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文档简介

1、伴生椭圆双曲线的有趣性质江西省赣县教师进修学校（341100) 马跃进 （mayuejin60） 广东省深圳市石岩公学高中部 （518108 ） 康 宇 ()2010年广东与重庆的高考数学理科试题第20题顺次如下：1.一条双曲线的左、右顶点分别为，点，是双曲线上不同的两个动点. （1）求直线与交点的轨迹的方程式； （2）若过点的两条直线和与轨迹都只有一个交点，且。求的值.2.已知以原点O为中心,为右焦点的双曲线的离心率为.()求双曲线的标准方程及渐近线方程;图1()如图1,已知点的直线 的直线的交点E在双曲线上, 直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G,H两点,求的值. 不难发现，上述两道试题

2、均涉及到椭圆与双曲线这一对特殊圆锥曲线的性质问题.那么这一对特殊圆锥曲线之间到底存在何种内在的联系？经过探究发现如下一些命题，写在下面，供同学们学习时参考.命题1 （1）若点在椭圆上,关于x轴对称,则直线交点M的轨迹为双曲线；（2）若点在双曲线上,关于x轴对称,则直线交点M的轨迹为椭圆.证明 (1)如图2设则图2且直线直线 上面两式相乘得 由得.代入化简得交点M的轨迹为对于（2）的证明仿上可证.命题1揭示了特定椭圆与双曲线之间的一种相生相伴的内在关系,使得从表面上并无直接联系的这两种特定的圆锥曲线联系起来，因此我们不妨把椭圆与双曲线称之为伴生椭圆双曲线.命题2 已知点是双曲线上异于顶点的任意一

3、点, 过点作椭圆的两条切线切点为直线与双曲线两条渐近线相交于两点,O为坐标原点,则图3(1) 直线与双曲线相切；(2)；(3)证明 (1)如图3，设是椭圆的两条切线,直线AB的方程为 由故直线与双曲线相切.(2)由即故(2)O到直线AB的距离由而故(3)成立.综上可知，命题2成立.命题3 如图1,已知点是椭圆上异于x轴顶点的任意一点,过点作双曲线的两条切线切点为直线与双曲线两条渐近线相交于两点,O为坐标原点,则(1)直线与椭圆相切；(2)；图4(3). 证明 (1)如图4，设是双曲线的两条切线,直线AB的方程为 直线与椭圆相切.(2)设AB的中点为 的中点为由得 由得 即重合(3)设即 从而，

4、 故当且仅当时，即P点为在y轴上的顶点时，为取等号成立.命题3成立.图5命题4 如图5，直线l与椭圆相交于不同两点且与双曲线相切于点,过两点与相切的直线分别为相交于点,则点在双曲线上,且关于x轴对称.证明 (1)设则直线的方程是解方程组得又解方程组得其中, 可得显然点在双曲线上,且关于x轴对称.故命题4成立.仿上可证明命题5 如图6,直线l与双曲线相交于不同两点且与椭圆相切于点,过两点与相切的直线分别为相交于点,则点在双曲线上,且关于x轴对称.图6最后，应用上述伴生椭圆双曲线的性质,给出本文开头两道高考题的简明解答：对于问题1（1），利用命题1，即知欲求的轨迹方程式为.对于问题2()，利用命题2有由已知得,分别是与椭圆相切于不同两点M,N的切线.由于是一对伴生曲线椭圆双曲线, 由命题2,所

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