线性代数浦江A卷

1、南京工业大学浦江学院 线性代数 试题（A）卷（闭） 2009-2010学年第 一 学期 使用班级 浦江学院各专业 班级 学号 姓名 题号一二三四五六七八总分得分（符号说明：表示单位矩阵，表示矩阵的秩，表示行列式，表示矩阵的转置。）一、填空题（每题3分，共15分）1 已知，则 。2 已知，则 。3 设向量分别为属于三阶实对称矩阵的特征值2，1的特征向量，则 。4 若表示可逆方阵的伴随矩阵，则 。5 设向量则 ， 。二、选择题（每题3分，共15分）1设齐次方程组的一个基础解系为，则 （ ）. 2设有个维向量，则 （ ）必线性相关 必线性无关 不一定 无法确定3设是三个同阶方阵、为同阶单位矩阵，且。

2、下列等式：;。其中正确的个数有( )（A） 1个 (B) 3个 (C ) 2个 (D) 4个4设三阶方矩的三个特征值分别为 1,2,4, 又矩阵,则如下正确的是( )(A)矩阵不可逆 (B) 矩阵三个特征值为 -1,3,17 (C)矩阵B不可以对角化 (D) 5若矩阵A的秩为r，则（ ）。（A）A中至少存在一个r阶子式不为零 （B）A中存在一个r+1阶子式不等于零（C）A中所有r1阶子式均不为零 （D）A中只有一个r阶子式不为零三、（12分）计算n阶行列式四、（12分）设四阶矩阵，方阵满足矩阵方程，试求出四阶矩阵。五、（12分）求向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关

3、组线性表示。六、（13分）求下列线性非齐次方程组的通解：七、（16分）已知二次型，试回答下列问题1） 写出此二次型的矩阵；2） 利用正交变换该二次型化为标准型，并给出所使用的正交变换和标准型；3） 判断该二次型是否具有正定性。8、 （5分）设是阶矩阵，是阶矩阵，为阶零矩阵，且，证明：。南京工业大学浦江学院 线性代数 试题 （A）卷试题标准答案2009 -2010 学年第一学期 使用班级 浦江学院各专业 一、填空题（每题3分，共15分）(1)-2 (2) (3) -1 (4) (5) 0,二、选择题（每题3分，共15分）(1) D (2) A (3) C (4) B (5) A三、（12分）解：

4、=()5分（）10分12分四（12分）解：由矩阵方程可得 即 （1）6分又，可逆，方程（1）两边左乘可得8分 12分五（12分）解：以为列构成矩阵，对施行初等行变换将其化为行最简形。 6分故8分其一个极大线性无关组为且12分六、（13分）解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换 8分与原方程组等价的方程组为 令，得原方程组的一个特解为。10分与原方程组对应的齐次方程组等价的方程组为 令得齐次方程组的一个基础解系为故原方程组有无穷多组解时的通解为，为任意常数.13分七（16分）解：二次型的矩阵为4分矩阵的特征方程为故矩阵的特征值为，当解方程组即，解之得；10分当时，解方程组，即，解之得。令，作即为正交变换，其标准型为。13分3）因为矩阵有一个特征值小于零，而其余两个特征值大于零，故该二次型没有正定性。16分八、证明：将矩阵B列分块，即，由于,则可得 3分即为齐次线性