非线性控制理论_图文

1、非线性控制理论 非线性系统反馈线性法 中南大学信息科学与工程学院 1 本讲主要内容 1 微分几何基本概念 2 单入单出的非线性系统的反馈线性化 3 多入多出的非线性系统的反馈线性化 2 一、微分几何基本概念 1.基本概念 设非线性系统： & x = f ( x + g ( x u i i =1 m i y i = hi ( x , 1 i p (1-1 x 假定状态： = ( x1 , L, x n T 属于Rn中的一个开集U。 f 1 ( x1 , L , x n f 2 ( x1 , L , x n f ( x = f ( x , L, x n n 1 g1 i ( x1 , L , x

2、n g 2 i ( x1 , L , x n gi ( x = g ( x , L, x n ni 1 hi ( x = hi ( x1 , L , xn 3 在下面的讨论中，假定映射f，g1，gm和h1， hm函数在其论域中都是光滑的。 A. 光滑函数 光滑函数：设U是Rn的一个开子集，f:UR是一个函数，f 在点x=(x1，xn的任意阶偏导数存在且连续，则称函 数f是光滑函数，或C类函数，简称f是C 的。 如果f是C的，且对每点x0U, 存在x0的一个领域A，使对 所有xA，f在x0的Taylor级数的展开式都收敛到f(x，则 称f是解析函数。 注意：此处的函数f与P3中的f不同，它只是P

3、3中f的一个 元素。 4 B. 流形 流形：是拓扑学和微分几何中的一个重要概念。从概念上 来讲，n维流形可理解为由多个同为n维的曲面（或超曲 面）经拼接所得到的曲面（或超曲面）。 流形的一个特征：是它的各局域可以与n维空间之间建立 起点与点间的一对一的映射关系，并根据此关系建立起适 用于各局部的流形局部坐标系。 微分流形：具有微分结构的流形，这种结构，是指参与拼 接的曲面（或超曲面）彼此拼接得如此之好，以至于流形 作为一整体与n维空间之间的映射能达到任意次可微的程 5 度，即达到光滑的程度。它也称为光滑流形或简称流形。 C. 光滑向量场和对偶向量场 光滑向量场：P3中的映射f，g1，gm是将U

4、中的每个点x 指派到Rn中的一个向量的光滑映射，即f(x， g1 (x， gm(x，因此，它们就是定义在U上的光滑向量场。 对偶向量场：对偶向量场是一个能使n维光滑向量变换为 一个实数的同维向量。对偶向量场是光滑映射，该映射将 U中的每个点x指派到对偶空间(Rn*中的一个元素。 6 内积 内积：光滑向量v和其对偶向量场w*的如下运算称为内 积。 w (v = w ( v = w1 v1 L w n L v 2 一个重要的对偶向量场是定义在Rn的一个开子集上的实值 函数的微分或梯度。此对偶向量场以d表示，其具体形 式为： d ( x = x 1 x 2 = T L x n x 7 D. 三种类型

5、的微分运算 D.1、函数的李导数 函数沿光滑向量场f方向的李导数可具体表示为： L f ( x = x1 f1 L L = x n f2 i =1 n fi = T f = d , x i x f 该李导数有时又称为沿f的导数。 函数的李导数具有如下性质：函数原来是一个光滑函 数，对它求李导数的运算之后，所得结果仍然是一个光 滑函数。 8 D.1、函数的李导数 函数的高阶李导数用以下梯推公式来定义： Lkf ( x = ( Lkf1 x T f 同时约定零阶李导数为： L0f ( x = ( x 如果先取沿光滑向量场f的导数，再取沿向量场g的导 数，那么其新函数为： Lg L f ( x =

6、( L f x T g 9 实例：函数的李导数 & x1 = a sin x 2 a sin x 2 f ( x = x2 1 例如：系统 2 & x 2 = x1 + u y = x2 L0f h( x = x 2 0 g( x = 1 h( x = x 2 a sin x h 0 1 2 2 = x12 L f h( x = T f ( x = x1 x L h( x = 2 f ( L f h( x x T f ( x = 2 x1 a sin x 2 0 2 = 2ax1 sin x 2 x1 Lg L f h( x = ( L f h( x x T g ( x = 2 x1 0 0

