非线性,非交换非结合,无穷维,整体

1、1936-2002年的45位菲尔兹奖得主泛函分析可看作“无限维空间上的分析学”，它当然不会终止于线性算子问题. 实际上，非线性问题是一个更为广阔且更具挑战性的领域，与其巨大的多样性与复杂性相比，线性算子理论不过是一个序章而已. 时至今日，线性算子理论已相当系统与完整；对非线性算子的研究，亦积累了大量的材料.对于非线性算子的最初探讨，多少表现于对线性算子理论的借鉴与仿效.   如将线性算子理论的某些观念与方法，移用于非线性算子；在局部范围内，运用线性化方法，将非线性问题转化为线性问题.   这些努力已获得相当的成功，但亦表现出的明显的局限. &#

2、160; 深入的研究日益显示出非线性算子与线性算子的深刻差别；非线性理论中一些复杂问题的解决，越来越依赖于新观念的创设与新方法的开发.   本章只介绍一些基本知识，有兴趣的读者可参阅有关非线性泛函分析的专书.非线性方法运用Frechet导数方法，将一个非线性问题用Frechet导数在局部转化为线性问题，将非线性问题在局部得到解决，这与经典的数学分析相类似.本书介绍的有压缩映射原理，Frechet导数，隐函数，不动点原理和单调算子等处理非线性问题的方法.非线性算子 一些基本问题：（1）代数学中同态的思想及意义是什么？对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但可构造一

3、个单同态？同态与同构的关系类似于同伦与同胚的关系吗，？同态是等价关系吗 同态是从一个代数结构（比如说群、或者线性空间）到另一个相同的代数结构的映射，这个映射的象保持着和它的原象一样的运算性质。比如说，若f是群A到群B的映射，若f(a*b)=f(a)*f(b)的话，f就称为A到B的同态。若f是代数结构A到代数结构B的同态，且f是一一对应（或者叫双射），f就称为A到B的同构。两个群的乘法可用一个满映射对应，即此满映射保持群乘法不变，两个群称为同态。粗略的说，此时两个群可以是不一样大的，如n个群元群F可和m个群元群G对应（可以多对一），只需F中两元素乘积（？的映射），等于两元素映射后（此时属于G）的

4、乘积。以上的满映射若还是一一对应的，此时两个群称为同构。此时，两个群大小相同，乘法一样，数学上可视作等价。例如，空间反演群和二阶循环群同构（2）？Banach代数一定是结合的，不一定是交换的，不一定有单位元。从这个意义上说，有单位元的Babach代数只有三种；有单位元的二维欧氏空间上的Babach代数本质上只有一种：(a,b)×(c,d)=(ac-bd,ad+bc)。？高于四维的Babach代数（属结合代数）必定含有八元数（非结合非交换）？代数引入额外的拓扑结构或空间引入额外的代数结构形成一个有用的数学结构的例子：Banach代数、拓扑线性空间、拓扑群、李群（3）外代数是非交换（反交

5、换、反对称性）、不可除、但结合的代数，外积/楔积ab适用于任何Rn,乘法结果是一个？两个三/七维空间中向量的叉积可以用对应的两个四元数的乘积（实部去掉）表示，三维空间中向量的叉积（向量积，三/七维空间特有，不满足交换性、不满足结合性）是一个向量而不是数。具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数（非交换非结合）。（4）外代数一定是非交换结合代数；问题是李代数一定是非交换（反交换律）非结合（？）代数吗？（5）与（线性）代数的表示（同构）有关的问题：线性代数的解析几何表示；有限维空间的矩阵代数（在维数上）推广为冯·诺依曼算子代数；从零阶张量、一阶张量、二阶张量（在集合V的元素上）推广为张量

6、代数。“代数只关心运算规则的演绎，而不管参与运算的对象”（？从结构与表示理论的观点来看，是不全对的）（6）群论/分析/线性代数的基础运算是乘法/极限/加法和数乘，同态映射/连续函数/线性变换是保持基础运算的映射。（7）线性空间同构、代数不同构的例子？性质简单的代数结构嵌入性质复杂的代数结构中的例子？利用性质复杂的代数结构中/之间的映射研究性质简单的代数结构中/之间的映射的例子？任何群都同构于一变换群，那么任何一线性空间都同构于一算子空间（张量空间）吗？任何一代数都同构于一算子代数（张量代数）吗？群之间的映射/线性空间中的映射/群嵌入线性空间？对偶线性空间的概念推导出“对偶群”的概念 

7、（8）关于几何化猜想的内涵？ 1970年，提出几何化猜想，指出庞加莱猜想只是几何化猜想的一个特例。Thurston因为得出了对庞加莱几何结构猜想的部分证明结果而获得菲尔兹奖。Thurston对一般流形上叶状结构的存在、性质及其分类得出了普遍结果（特别是对三维闭流形的拓扑分类作出了贡献）。Thurston对叶状结构理论及证明史密斯（Smith）猜想作出了贡献。 这个故事中有一个普遍规律, 就是博士期间研究课题的重要性(这里说的博士期间准确说应该是整个研究生期间,包括硕士和博士.美国的博士几乎都是直博, 严肃的研究生来说, 直博肯定更好).这个课题最好比较容易上手,同时又比较有深度.这里的 "深度" 可以这么理解: 它同某个领域里最核心的问题有微妙的关系. 这个课题又不能太深, 比如说它最好不要是某个领域最核心的问题, 核心问题通常是不能被直接攻击的, 必须迂回, 在博士期间直接攻击这种问题就是自毁前程. 这个课题最好需要一些特别的技巧 (多数人不会的技巧, 多半来自于导师的直接传授), 在整个博士研究过程中, 这些技巧慢慢被自己吸收, 发展, 成为自己的一套