CHP4快速傅立叶变换（课堂PPT）

1、.1赵发勇 zfy_物电学院.24.1概述概述4.2时间抽取（时间抽取（DIT）基）基2FFT算法算法4.3频率抽取（频率抽取（DIF）基）基2FFT算法算法4.5分裂基算法分裂基算法4.6线性调频线性调频Z变换变换4.7与本章有关节与本章有关节MATLAB文件文件.3 快速傅里叶变换快速傅里叶变换(FFT)(FFT)是求解离散傅里叶变换是求解离散傅里叶变换(DFT)(DFT)的快速算法。的快速算法。问题的提出问题的提出 直接计算直接计算N N点点DFTDFT需要的计算量是多少？需要的计算量是多少？ 计算一个计算一个X(k)X(k)需要需要N N次复数乘法和次复数乘法和N N一一1 1次复数次

2、复数加法。算出全部加法。算出全部N N点点X(k)X(k)共需共需N N2 2次复数乘法和次复数乘法和N(NN(N一一1)1)次复数加法次复数加法. . 总运算量近似地正比于总运算量近似地正比于N N2 2 。当。当N N值很大（如值很大（如2-2-D D图像处理），运算量将非常庞大；同时，对于实图像处理），运算量将非常庞大；同时，对于实时性很强的信号处理来说，必将对计算速度有十时性很强的信号处理来说，必将对计算速度有十分苛刻的要求。为此，需要改进对分苛刻的要求。为此，需要改进对DFTDFT的计算方法的计算方法，以减少总的运算次数。，以减少总的运算次数。.4在正交矩阵中，虽然有在正交矩阵中，虽

3、然有N N2 2个元素，但只有个元素，但只有N N个不同个不同的值，且有些取值特别简单，主要由于旋转因子具的值，且有些取值特别简单，主要由于旋转因子具有如下的特点：有如下的特点：对称性对称性周期性周期性下面以四点下面以四点DFT为例来说明快速算法的思路。为例来说明快速算法的思路。01.1W 2.1,1NmNWW3.N rrWW24.1NW 25.NrrWW 如何充分利用这些关系.5* ( )( )( )( )( )( )( )( )=jjjjjjjjjXxeeeXxXxeeeXxeeeWWWW2221 12 13 14442221 22 23 24442221 32 33 3444111111

4、1100111221331111111111111( )( ) ( )( )xxxx 0123.6( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )= ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) XxXWWxXxXWWxxxxxxxxxWxxxxxxxxW111111011110111221111131130213021302130213交换矩阵第二列和第三列得交换矩阵第二列和第三列得从上面的结果可以看出从上面的结果可以看出, ,利用对称性和周期性，求利用对称性和周期性，求四点四点DFTDFT只需要一次复数乘法，称为只需要一次

5、复数乘法，称为Coolkey-TukeyCoolkey-Tukey算法。算法。.711(0) (0)(2) (1)(3)(1) (0)(2) (1)(3)(2) (0)(2) (1)(3)(3) (0)(2) (1)(3)XxxxxXxxxxWXxxxxXxxxxW11(0)(2)xx(1)(3)xx(0)(1)XX(2)(3)XX111W(0)(2)xx(0)(2)xx(1)(3)xx(1)(3)xx.8u算法分类：算法分类：N N为为2 2的整次幂的整次幂：按基数分为基：按基数分为基-2FFT-2FFT算法、算法、基基-4FFT-4FFT算法、混合基算法、混合基FFTFFT算法、分裂基算法

6、、分裂基FFTFFT算法算法; ;当当N N不是不是2 2的整次幂的整次幂: :典型的有典型的有Winograd Winograd 算法算法. .按抽取方法分：时间抽取按抽取方法分：时间抽取(Decimation(DecimationininTimeTime，简称，简称DIT)DIT)；频率抽取；频率抽取(Decimation(DecimationininFrequencyFrequency，简称，简称DIF)DIF) .9 为了将大点数的为了将大点数的DFT DFT 分解为小点数的分解为小点数的DFTDFT运算，要求序列的长度运算，要求序列的长度N N为为N N2 2M M (M (M为正为