7、= 0 1 10 D.2、向量场的李积或李括号 两个向量场f和g，它们均定义于Rn的一个开子集U上。此 时，我们构造一个记为f，g的新光滑向量场，它在U中 的每一点x处定义为： g f ad f g ( x = f , g ( x = T f T g 李积或李括号 x x g1 x 2 g 2 x 2 g n x 2 g1 L x n g 2 L x n g n L x n f 1 x 1 f 2 f = x1 T x M f n x1 f 1 x 2 f 2 x 2 f n x 2 f 1 x n f 2 L x n f n L x n 11 L 其中： g x T g1 x 1 g 2 =

8、 x1 M g n x1 D.2、向量场的李积或李括号 向量场g可对同一个向量场f重复进行李括号运算。其递归 形式为： ad k g ( x = f , ad k 1 g ( x f f 0 同时约定零阶李括号为： ad f g( x = g( x 李括号的性质 性质1: (双线性 r1 f1 + r2 f 2 , g1 = r1 f1 , g1 + r2 f 2 , g1 f1 , r1 g1 + r2 g 2 = r1 f1 , g1 + r2 f1 , g 2 12 李括号的性质 性质2: (反对称性 f , g = g , f 性质3: (雅可比恒等式 f , g , h + g ,

9、h, f + h, f , g = 0 D.3、对偶向量的李导数 向量场f与对偶向量场，在U中的每一点x处，定义： T T f L f ( x = f ( x ( T + ( x T x x T 该李导数有时又称为沿f的导数。 13 实例：向量场的李积或李括号 & x1 = a sin x 2 2 & x 2 = x1 + u 例如：系统 a sin x 2 f ( x = x2 1 y = x2 ad 0 g ( x = g ( x f ad f g ( x = 0 g( x = 1 h( x = x 2 f g 0 0 a sin x 2 0 f T g= 2 x T x 0 0 x1 2

10、 x1 a cos x 2 0 a cos x 2 = 0 1 0 ad g ( x = 2 2 (ad f g ( x x T 0 2 x1 f f 0 a sin x 2 a sin x 2 ad f g ( x = x2 x T 0 0 1 2 = ax1 sin x 2 + 2ax1 cos x 2 a cos x 2 a cos x 2 0 0 14 D.4、三种微分运算具有的性质 (1 如果和为实值函数，f为一个向量场，那么 Lf ( x = ( L f ( x ( x (2 如果和为实值函数，f和g为向量场，那么 f , g ( x = ( x ( x f , g ( x + (

11、 L f ( x ( x g ( x ( Lg ( x ( x f ( x (3 如果为实值函数，f和g为向量场，那么 L f , g ( x = L f Lg ( x Lg L f ( x 15 D.4、三种微分运算具有的性质 (4 如果和为实值函数，f为向量场，而为对偶 向量场，那么 Lf ( x = ( x ( x ( L f ( x + ( x ( x , f ( x d ( x + L f ( x ( x ( x (5 如果为实值函数，f为向量场，那么 L f d ( x = dL f ( x (6 如果f和g为向量场，而为对偶向量场，那么 L f , g ( x = L f ( x

12、 , g ( x + ( x , f , g ( x 16 证明性质3 (3 如果为实值函数，f和g为向量场，那么 L f , g ( x = L f Lg ( x Lg L f ( x 证明 g f L f , g ( x = T f , g = T ( T f T g x x x x 2 g 2 f = gT f + T f fT g T g T T T T xx x x xx x x = ( T g f T ( T f g x T x x x = L f Lg ( x Lg L f ( x 17 . 全局微分同胚和局部微分同胚 设线性系统： 坐标变换： & x = Ax + Bu z =

13、 Tx 在新坐标描述下的系统方程为： & z = TAT 1 z + TBu & z = Az + Bu 如系统是非线性的，考虑非线性坐标变换，非线性变换 可描述为： 1 ( x 1 ( x1 , 2 ( x 2 ( x1 , z = ( x = = L ( x ( x , n 1 n L, xn L, xn L L, xn 18 全局微分同胚和局部微分同胚 定义在Rn中的全局微分同胚具有如下性质： (1 (x是可逆的，即存在 -1(z，使得对于Rn中的 所有x,有 x = 1 ( x = 1 ( z (2 (x和 -1(z均为光滑映射，即具有任意阶的连 续偏导数。 局部微分同胚：在给定点的一

