[推荐学习]2022届广东省广州市高考数学一轮复习专项检测试题31平面向量与三角形的应用举例

1、生活的色彩就是学习平面向量与三角形的应用举例一、平面向量与三角形的心1、重心中线交点1是的重心2是的重心是平面上的点证明：是的重心，即由此可得。例如：向量，满足条件，求证：是正三角形。 分析：对于此题中的条件，容易想到，点是的外心，而另一个条件说明，点是的重心。故此题可描述为，假设存在一个点既是三角形的重心也是外心，那么该三角形一定是正三角形。又如，假设一个三角形的重心与外接圆圆心重合，那么此三角形为何种三角形？与此题实质是相同的。 显然，此题中的条件可改为。2、垂心高线交点1是的垂心由，同理，。故是的垂心。反之亦然。2是非直角三角形的垂心，那么有且。3、外心边垂直平分线交点，外接圆圆心1是的

2、外心点到的三个顶点距离相等2是的外心为三边垂直平分线交点3是的外心，那么有且。4、内心角平分线交点，内切圆圆心1是的内心2是的内心3引进单位向量，使条件变得更简洁。记，的单位向量为，那么是的内心4是的内心，那么故或5是的内心6向量所在直线过的内心是的角平分线所在直线7设是所在平面内任意一点，为内心例如：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足那么的轨迹一定通过的 A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心分析：等式即，设，显然都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，那么结果为菱形，故为的平分线，选。5、外心与重心：假设是的外心，是重心，那么6、外心与垂心：假设是的外心，是垂心，那么7、重

3、心与垂心：假设是的重心，是垂心，那么8、外心、重心、垂心：假设分别是锐角的外心、重心、垂心，那么证明：按重心定理：是的重心；按垂心定理：，由此可得：。9、三角形的外心、重心、垂心的位置关系：1三角形的外心、重心、垂心三点共线，即欧拉线；2三角形的重心在欧拉线上，且为外心、垂心连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。例如：在中，分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：三点共线，且。证明：以为原点，所在的直线为轴，建立如上图所示的直角坐标系。设、，分别为的中点，那么有：，由题设可设，即，故三点共线，且。二、应用举例1、在所在平面内，且，且，那么点依次是的 C A、重心 外心 垂

4、心 B、重心 外心 内心 C、外心 重心 垂心 D、外心 重心 内心2、是所在平面内的一点，满足，那么点是的 D A、三个内角的角平分线的交点B、三条边的垂直平分线的交点C、三条中线的交点D、三条高的交点解：由，得 是的垂心，即三条高的交点。3、在同一个平面上有及一点满足关系式：，那么为的 D A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心4、，为三角形所在平面上的动点，且满足：，那么点为的 D A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心5、是所在平面内任意一点，且，那么是的 C A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心解：假设是的重心，那么有是的中点，。与重合，即是的重心。6、的顶点及平面内一点满足：，那

5、么为的 C A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心7、是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足：，那么的轨迹一定通过的 C A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心8、，为三角形所在平面上的一点，且点满足：，那么点为的 B A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心9、在中，动点满足：，那么点一定通过的 B A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心10、是平面内的一个点，是平面上不共线的三点，动点满足，那么点的轨迹一定过的 B A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心11、是平面上不共线的三点，是的重心，动点满足，那么点一定为的 B A、边中线的中点 B、边中线的三等分点非重心 C、重心 D、边

6、的中点分析：取边的中点，那么，由，得3，即点为三角形中边中线的一个三等分点，且不过重心。12、非零向量与满足且，那么为 D A、三边均不相等的三角形 B、直角三角形 C、等腰非等边三角形 D、等边三角形13、的外接圆的圆心为，两边上的高的交点为，那么实数 。解：当为时，不妨设，那么是的中点，是直角顶点，。14、假设是的外心，是三边中点构成的的外心，且，那么 。其实是的中点，；也可用特例时得15、在四边形中，=，那么四边形的面积是 。解析：由题知四边形是菱形，其边长为，且对角线等于边长的倍，所以，故，。16、如图，点是的重心，过作直线与两边分别交于两点，且，求证：。证明：点是的重心，得，有。又三点共线不在直线上，于是存在，使得，有，得，于是得。17、为的外心，求证：。分析：构造坐标系证明。如图，以为坐标原点，在轴的正半轴，