非线性规划问题

1、5.3 非线性规划问题单变量函数求最小值的标准形式为minxf(x) sub.to x1<x<x2在MATLAB5.x中使用fmin函数求其最小值。函数 fminbnd格式 x = fminbnd(fun,x1,x2) %返回自变量x在区间x1<x<x2上函数fun取最小值时x值，fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。x = fminbnd(fun,x1,x2,options) % options为指定优化参数选项x,fval = fminbnd() % fval为目标函数的最小值x,fval,exitflag = fminbnd() %xit

2、flag为终止迭代的条件x,fval,exitflag,output = fminbnd() % output为优化信息说明 若参数exitflag>0，表示函数收敛于x，若exitflag=0，表示超过函数估计值或迭代的最大数字，exitflag<0表示函数不收敛于x；若参数output=iterations表示迭代次数，output=funccount表示函数赋值次数，output=algorithm表示所使用的算法。 例5-2 计算下面函数在区间(0，1)内的最小值。x3+cosx+xlogxf(x)= ex解：>> x,fval,exitflag,output=

3、fminbnd('(x3+cos(x)+x*log(x)/exp(x)',0,1)x =0.5223fval =0.3974exitflag =output =iterations: 9funcCount: 9algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation'例5-3 在0，5上求下面函数的最小值f(x)=(x3)31解：先自定义函数：在MATLAB编辑器中建立M文件为：function f = myfun(x)f = (x-3).2 - 1;保存为myfun.m，然后在命令窗口键入命令：>

4、;> x=fminbnd(myfun,0,5)则结果显示为：x =3多元函数最小值的标准形式为minxf(x)其中：x为向量，如x=x1,x2,L,xn在MATLAB5.x中使用fmins求其最小值。命令 利用函数fminsearch求无约束多元函数最小值函数 fminsearch格式 x = fminsearch(fun,x0) %x0为初始点，fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。x = fminsearch(fun,x0,options) % options查optimsetx,fval = fminsearch() %最优点的函数值x,fval,exit

5、flag = fminsearch() % exitflag与单变量情形一致x,fval,exitflag,output = fminsearch() %output与单变量情形一致注意：fminsearch采用了Nelder-Mead型简单搜寻法。32例5-4 求y=2x1+4x1x3210x1x2+x2的最小值点解：>>X=fminsearch('2*x(1)3+4*x(1)*x(2)3-10*x(1)*x(2)+x(2)2', 0,0)结果为X =1.0016 0.8335或在MATLAB编辑器中建立函数文件function f=myfun(x)f=2*x(1

6、)3+4*x(1)*x(2)3-10*x(1)*x(2)+x(2)2;保存为myfun.m，在命令窗口键入>> X=fminsearch ('myfun', 0,0) 或 >> X=fminsearch(myfun, 0,0)结果为：X =1.0016 0.8335命令 利用函数fminunc求多变量无约束函数最小值函数 fminunc格式 x = fminunc(fun,x0) %返回给定初始点x0的最小函数值点x = fminunc(fun,x0,options) % options为指定优化参数x,fval = fminunc() %fval最优点

7、x处的函数值x,fval,exitflag = fminunc() % exitflag为终止迭代的条件，与上同。x,fval,exitflag,output = fminunc() %output为输出优化信息x,fval,exitflag,output,grad = fminunc() % grad为函数在解x处的梯度值x,fval,exitflag,output,grad,hessian = fminunc() %目标函数在解x处的海赛（Hessian）值注意：当函数的阶数大于2时，使用fminunc比fminsearch更有效，但当所选函数高度不连续时，使用fminsearch效果较好

8、。2例5-5 求f(x)=3x1+2x1x2+x22的最小值。>> fun='3*x(1)2+2*x(1)*x(2)+x(2)2'>> x0=1 1;>> x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fminunc(fun,x0)结果为：x =1.0e-008 *-0.7591 0.2665fval =1.3953e-016exitflag =1output =iterations: 3funcCount: 16stepsize: 1.2353firstorderopt: 1.6772e-007algorithm:

9、 'medium-scale: Quasi-Newton line search'grad =1.0e-006 *-0.16770.0114hessian =6.0000 2.00002.0000 2.0000或用下面方法：>> fun=inline('3*x(1)2+2*x(1)*x(2)+x(2)2')fun =Inline function:fun(x) = 3*x(1)2+2*x(1)*x(2)+x(2)2>> x0=1 1；>> x=fminunc(fun,x0)x =1.0e-008 *-0.7591 0.2665

10、非线性有约束的多元函数的标准形式为：minf(x) xsub.to C(x)0Ceq(x)=0AxbAeqx=beqlbxub其中：x、b、beq、lb、ub是向量，A、Aeq为矩阵，C(x)、Ceq(x)是返回向量的函数，f(x)为目标函数，f(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非线性函数。在MATLAB5.x中，它的求解由函数constr实现。函数 fmincon格式 x = fmincon(fun,x0,A,b)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = fmincon(fun,x0,A,