14、个领域内，具有上述两条性 质的变换。 19 F. 分布 F.1 分布的定义 前面提到：定义在Rn中的开子集U上的的光滑向量场f可以 直观地解释为一个光滑映射，该映射将U 中的每一点x，指 派到n维向量f(x。 假设给定的d个光滑向量场f1，fd都定义在同一开子集U 上，那么，对于U中的任意固定点x，向量 f1 (x，fd(x 张成一个向量空间，定义为分布，即分布为： (x=span f1 (x，fd(x 或， =span f1，fd 20 分布 =span f1，fd 注意：符号span的含义是“通过向量场的线性组合来张 成”，组合的结果因所采用的系数不同而有多种可能，系数 的连续变化将形成一

15、定的散布，分布即由此得名。即使分 布只由一个向量张成，也并不等同于该向量场本身，其系 数的改变将形成一组一维向量场。 例：一个由三个向量场构成分布的非线性系统。 x1 x1 x 2 x1 & x = 1 + x 2 + (1 + x 3 x 2 u + x1 w x1 x1 x 2 x1 1 0 ( x = span 1 + x , (1 + x x , x x2 2 3 2 1 1 0 x2 21 F.2 分布的运算 一个分布是一个向量空间，即Rn中的一个子空间。基于这 点，可以将分布扩张，以引入与向量空间概念有关的一些 基本概念。 分布的并： (12(x= 1(x 2(x 分布的交： (1

16、2(x=1(x 2(x 例：(分布的并和交 设 0 0 1 ( x = span 0 , x 2 x 0 3 x1 x1 2 ( x = span 0 , 0 0 x 3 22 0 0 1 ( x = span 0 , x 2 x 0 3 x1 x1 2 ( x = span 0 , 0 0 x 3 0 0 x1 0 0 x1 x1 = span 0 , x 2 , 0 ( 1 U 2 ( x = span 0 , x 2 , 0 , 0 x 0 0 x 0 0 x 3 3 3 0 ( 1 I 2 ( x = span 0 x 3 23 F.3 分布的奇异性和正则性 维数定义：x点子空间(x的

17、维数称为分布在x点的维数， 记为：dim(x。 =span f1，fd 奇异性定义：如果对开集上任意点xU, 都有dim(x=d， 则称定义在U上的分布是非奇异的，否则就为奇异的。 正则点定义：如果U上的x点存在领域U0, 在U0上非奇 异，则称x为分布的正则点，否则就为奇异点。 注意：非奇异分布可称为不变维分布；而正则点可称为不 变维点；奇异点为变维点。 24 F.4 光滑性分布及其性质 光滑分布定义：如果分布是由一些C向量场，以C 函 数为系数张成，则称为光滑分布。 性质1：两个光滑分布的并都是光滑分布。例P23 性质2：两个光滑分布的交不一定是光滑分布。 例 考虑定义在R2上两个分布 1

18、 1 ( x = span 1 1 + x1 2 ( x = span 1 x1 0 x1 = 0 25 则两分布之交为 0 ( 1 I 2 ( x = 1 ( x F.5 分布的对合性 对合的定义：一个光滑分布，如果属于的任意二个向量 场fi，fj的李积fi ，fj仍属于，即 fi fj fi , f j 则称分布是对合的。 = span f 1 , f 2 例 考虑R3上的一个分布 2 x2 f1 ( x = 1 0 1 f2 ( x = 0 x2 该分布对每个R3上的 点，都是维数为2。 0 0 0 2 x 2 0 2 0 1 0 f 1 , f 2 ( x = 0 0 0 1 0 0

19、0 0 = 0 0 1 0 0 0 0 0 x 1 2 26 分布的对合性 2 x2 f1 ( x = 1 0 1 f2 ( x = 0 x2 0 0 0 2 x 2 0 2 0 1 0 f 1 , f 2 ( x = 0 0 0 1 0 0 0 0 = 0 0 1 0 0 0 0 0 x 1 2 2 x2 f 1 , f 2 ( x = 1 0 1 0 x2 0 它的维数为3。 0 1 27 f1 f2 所以，该称分布不是对合的。 分布的对合性 2 2 例：域 U = x R 3：x1 + x 3 0 上定义一分布 = span f 1 , f 2 2 x3 f1 ( x = 1 0 x1