7、正整数整数) )。该情况下的变换称为基。该情况下的变换称为基2 FFT2 FFT。 N点DFTN/2点 DFTN/4点 DFT 2点 DFT 1个 2个 4个 N/2个问题是如何分最有效？可以对时间变量分问题是如何分最有效？可以对时间变量分（DIT)，也可对频率变量分，也可对频率变量分(DIF）.10/()/( )()()()()NNrkrkNNrrNNrkkrkNNNrrX kxr WxrWxr WWxrW2 12 1221002 12 12200221221()(), ,/xrxrrN2210 12 1和，基本思路：从时域将基本思路：从时域将N N点序列点序列x(n)x(n)按奇偶项分解为

8、按奇偶项分解为两组，分别计算两组两组，分别计算两组N/2N/2点点DFTDFT，然后再合成一个，然后再合成一个N N点点DFTDFT，按此方法继续下去，直到，按此方法继续下去，直到2 2点点DFTDFT，从而减，从而减少运算量。少运算量。算法具体步骤：算法具体步骤：一、算法的推导一、算法的推导1 1、序列、序列x(n)x(n)按奇偶项分解为两组，将按奇偶项分解为两组，将DFTDFT运算也运算也相应分为两组相应分为两组则则.11/( )()( )()( )( )( )NrkNrNrkNrkNA kxr WB kxrWX kA kW B k2 1202 1202212 2、两个、两个N/2N/2点

9、的点的DFTDFT合成一个合成一个N N点点DFTDFT问题：问题：A(k)A(k)，B(k)B(k)都只有都只有N/2N/2个点，怎样得到个点，怎样得到X(k)X(k)的后的后N/2N/2点？利用周期性和对称性得点？利用周期性和对称性得 (/ )( )( )kNX kNA kW B k2.12.133 3、继续分解（一直分解到两点、继续分解（一直分解到两点DFTDFT变换）变换） A(K)和和B(K)仍是高复合数仍是高复合数(N2)的的DFT，我们可，我们可按上述方法继续以分解。令按上述方法继续以分解。令r2l，r2l十十1，l0，1，N4-1，则，则A(K)和和B(K)可分别表示为可分别表

10、示为.14令令则则.15同理，令同理，令则则按此方法一直分解下去直到按此方法一直分解下去直到2 2点点DFTDFT，当，当N=8N=8时，如下：时，如下：.16.17下面通过讨论寻找下面通过讨论寻找FFTFFT的一般规律。的一般规律。二、算法的讨论二、算法的讨论1 1、“级级”的概念的概念 在分解过程中，每分一次，称为一级运算在分解过程中，每分一次，称为一级运算。因为。因为M=log2NM=log2N，所以，所以N N点点DFTDFT可以分解为可以分解为M M级，级，按抽取算法的信号流图中来定义，从左到右分按抽取算法的信号流图中来定义，从左到右分别称为别称为0 0级、级、1 1级到级到M-1M

11、-1级。级。.18( )( )( )( )( )( )rmmNmrmmNmxpxpW xqxqxpW xq112 2、蝶形单元、蝶形单元 在算法的信号流图中，第在算法的信号流图中，第m m级存在这种运级存在这种运算，这种结构几何形状像蝴蝶，称为蝶形单元算，这种结构几何形状像蝴蝶，称为蝶形单元p p、q q是参于本蝶形单元运算的上、下节点的序号。由是参于本蝶形单元运算的上、下节点的序号。由于第于第m m级序号的两点只参于这一个蝶形单元的运算，级序号的两点只参于这一个蝶形单元的运算，其输出在第其输出在第m m十十l l级。且这一蝶形单元也不再涉及别的级。且这一蝶形单元也不再涉及别的点。由于这一特点

12、，在计算机编程时，我们可将蝶形点。由于这一特点，在计算机编程时，我们可将蝶形单元的输出仍放在输入数组中，这一特点称为单元的输出仍放在输入数组中，这一特点称为“同址同址运算运算”。.19.20loglogcaNMNMNMNNMN2222 由于一级都含有由于一级都含有N/2N/2个蝶形单元，每个蝶形单元个蝶形单元，每个蝶形单元需要需要1 1次复数乘法和两次复数加法，因此完成次复数乘法和两次复数加法，因此完成loglog2 2N N级级共需要的复数乘法和加法分别为共需要的复数乘法和加法分别为 直接计算直接计算DFTDFT时所需的复乘数与复加数都是与时所需的复乘数与复加数都是与N2N2成正比的。所以采