11、b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)x,fval = fmincon()x,fval,exitflag = fmincon()x,fval,exitflag,output = fmincon()x,fval,exitflag,output,lambda = fmincon()x,fval,exitflag,output,lambda,grad = fmincon()x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian = fmincon()参数说

12、明：fun为目标函数，它可用前面的方法定义；x0为初始值；A、b满足线性不等式约束Axb，若没有不等式约束，则取A= ，b= ；Aeq、beq满足等式约束Aeqx=beq，若没有，则取Aeq= ，beq= ；lb、ub满足lbxub，若没有界，可设lb= ，ub= ；nonlcon的作用是通过接受的向量x来计算非线性不等约束C(x)0和等式约束Ceq(x)=0分别在x处的估计C和Ceq，通过指定函数柄来使用，如：>>x = fmincon(myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,mycon)，先建立非线性约束函数，并保存为mycon.m：function C,Ceq

13、= mycon(x)C = % 计算x处的非线性不等约束C(x)0的函数值。Ceq = % 计算x处的非线性等式约束Ceq(x)=0的函数值。 lambda是Lagrange乘子，它体现哪一个约束有效。output输出优化信息；grad表示目标函数在x处的梯度；hessian表示目标函数在x处的Hessiab值。例5-6 求下面问题在初始点（0，1）处的最优解2min x1+x22x1x22x15x2sub.to (x11)2+x202x13x2+60解：约束条件的标准形式为sub.to (x11)2x202x1+3x26先在MATLAB编辑器中建立非线性约束函数文件：function c,

14、ceq=mycon (x)c=(x(1)-1)2-x(2);ceq= ; %无等式约束然后，在命令窗口键入如下命令或建立M文件：>>fun='x(1)2+x(2)2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2)' %目标函数>>x0=0 1;>>A=-2 3; %线性不等式约束>>b=6;>>Aeq= ; %无线性等式约束>>beq= ;>>lb= ; %x没有下、上界>>ub= ;>>x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian

15、=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,mycon)则结果为x =3 4fval =-13exitflag = %解收敛1output =iterations: 2funcCount: 9stepsize: 1algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search'firstorderopt: cgiterations: lambda =lower: 2x1 double %x下界有效情况，通过lambda.lower可查看。 upper: 2x1 double %x上界有效情况，为0表示约束

16、无效。eqlin: 0x1 double %线性等式约束有效情况，不为0表示约束有效。 eqnonlin: 0x1 double %非线性等式约束有效情况。ineqlin: 2.5081e-008 %线性不等式约束有效情况。ineqnonlin: 6.1938e-008 %非线性不等式约束有效情况。grad = %目标函数在最小值点的梯度1.0e-006 *-0.1776hessian = %目标函数在最小值点的Hessian值1.0000 -0.0000-0.0000 1.0000例5-7 求下面问题在初始点x=(10, 10, 10)处的最优解。Min f(x)=x1x2x3Sub.to

17、0x1+2x2+2x372解：约束条件的标准形式为sub.to x12x22x30 x1+2x2+2x372>> fun= '-x(1)*x(2)*x(3)'>> x0=10,10,10;>> A=-1 -2 -2;1 2 2;>> b=0;72;>> x,fval=fmincon(fun,x0,A,b)结果为：x =24.0000 12.0000 12.0000fval =-3456二次规划问题（quadratic programming）的标准形式为：minxHx+fx sub.to AxbAeqx=beqlbxu

18、b其中，H、A、Aeq为矩阵，f、b、beq、lb、ub、x为向量其它形式的二次规划问题都可转化为标准形式。函数 quadprog格式 x = quadprog(H,f,A,b) %其中H,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最小值。x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) %Aeq,beq满足等约束条件Aeqx=beq。x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) % lb,ub分别为解x的下界与上界。x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %x0为设置的初值x = quadprog(H,f,A,b,Ae

19、q,beq,lb,ub,x0,options) % options为指定的优化参数x,fval = quadprog() %fval为目标函数最优值x,fval,exitflag = quadprog() % exitflag与线性规划中参数意义相同x,fval,exitflag,output = quadprog() % output与线性规划中参数意义相同x,fval,exitflag,output,lambda = quadprog() % lambda与线性规划中参数意义相同例5-8 求解下面二次规划问题minsub.to2f(x)=x1+x22x1x22x16x2 5x1+x22x1

20、+2x222x1+x230x1,0x2 解：f(x)=xHx+fx 112x1x，则H=f=6x 122在MATLAB中实现如下：>>H = 1 -1; -1 2 ;>>f = -2; -6;>>A = 1 1; -1 2; 2 1;>>b = 2; 2; 3;>>lb = zeros(2,1);>>x,fval,exitflag,output,lambda = quadprog(H,f,A,b, , ,lb) 结果为：x = %最优解0.66671.3333fval = %最优值-8.2222exitflag = %收敛1output =