20、f 2 ( x = 2 x2 x3 该分布对每个R3上的 点，都是维数为2。 1 0 0 2 x 3 0 0 2 x1 f 1 , f 2 ( x = 0 2 0 1 0 0 0 2 x 2 0 0 1 0 0 0 0 x 3 4 x3 = 2 = 2 f 2 0 它的维数也为2。 28 所以，该称分布是对合的。 F.6 光滑对偶分布 假设给定的d个光滑向量场f1，fd都定义在同一开子集U 上，那么，对于U中的任意固定点x，向量 f1 (x，fd(x 张成一个向量空间，定义为分布。 对应的对偶向量场 对偶向量场为1，d都定义在同一开子集U上，那么， 对于U中的任意固定点x，向量 1 (x，d(

21、x张成一个向 量空间，定义为光滑对偶分布。 (x=span 1 (x，d(x 29 F.7 分布的零化子 分布的零化子又称为正交对偶分布 零化子的定义：给定一个分布，对开子集U上的每一点x， 考虑 (x的零化子，即一组零化(x中所有向量的全体对偶 向量的集合，即 ( x = w ( R n : w , v = 0, v ( x 2 2 例：域 U = x R 3：x1 + x 3 0 上定义一分布 = span f 1 , f 2 2 x3 f1 ( x = 1 0 x1 f 2 ( x = 2 x2 x3 ( x = x3 2 2 x3 x1 + 4 x 2 x 3 30 G. Froben

22、ius定理 本小小节基于分布和对偶分布概念来研究放射非线性系统的 可积性问题。并指出对偶分布法是问题求解的一个合理且可 行的途径，以此方法为依据定义了分布可积性。而分布可积 性的充要条件是Frobenius定理。 & 在初始条件x(0=x0下， 非线性系统： x = f ( x f 0 的解x(t称为向量场f(x的积分曲线，表示为：t ( x 不同的初始条件对应不同的积分曲线，所有的积分曲线就 形成了一个积分曲线束，表示为：tf ( x 它是t和x的光滑函数，被称为向量场f(x下的流。 31 G.1. 用分布的零化子研究分布的可积性 & x 非线性系统： = f ( x 研究其解的问题是针对单

23、个向量场。 & 而非线性系统：x = f ( x + g( x u 研究其解的问题是针对两个向量场。而且此组合向量场 中的两个向量场的组合关系会随控制的大小而改变。事 实上，分布的概念就是为表征组合向量场而提出的。 在多个向量场f1，fd共同作用下，同时在各向量间的组 合关系时刻改变的情况下，状态方程的积分曲线是否存在， 积分曲线所在解空间如何求得，积分曲线如何求得，与此有 关的这些问题就构成了方程可积性问题。 32 间接法 由分布和正交对偶分布应满足的正交性，有如下关系： j ( x , f i ( x = 0 i = 1,L , d j = 1,L , n d 或 j ( x FM ( x

24、 = 0 j = 1,L , n d 光滑对偶向量场j 作为一个光滑向量场，可用一个实值函 数j(x的梯度来表达，即： j = grad j = j x T j x j ( x FM ( x = 0 f d ( x = 0 j = 1,L , n d FM ( x = j x T f1 ( x L (1-2 34 间接法 j x T FM ( x = j x T f1 ( x L f d ( x = 0 j = 1,L , n d 上式是关于未知的j(x，j=1，n-d的偏微分方程。 这里j(x，j=1，n-d是为求解状态方程可积性问题 而特别定义的n-d个光滑函数。解此方程组，可以求得 j(

25、x，j=1，n-d。 35 j x T FM ( x = j x T f1 ( x L f d ( x = 0 (1-2 其次，考虑j=1，n-d的情况。 因j(x有n-d个，积分曲线应该处于n-d个解空间的交集 上。只有在此交集上，才能同时满足(1-2方程组中的共 n-d个方程，成为要求的解。 例 (对偶分布法求解线性系统的解空间线性定常系统为： x1 1 & x = f ( x + g ( x u = x 2 + 0 u x 3 0 x1 1 = a +b x3 f ( x = T T x x 1 = cx 2 x 3 + d 解 x1 x2 = 0 x3 37 积分曲线所在的解空间 例