13、用成正比的。所以采用FFTFFT算法使运算量大大减少。显算法使运算量大大减少。显然，然，N N值愈大，节省的运算量愈多。值愈大，节省的运算量愈多。.213 3、“组组”的概念的概念 在分解过程中，每一级的在分解过程中，每一级的N/2N/2个蝶形单元个蝶形单元可以分成若干组，每一组具有相同的结构和可以分成若干组，每一组具有相同的结构和W W因子分布。第因子分布。第m m级可分成级可分成N/2N/2m+1m+1组。组。.22例：例：N=8=23，分，分3级。第一级的分组及级。第一级的分组及Wr因子如下：因子如下：m=0级级,分成四组：因子为分成四组：因子为m=1级级,分成二组分成二组,因子为因子为

14、m=2级级,分成一组分成一组,因子为因子为/NWWW000428/,NNNNWWW WW W0102022288,NNNNW W W WW W W W0123012388884 4、W Wr r因子的分布因子的分布 由上分析可知由上分析可知结论：结论：每由后向前（每由后向前（m由由M-1-0级）推进一级，则级）推进一级，则此系数为后级系数中偶数序号的那一半。此系数为后级系数中偶数序号的那一半。.235 5、码位倒置、码位倒置 在在FFTFFT算法中，输出的频谱依照正常次序算法中，输出的频谱依照正常次序排列，但输入的序列排列，但输入的序列x(n)x(n)是按奇偶分开的，分是按奇偶分开的，分开的规

15、律，以开的规律，以N=8N=8为例，按如下方法进行排序为例，按如下方法进行排序（1 1）、将）、将x(n)x(n)的序号写成二进制的序号写成二进制 x(000),x(001), x(000),x(001), x(110) ，x(111)x(111)。（2 2）将二进制的码进行翻转，得）将二进制的码进行翻转，得 x(000),x(100), x(000),x(100), x(011) ， x(111)x(111)。（3 3）将二进制的翻转码转换为对应的十进制）将二进制的翻转码转换为对应的十进制 x(0),x(4), x(3)x(0),x(4), x(3)，x(7)x(7)。 这就是按奇偶抽取得到

16、的顺序。这就是按奇偶抽取得到的顺序。.24说明：说明： 在上述的基在上述的基2FFT2FFT算法中，由于每一算法中，由于每一步分解都是按输入序列步分解都是按输入序列x(n)x(n)在时域上的次在时域上的次序是属于偶数还是奇数来抽取的，所以称序是属于偶数还是奇数来抽取的，所以称为为“按时间抽取法按时间抽取法”或或“时间抽取时间抽取”。 上述的基上述的基2FFT2FFT算法中，抽取也可在算法中，抽取也可在频域进行，引出频率抽取（频域进行，引出频率抽取（DIFDIF）基）基2FFT2FFT算法。算法。.25 设输入序列长度为设输入序列长度为N=2M(M为正整数为正整数)，频率抽取法将输入序列不是按奇

17、、偶分组，频率抽取法将输入序列不是按奇、偶分组，而是按前后对半分开，这样可将而是按前后对半分开，这样可将N点点DFT写成前后两部分写成前后两部分;将该序列的频域的输出序将该序列的频域的输出序列列X(k)(也是也是N点序列，按其点序列，按其频域顺序的奇频域顺序的奇偶分解偶分解为越来越短的子序列，称为为越来越短的子序列，称为基基2按按频率抽取的频率抽取的FFT算法算法。也称为。也称为Sander-Tukey算法。算法。.26算法分析算法分析 现将输入现将输入x(n)按按n的顺序分前后两部分的顺序分前后两部分:前半子序列前半子序列x(n),0nN/2-1;后半子序列后半子序列x(n+N/2),0nN

18、/2-1;例：例：N=8时，前半序列为：时，前半序列为：x(0),x(1),x(2),x(3); 后半序列为：后半序列为： x(4),x(5),x(6),x(7); 考虑考虑N点的点的DFT,由由DFT定义得定义得.27()()( ) ( )()( )() ( )()NNNnknknkNNNnnNNNnknkNNnnNNknkNNnNkNNjkkNj kNNNkNNX kx n Wx n Wx nWNx n Wx nWNx nx nWWkWWeekW 112200112220012202222222211（偶又奇.28/( ) ( )(), ,() ( )(), ,(NnkNnNnrNnjnr

