全国理科数学圆锥曲线部分

1、2015-2019全国1卷圆锥曲线考题汇集20152016201720182019 分值22分22分22分22分22分选择题1题2题1题2题1题填空题1题无1题无1题解答题1题1题1题1题1题2015年5已知M（）是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）（A）（-，） （B）（-，）（C）（，） （D）（，）【答案】A【解析】由题知，所以= =，解得，故选A.考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.14一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。【答案】【解析】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.20（本小题满

2、分12分）在直角坐标系中，曲线C：y=与直线（0）交与M,N两点，（）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？说明理由.【答案】（）或（）存在试题解析：（）由题设可得，或，.，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为，即.故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为，即.故所求切线方程为或.（）存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为复合题意得点，直线PM，PN的斜率分别为.将代入C得方程整理得.=.当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPM=OPN，所以符合题意. 考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；

3、探索新问题；运算求解能力2016年5：已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）（A）(1,3)（B）(1,)（C）(0,3)（D）(0,)分析：表示双曲线，则由双曲线性质知：，其中是半焦距焦距，解得 故选A10：以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为（ ）(A)2(B)4 (C)6 (D)810以开口向右的抛物线为例来解答，设抛物线为，设圆的方程为，如图：F设，点在抛物线上，点在圆上，点在圆上，联立解得：，焦点到准线的距离为 故选B20（本小题满分12分）设圆的圆心为A，直线l

4、过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M, N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P, Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.解答：圆A整理为，A坐标，如图，则，由，则所以E的轨迹为一个椭圆，方程为，()；设，因为，设，联立得；则；圆心到距离，所以，2017年10已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为：A16B14C12D10【答案】 A【解

5、析】 设倾斜角为作垂直准线，垂直轴易知同理，又与垂直，即的倾斜角为而，即，当取等号即最小值为，故选A15已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若MAN=60°，则C的离心率为_。 分析：如图， 又，解得 20.（12分）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.解：（1）由于，两点关于y轴对称

6、，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，欲使l：，即，所以l过定点（2，）2018年8设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=A5 B6 C7 D8解析：选D F(1,0)，MN方程为

7、y= (x+2),代入抛物线方程解得交点M(1,2),N(4,4),则=(0,2),=(3,4) ·=811已知双曲线C： - y2 =1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=AB3C2D4解析：选B 依题F(2,0),曲线C的渐近线为y=±x,MN的斜率为，方程为y=(x-2),联立方程组解得M(,- ),N(3, ),|MN|=319（12分）设椭圆C: + y2 =1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0).（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原

8、点，证明：OMA=OMB.解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为(1, )或(1,- ).所以AM的方程为y= - x+或y= x-.（2）当l与x轴重合时，OMA=OMB =00.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMA=OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x-1)(k0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1<,x2<，直线MA，MB的斜率之和为kMA+kMB=+.由y1=kx1-k, y2=kx2-k得kMA+kMB=将y=k(x-1)代入 + y2 =1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0

9、所以，x1+x2=, x1x2=.则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k =0从而kMA+kMB=0，故MA，MB的倾斜角互补，所以OMA=OMB.综上，OMA=OMB.2019年10.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，则C的方程为A. B. C. D. 【答案】B方法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有在和中，由余弦定理得，又互补，两式消去，得，解得所求椭圆方程为，故选B方法二：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有在中，由余弦定理推论得在中，由余弦定理得，解得所求椭圆方程为，故选B【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的

10、落实了直观想象、逻辑推理等数学素养16.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，则C的离心率为_【答案】2.通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率.【详解】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，又OA与OB都是渐近线，得又，得又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为本题考查：平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取几何法，利用数形结合思想解题19.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|【答案】（1）；（2）.（1）设直线：，；根据抛物线焦半径公式可得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设直线：；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用可得，结合韦达定理可