在的。 设。先证明是单调增加的。根据二项式定理，有 同理有 比较上面两个展开式的各项，除前两项相等外，从第三项开始，的每一项都大于的对应项，而且还多出一个正的尾项。因而 即单调增加. 再证明是有界的： 因为，所以用代替上式分母中的，得 由此可见，不论多么大，总小于3，即有上界. 因此，极限一定存在。这个极限是个无理数，用字母表示，即 注：（1）类型：型（2）等价形式 （3）推广形式：. 例1求 解 例2 求 解 例3 求解 例4计算 解 练习：（1） （2）小结：理解两个准则：夹逼准则、单调有界准则熟练掌握两个重要极限：，及其变形 教师引导，学生回忆口述提出问题，引发学生兴趣无穷多项无穷小量的和互动引导学生从图中观察特点对重要极限理解的注意事项通过例子加深对重要极限变形理解通过练习巩固对第一个重要极限的掌握理解单调数列的概念掌握第二个重要极限