19、jnrnrnrnrNNNNNNX kx nx nWkNkrNNXrx nx nWrWWeeW2 102 12022222220 222220 1122代入又）按按k k的奇偶将的奇偶将X(k)X(k)分成奇偶两部分分成奇偶两部分, k=2r, k=2r和和k=2r+1,k=2r+1,考虑考虑k k为偶数情况为偶数情况/( )( )(), ,()( )NnrNnNNg nx nx nnXrg n W2 1200 1 21222令令.29/( ) ( )(), ,() ( )(), ,NnkNnNnr nNnNX kx nx nWkNkrNNXrx nx nWr2 102 1200 2222121

20、0 1122代入考虑考虑k k为奇数情况为奇数情况/( ) ( )(), ,()( )nNNnrNnNNh nx nx nWnXrh n W2 1200 1 212221令令.30结论结论 一个一个N点的点的DFT被分解为两个被分解为两个N/2点点;与时间抽取法的推演与时间抽取法的推演过程一样，由于过程一样，由于N=2M,因此因此,N/2仍为偶数，所以可以将仍为偶数，所以可以将N/2点点DFT的输出的输出X(k)再分为偶数组和奇数组，这样就将一个再分为偶数组和奇数组，这样就将一个N/2点的点的DFT分成两个分成两个N/4点点DFT的输入，也是将的输入，也是将N/2点的点的DFT的的输入上、下对

21、半分后通过蝶形运算而形成，直至最后为输入上、下对半分后通过蝶形运算而形成，直至最后为2点点DFT。/( )( )(), ,( ) ( )(), ,()( ),()( )nNNNnrnrNNnnNNg nx nx nnNNh nx nx nWnXrg n WXrh n W2 12 122000 1 21220 1 2122221.318点点DIF基基2FFT算法流图算法流图 .32.33DITDIT与与DIFDIF的相同之处：的相同之处：（1 1）DIFDIF与与DITDIT两种算法均为原位运算。两种算法均为原位运算。（2 2）DIFDIF与与DITDIT运算量相同。运算量相同。DITDIT与与

22、DIFDIF的不同之处：的不同之处：（1 1）DIFDIF与与DITDIT两种算法结构倒过来。两种算法结构倒过来。DIFDIF为输入顺序，输出乱序。运算完毕再运行为输入顺序，输出乱序。运算完毕再运行“二进二进制倒读制倒读”程序。程序。DITDIT为输入乱序，输出顺序。先运行为输入乱序，输出顺序。先运行“二进制倒读二进制倒读”程序，再进行求程序，再进行求DFTDFT。（2 2）DIFDIF与与DITDIT根本区别：在于蝶形结不同。根本区别：在于蝶形结不同。DITDIT的复数相乘出现在减法之前。的复数相乘出现在减法之前。DIFDIF的复数相乘出现在减法之后。的复数相乘出现在减法之后。.34u自从基

23、自从基2快速算法出现以来，人们仍在不断寻求快速算法出现以来，人们仍在不断寻求更快的算法。更快的算法。1984年，法国的杜梅尔年，法国的杜梅尔(P.Dohamel)和霍尔曼和霍尔曼(H.Hollmann)将基将基2分解和基分解和基4分解糅合分解糅合在一起，提出了在一起，提出了分裂基分裂基FFT算法算法。其运算量比前。其运算量比前几种算法都有所减少，运算流图却与基几种算法都有所减少，运算流图却与基2FFT很很接近，运算程序也很短。接近，运算程序也很短。它是目前一种实用的高它是目前一种实用的高效新算法。效新算法。.35 分裂基算法分裂基算法又称又称基基2/42/4算法算法, ,算法的算法的基本基本思

