2证明不等式的基本方法二

1、证明不等式的证明不等式的基本方法基本方法 高二数学高二数学 选修选修4-5 第第二二 讲讲二二、综合法综合法与与分析法分析法1. 比较法之一（作比较法之一（作差差法）步骤：法）步骤： 作作差差变形变形判断与判断与0的关系的关系结论结论;2. 比较法之二（作比较法之二（作商商法）步骤：法）步骤： 作作商商变形变形判断与判断与1的关系的关系结论结论. 二、讲解新课：二、讲解新课：(一一) 综合法：综合法：利用某些已经证明过的不等式利用某些已经证明过的不等式 (例如例如均值均值定理定理)和不等式的性质推导出所要证和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立明的不等式成立, 这种证明方法通常叫做综合法这种

2、证明方法通常叫做综合法.一、复习引入：一、复习引入：2. 用综合法证明不等式的逻辑关系是：用综合法证明不等式的逻辑关系是： 3. 综合法的思维特点是：由因导果综合法的思维特点是：由因导果, 即由已知条即由已知条件出发件出发, 利用已知的数学定理、性质和公式利用已知的数学定理、性质和公式, 推推出结论的一种证明方法出结论的一种证明方法.12nABBBBabcbacacbcbacba6)()()(, 0, 1222222 求求证证且且不不全全相相等等已已知知例例abccbaabccb2)(, 0,2 :2222 证明证明abcbacabcacb2)(2)(2222 ，同理同理abcbacacbcb

3、acba6)()()(,222222 把把它它们们相相加加得得少少有有一一个个不不取取等等号号所所以以上上述述三三个个式式子子中中至至不不全全相相等等由由于于.2)1()1)(1(:1,R, .2212121nnnnaaaaaaaaa 求求证证且且已已知知例例, 021, :111 aaRa证明证明, 021 , 02122 nnaaaa同理同理.212122)1 ()1)(1 (,nnnnaaaaaa 得得由不等式的性质由不等式的性质.1,21 ,121时取等号时取等号所以原式在所以原式在取等号取等号时时 niiiaaaaaa1. 重要不等式：如果重要不等式：如果 abbaba2R,22 那

4、么那么)(号号时取时取当且仅当当且仅当 ba2. 定理定理: 如果如果a, b是正数是正数, 那么那么.2abba ).(号号时时取取当当且且仅仅当当 ba3. 公式的等价变形公式的等价变形: ab ab ;222ba .)2(2ba 4 2 (ab0),当且仅当当且仅当ab时取时取“”号号; baab :,常常用用的的不不等等式式有有对对已已证证不不等等式式的的使使用用应应注注意意时时利利用用综综合合法法证证明明不不等等式式7. 定理定理: 如果如果 那么那么, Rcba（当且仅当（当且仅当 时取时取“=”） abccba3333 cba 8. 推论推论: 如果如果 那么那么, Rcba33

5、abccba （当且仅当（当且仅当 时取时取“=”） cba 5. .2)2(222baba .2211222babaabba 6. 练习练习: 1. 若若a + b = 1, 求证：求证：22121 ba证法一证法一: 由幂平均不等式：由幂平均不等式：1222) 1(2)21()21()2121(21 bababa22121 ba.2222baba 1. 若若a + b = 1, 求证：求证：22121 ba证法二证法二: 由均值不等式：由均值不等式：21)21(1)21(21 aaa221)21(21)21(2121 baba21)21(1)21(21 bbb2. a , b, c R+,

6、 求证：求证：; 9)111)()(1( cbacba;29)111)()(2( accbbacba23)3( bacacbcba证证: (1)法一法一: , 033 abccba两式相乘即得两式相乘即得 , 0131113 abccba; 9)111)( cbacba 3 + 2 + 2 + 2 = 9法二：左边法二：左边 ccbabcbaacba )()()(3cbbccaacbaab ; 9)111)()(1( cbacba;29)111)()(2( accbbacba3)()(23222accbbaaccbba 证证:3)()(13111accbbaaccbba 两式相乘即得两式相乘即

7、得 ;29)111)( accbbacba证证: 由上题：由上题： ,29)111)( accbbacba29111 acbcbabac23 bacacbcba即即 .23)3(;29)111)()(2( bacacbcbaaccbbacba(二二)分析法分析法: 从要证的从要证的结论出发结论出发, 逐步寻求使它逐步寻求使它成成立的充分条件立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性定义、公理或已证的定理、性质等质等), 从而得出要证的命题成立从而得出要证的命题成立, 这种证明方法这种证明方法叫做叫做分析法分析