26、(对偶分布法求解线性系统的解空间线性定常系统为： x1 1 & x = f ( x + g ( x u = x 2 + 0 u x 3 0 解 = S ( x2 , x3 1 g ( x = T 0 = 0 T x x 0 假设积分曲线的出发点是x0，其解空间应该满足： 0 0 1 = cx 2 x 3 + d = cx 2 x 3 + d = S ( x2 , x3 = S ( x , x 0 2 0 3 0 0 x2 x3 = x2 x3 38 G.2. Frobenius定理(分布可积的充要条件 定理 (Frobenius定理一个非奇异分布完全可积的充要条 件是它是对合的。 证明：考虑分

27、布=f1，fd U属于Rn的领域U0上。 证明必要性： 由假设知，存在函数1，n-d 。满足式(1-2，即 j x T FM ( x = 1 i d j x T f1 ( x L f d ( x = 0 1 j nd d j , f i ( x = L f i j ( x = 0 40 Frobenius定理 j x T FM ( x = 1 i d j x T f1 ( x L f d ( x = 0 L f , g ( x = L f Lg ( x Lg L f ( x 1 j nd L f i , f k j ( x = L f i L f k j ( x L f k L f i j (

28、 x = 0 d j , f i ( x = L f i j ( x = 0 L f , f 1 ( x d1 ( x i k = L f i , f k ( x = 0 (1-3 L L f , f n d ( x d n d ( x i k 因为d1，dn-d 是正交对偶分布，根据式(1-3，知 fi，fk本身也是中的一个向量场。因此，分布是对合 的。 41 二、单入单出的非线性系统的反馈线性化 1. 反馈线性化 讨论单摆方程原点的稳定问题 & x1 = x 2 & x 2 = asin( x1 + sin bx 2 + cu 通过观察上面系统的状态方程，选择 a v u = sin( x

29、1 + sin + c c k 1 x1 + k 2 x 2 a u = sin( x1 + sin c c & x1 = x 2 & x 2 = k 1 x1 ( k 2 + b x 2 & x1 = x 2 & x 2 = bx 2 + v v = k 1 x1 k 2 x 2 得闭环系统 42 反馈线性化存在的条件 非线性 系统 (2-1 线性系统 & x = Ax + B ( x u ( x & x = Ax + Bv v = Kx u = ( x + ( x v ( x = 1 ( x & x = ( A BK x Hurwitz u = ( x ( x Kx 43 & x = Ax

30、 + B ( x u ( x ？(2-1 系统的状态模型并不是唯一的，如果所选择的一种状态 变量不能使系统状态方程具有(2-1的结构，还可以通过 选择状态变换。 x = a sin x &1 2 例如，对系统： x 2 = x12 + u & z 1 = x1 & z 2 = a sin x 2 = x1 & z1 = z 2 2 & z 2 = a cos x 2 ( x1 + u v u= x + a cos x 2 2 1 44 反馈线性化存在的条件 定义：一个非线性系统 & x = f ( x + g ( x u (2-2 其中f：DRn 和g：DRn 在定义域上DRn上是光滑 的。如

31、果存在一个微分同胚映射T：DRn，使得Ds =T(D包含原点，且可以通过变量代换z=T(x将上述系统 转换为如下形式： z = Az + B ( x u ( x & 其中(A，B是可控的，且对于所有xD，(x为非奇异 矩阵，则称系统(2-2是可反馈线性化的。 45 实例：反馈线性化 & x1 = a sin x 2 z 1 = x1 & z 2 = a sin x 2 = x1 例如，对系统： x 2 = x12 + u & & z1 = z 2 & z 2 = a cos x 2 ( x + u 2 1 2 u = x1 + v a cos x 2 其中，该系统的输出为y=x2，则经过变量代换和状态反 馈控制，可得： & z1 = z 2 & z2 = v 从左方程看出，状态方程是线性 z2 a 的，但输出方程是非线性的。怎 样找到使状态线