24、路思路是是: :对偶号输出使用基对偶号输出使用基2 2算法算法, ,对奇号输对奇号输出使用基出使用基4 4算法。算法。下面首先介绍基下面首先介绍基4 4算法：算法：令令N=4N=4M M，对，对N N点点DFTDFT可按下面方法进行频率抽可按下面方法进行频率抽取取/( )( )( )( )( )NNNNnknknknkNNNNnn Nn NnNX kxnWxnWxnWxnW4 12 134 1104234分别令分别令k=4rk=4r， k=4r+2k=4r+2， k=4r+1k=4r+1， k=4r+3k=4r+3，其中，其中，r=0r=0，1 1，2 2，N/4-1N/4-1，有，有.36/

25、()( ( )() ( ()()()( ( )() ( ()()()( ( )()( ()()()NnrNnNnnrNNnNnnrNNnNNNXrx nx nx nx nWNNNXrx nx nx nx nW WNNNXrx nx nj x nx nW WXr4 1404 12404 1403424434224434124443/( ( )()( ()()NnnrNNnNNNx nx nj x nx nW W4 13403244.37.38/()( ( )()( ()()()( ( )()( ()()NnnrNNnNnnrNNnNNNX rx nx nj x nx nWWNNNX rx nx

26、nj x nx nW W 4 1404 1340341244343244算法分析算法分析 对于对于N=4N=4M M点点DFTDFT，当输出项，当输出项k k为偶数时，采用为偶数时，采用基基2 2算法，即算法，即/() ( )()NnrNnNXrx nx nW2 12022当输出项当输出项k k为奇数时，采用基为奇数时，采用基4 4算法，即算法，即.39.40.41分析：分析： 一个一个N N点点DFTDFT可以分解为一个可以分解为一个N/2N/2点点DFTDFT和两个和两个N/4N/4点点DFTDFT。由。由x(n) x(n+N/4) x(n+N/2)x(n) x(n+N/4) x(n+N/

27、2)和和x(n+3N/4)x(n+3N/4)求求N/2N/2点点DFTDFT和和N/4N/4的的DFTDFT只需要两次乘法只需要两次乘法，可以减少运算量。，可以减少运算量。 N/2N/2点点DFTDFT可进一步分解为可进一步分解为一个一个N/4点点DFT和两个和两个N/8的的DFT。N/4N/4的点的点DFTDFT进一步分解为进一步分解为一个一个N/8点点DFT和两和两个个N/16的的DFT。 这样一直下去，直到分解为两点或这样一直下去，直到分解为两点或4 4点点DFTDFT为止。为止。.42结论：结论： 分裂基分裂基FFTFFT算法结构同基算法结构同基2FFT2FFT算法结构相似，算法结构相

28、似，适用于适用于N=2N=2M M的场合，并由的场合，并由M M级运算实现。运算流图输级运算实现。运算流图输入为顺序，输出为倒序。入为顺序，输出为倒序。()()MRMRMNMNANMN 438261399816221399分裂基分裂基FFTFFT算法的计算量算法的计算量.43 以上提出以上提出FFT算法，可以很快地求出全部算法，可以很快地求出全部DFT值。值。即求出有限长序列即求出有限长序列x(n)的的z变换变换X(z)在单位园上在单位园上N个等个等间隔抽样点间隔抽样点zk处的抽样值。它要求处的抽样值。它要求N为高度复合数。为高度复合数。即即N可以分解成一些因子的乘积。例可以分解成一些因子的乘

29、积。例N=2L 实际上：实际上：（1）也许对其它围线上也许对其它围线上z变换取样发生兴趣变换取样发生兴趣。如语音。如语音处理中，常常需要知道某一围线处理中，常常需要知道某一围线z变换的极点所处的变换的极点所处的复频率。复频率。（2）只需要计算单位圆上某一段的频谱只需要计算单位圆上某一段的频谱,即即M不等于不等于N。如窄带信号，希望在窄带频率内频率抽样能够非常如窄带信号，希望在窄带频率内频率抽样能够非常密集，提高分辨率，带外则不考虑。密集，提高分辨率，带外则不考虑。（3）若若N是大素数时，不能加以分解，又如何有效计是大素数时，不能加以分解，又如何有效计算这种序列算这种序列DFT。例。例N=311