8、法. 1. 用分析法证明不等式的逻辑关系是：用分析法证明不等式的逻辑关系是：2. 分析法的思维特点是：分析法的思维特点是：执果索因执果索因知知成立的充分条件成立的充分条件论论已已步步寻求不等式步步寻求不等式结结 ) ( 21ABBBBn3. 分析法的书写格式：分析法的书写格式： 要证明命题要证明命题B为真，为真， 只需要证明命题只需要证明命题B1 为真，从而有为真，从而有 这只需要证明命题为这只需要证明命题为B2真，从而又有真，从而又有 这只需要证明命题这只需要证明命题A为真为真 而已知而已知A为真，故命题为真，故命题B必为真必为真.6372. 3 求证求证例例, 6372,6372 : 所以

9、要证所以要证都是正数都是正数和和证明证明,1814,18291429 只需证只需证展开得展开得.6372,1814,1814成立成立所以所以成立成立只需证只需证 ,)63()72(22 只需证只需证abccbaaccbbacba 222222, 0, . 4求求证证已已知知例例yzxzyxcbaabcaccbba22222222222)(,)(: 可以考虑用可以考虑用右边各项涉及三个字母右边各项涉及三个字母平方之积平方之积左边各项是两个字母的左边各项是两个字母的观察上式观察上式要证的不等式可化为要证的不等式可化为分析分析bcacbaabccb22222222)(, 0,2 : 证明证明abcc

10、baaccbbacba 222222, 0, . 4求求证证已已知知例例abcbaccabbaacbacbbacac222222222222222)(, 0,22)(, 0,2 )(222)( 2222222222222222cbaabcaccbbaabcacbbcaaccbba abccbaaccbbacbacbacba 222222, 01, 0, 0,故故又又练习练习: 1. 证明证明: 通过水管放水通过水管放水, 当流速相同时当流速相同时, 如如果水管截面的周长相等果水管截面的周长相等, 那么截面是圆的水管比那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大截面是正方形的水管流量大.证明：设

11、截面的周长为证明：设截面的周长为L, 依题意依题意, 截面是圆的水截面是圆的水管的截面面积为管的截面面积为,)2(2 L截面是正方形的水管的截面面积为截面是正方形的水管的截面面积为 ,)4(2L所以本题只需证明所以本题只需证明 ,)4()2(22LL 为了证明上式成立为了证明上式成立, 只需证明只需证明 164222LL 两边同乘以正数两边同乘以正数 得得,42L,411 因此因此, 只需证明只需证明 ,4 上式是成立的上式是成立的, 所以所以 .)4()2(22LL 这就证明了这就证明了, 通过水管放水通过水管放水, 当流速相同时当流速相同时, 如果水管截面的周长相等如果水管截面的周长相等,

12、 那么截面是圆的水管那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大比截面是正方形的水管流量大.说明说明: 对于较复杂的不等式对于较复杂的不等式, 直接运用综合法往直接运用综合法往往不易入手往不易入手, 因此因此, 通常用分析法探索证题途径通常用分析法探索证题途径, 然后用综合法加以证明然后用综合法加以证明, 所以分析法和综合法所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的经常是结合在一起使用的.2. 已知已知a, b, c, dR, )(2222dcba 求证求证: ac+bd证法一证法一(分析法分析法): (1)当当ac+bd0时时, 显然成立显然成立, (2)当当 ac+bd0 时时, 欲证原不等

13、式成立欲证原不等式成立,只需证只需证 (ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)即证即证 a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即证即证 2abcdb2c2+a2d2即证即证 0(bc-ad)2因为因为 a, b, c, dR, 所以上式恒成立所以上式恒成立,综合综合(1)、(2)可知可知: 原不等式成立原不等式成立2. 已知已知a, b, c, dR, )(2222dcba 求证求证: ac+bd证法二证法二(综合法综合法): (a2+b2)(c2+d2) =a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 =(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+

14、a2d2) =(ac+bd)2+(bc-ad)2(ac+bd)2)(2222dcba |ac+bd|ac+bd 故命题得证故命题得证. 2. 已知已知a, b, c, dR, )(2222dcba 求证求证: ac+bd证法三证法三(比较法比较法) : (a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2 =a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 (a2c2+2abcd+b2d2)=(bc-ad)20 =a2d2+b2c2 2abcd(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2 )(2222dcba |ac+bd|ac+bd )(2222dcba 即即 ac+bd3. 设设a, bR+, 且且ab-a-b1, 则有（则有（ ） A. a+b2( +1) B. a+b( +1)2 C. a+b( +1)2 D. a+b2( +1)2222A2)2(ba ab1+a+b解：解：即即, 04)(4)(2 baba,222 ba222 ba(舍去舍去)D4. 已知三个不等式已知三个不等式: ab0, bc-ad0, (其中其中a、b、c