30、，若用基，若用基2则须补则须补N=28=512点，要补点，要补211个零点。个零点。.44问题提出问题提出 为了提高为了提高DFT的灵活性，须用新的方法。线性调的灵活性，须用新的方法。线性调频频z变换变换(CZT)就是适用这种更为一般情况下，由就是适用这种更为一般情况下，由x(n)求求X(zk)的快速变换。的快速变换。CZT 来自于雷达专业的专用词汇。来自于雷达专业的专用词汇。Z 变换采用螺线抽变换采用螺线抽样样,可计算单位圆上任一段曲线的可计算单位圆上任一段曲线的Z变换，适用于变换，适用于更一般情况下（更一般情况下（M不等于不等于N）由）由x(n)求求X(zr)的快速的快速算法算法, 达到频

31、域细化的目的，这种变换称为线性调达到频域细化的目的，这种变换称为线性调频频Z变换变换(简称简称CZT )。.45 为适应为适应z可以沿平面内更一般的路径取值，我们沿可以沿平面内更一般的路径取值，我们沿z平面上的一段螺线作等分角的抽样，则平面上的一段螺线作等分角的抽样，则z的取样点的取样点Zr可表示为：可表示为：)()NnnXzx nz10（, ,rrzAWrM0 11,jjAA eWW e0000 已已 知知 N点序列点序列x(n) ，0nN-1,其其z变换为变换为其中其中M：表示欲分析的复频谱的点数。：表示欲分析的复频谱的点数。M不一定等于不一定等于N。A，W 都为任意复数都为任意复数,令令

32、 一、一、CZTCZT的定义的定义.46()()()()NnkrnNnnrnzXzC Z Tx nx n zx n AW1010代 入中 得, ,rM0 11上式即为上式即为CZTCZT的定义的定义. .现在讨论现在讨论A A0 0,W,W0 0,0 0,0 0的的含义含义: : 为输出为输出M M点的变换域值点的变换域值.r=0.r=0时的时的A A0 0e ej0j0是是CZTCZT的起点的起点, ,随着随着r r的变化的变化,r,r0 0,r,r1 1,R,RM-1M-1构成构成CZTCZT的变化路径，对于的变化路径，对于M-1M-1点其极坐标为点其极坐标为()()jj MMQA eWe

33、001100.47.48CZTCZT在现在现Z Z平面上的变换路径是一条平面上的变换路径是一条螺旋线螺旋线。（1）A为起始样点位置为起始样点位置,jAA eA0000：起点半径，大于起点半径，大于1 1时，表示螺旋线在单位圆外时，表示螺旋线在单位圆外，反之，在单位圆内。，反之，在单位圆内。起点半相角。起点半相角。（2）当）当W01,螺旋线内旋，反之外旋。螺旋线内旋，反之外旋。（3）当）当A0=W0=1时，时，CZT的变换路径为单位圆上的变换路径为单位圆上的一段弧，起点为的一段弧，起点为P，终点为，终点为Q，且，且M不一定等不一定等于于N。.49。变换求出该序列即由，为均匀分布在单位园上此时等分

34、）时，（。即即（当满足下面特殊条件：DFTCZTzNNMWeeWWcAeAAbNMarNjjj221,)(01, 1)(: )4(002000000.50()()() ()( )( ) ( )nr nrNNnnknrnnrnr nNnnnrnrrnX zx n A Wx n A WWWWx n A WW22222222211222001222012利用 考虑考虑A0=W0=1时，在单位圆上时，在单位圆上CZT，且，且M不一定等不一定等于于N。.51( )( ), ( )()( ) (), ,()( )( )() ( )( ), ,( )nnnrNrnrrrrrg nx n A Wh nWX z

35、Wg n h rn rMX zg nh nWX zWg rh rkMWy r222222221202220 110 11令由上式可知：可以由与的离散卷并乘得到，即：.52( )rX z( )x nnnA W22rW22( )nhn W22( )g n( )y rCZTCZT的线性滤波计算步骤的线性滤波计算步骤.53二、二、CZTCZT的计算方法的计算方法分析：分析：从上面的推导过程可以看出，计算从上面的推导过程可以看出，计算CZTCZT关键是计算一个线性卷积关键是计算一个线性卷积( )( )( )y rg rh r其中，其中，g(n)g(n)应为应为N N点序列，点序列，h(n)h(n)应为偶对称的应为偶对称的无限长序列，考虑到输出无限长序列，考虑到输出M M点序列，点序列，h(n)h(n)的实的实际长度应为际长度应为M M点。因此，可用点。因此，可用DFTDFT来实现两者