非线性薛定谔方程的孤子微扰理论及应用

1、湖南师范大学硕士学位论文非线性薛定谔方程的孤子微扰理论及应用姓名：俞慧友申请学位级别：硕士专业：理论物理指导教师：颜家壬20050301摘要孤子理论是非线性科学中的一个十分重要的分支，它在物理学的许多领域中有着日益广泛的应用。而孤子的微扰又是孤子理论中最有实用价值的重要内容之一它大体可以分为两大类一是建立在逆散射变换基础上的孤子微扰理论。它在理论上有着重要的学术价值，但其思路较迂回曲折，数学计算较繁另一种直接微扰论较为系统的方法是将孤子方程线性化后再按函数的平方作微扰展开。这两种方法均只适用于可积系统。颜家壬教授近年来发展了一种基于分离变量法的孤子微扰理论法，它适用于可积和非可积系统，而且思路

2、和计算较为简便本人首先用此方法处理了自散焦非线性薛定谔方程的孤子微扰问题一方面是由于问题的重要性，另一方面也是为丰富颜教授所发展的孤子微扰理论的内容，为它提供一个重要的实例其次我们还用此方法处理了玻色一爱因斯坦凝聚中的亮孤子稳定性问题全文共分为五章第一章简要介绍孤子的发展史以及孤子微扰问题的几种常用的方法，并指出这些方法存在的些缺点，同时也叙述了我们方法的大致思路和主要特征第二章给出了关于非线性薛定谔方程的微扰理论，并通过具体工作来说明我们的基于直接微扰理论的两种不同的思路方法第三章简单的介绍和回顾理论的产生发展及实验研究过程，推导出了凝聚体宏观波函数满足的方程然后讨论了中暗孤子和亮孤子的实验

3、情况和理论研究现状第四章本人基于直接微扰理论研究了中亮孤子的稳定性问题。第五章为总结和展望关键词：非线性薛定谔方程，孤子，微扰，玻色一爱因斯坦凝聚（），痨啦转锱争冀魏髓啦。，（蛾，曲。：，第一章引宙人类的发展史表昵科学的理论总是从简单到复杂，从特殊到一般，从粗糙到精确，一步步逐渐深化的因此，以数学为工具，以物理学开路的严密自然科学在初期阶段总是力图把描述对象简单化、近似化，在数学方面采取的一个重要办法就是线性化。但是，随着科学的发展和人类向更完美的目标的持续追求，复杂的自然界不断促使我们逐渐地把一个个线性理论发展为非线性理论。非线性化是科学发展的必由之路一些学者已将非线性科学誉为上世纪继相对论

4、和量子力学之后自然科学的“第三次大革命”。正如一位物理学家所说“相对论的建立排除了对绝对空间和时间的牛顿幻觉；量子力学的建立则排除了对可控测量过程的牛顿迷梦；非线性科学的建立排除了拉普拉斯决定论的可预见性的狂想”。非线性科学的建立是研究非线性现象共性的一门学问，它的研究主体是混沌、分形和孤立子，而且这三者彼此互相联系在本文中，我们将研究其中的孤子问题。最早对孤立子这种非线性现象的描述可能是年，英国科学家、苏格兰海军工程师罗素在对英国科学协会作题为波动论的报告中，记载了他在年曾一次偶然的机会在运河中观察到一种奇特的现象：“我看到两匹骏马拉着一条船沿运河迅速前进。当船突然停止时，随船一起运动的船头

5、处的水堆并没有停止下来。它激烈地在船头翻动起来，随即突然离开船头，并以巨大的速度向前推进一个轮廓清晰又光滑的水堆，犹如一个大鼓包，沿着运河一直向前推进。在行进过程中其形状与速度没有明显变化。我骑马跟踪注视，发现它保持着起始时约英尺长，英尺高的浪头，约以每小时英里的速度前进，后来在运河的拐弯处消失了”。什么力量使水堆没有依托的情况下竟然能运动那么远的距离而形状基本保持不变？这是个令人深思的奇怪现象。为了探究上述的水波鼓包到底是一种什么样的现象，随后，罗素在水槽的一端用一重锤垂落入水中，对重锤激起的水浪的运动情况进行了反复的观察他发现这种水浪与运河中出现的奇特水波基本相同。通过实验，他还总结出承渡

6、浆移动速度、农翡深度及泰波接疫之阕豹关系：沪口（十），）为比例常数。实验结果说明，水波的运动速度与波幅的潞度有关，渡疆蘧懿速囊鞍快，盈渡睡懿宽囊麓高度之滋瞧攘靖较肇，然莛罗素逛年未能从流体力学出发给孤立波以合理的理论解释，因此没有引起人们的充分重视。现在我们寒分别考察鱼散秘翡线性效波懿影响。首先考察一个单缝翡色散逮程，波韵方程懿形筑为妒妒￥将方撩瓣鳃展斑乎瓣波仇（，）。蝌）】将（）代入（），褥列一（，）（）不难肴出，式（）所描述的波动系统是由一暴列沿正轴传播的单色平藤波纛台两形成的渡包。由于各个分波鹦波矢量僚不丽，其待摇遗发氇各苓帮等霹趣，鬻使耪戆露裁务个分渡鳇念戏结象震波包状，以后也会黼为各

7、个波速的不等而最终导致波包的弥散和消失。其次，考察一个翠鲢鳃线悛过程，设它露毽下嚣辨嚣线性方程忱一（）来描写，最然它具有如下形式髀妒然妒（石巷妒）。（）它表承沿负轴传播的一列非线性波，其传播速度”妒与质点偏离平衡位置的距离的大小成正比。这性质鼹菲线性振动糨非线悭渡瑗褥蠢戆，琵是窀馨致了凌魁在赞舞时发燕形变；枣予壤煮穰离平衡位置距离较大处波的传播速度大于其前方质点偏离平衡位置距离较小处的波的传播速度，因而在传播过程中，前者将逐渐赶上后者，而使波包前半部的波形变陡，即使它的前半部分凝聚变窄。如果同时存在色散和非线性效应，方程变为妒一妒妒。妒骝（，）这就是年，两位荷兰科学家科特维格（）与德弗雷斯（）

8、对浅水槽中单向运动的奇特波动现象用一波动方程进行理论分析，在长波近似和小振幅的假定下，建立的单项运动浅水波的非线性浅水波方程，即著名的（）方程。其中妒一是弥散项，使初始局部脉冲脉冲扩展开来，并随着波的行进使波形变矮变宽；而非线性项妒的作用恰恰相反，它使波形前倾同时使波形变窄变尖。在特定的条件下（特定的波形和传播速度）这两种现象互相平衡和抵消，形成了稳定的孤立波。所以说孤立波是色散和非线性现象平衡的产物。但是此后孤立波现象的研究与方程又被默默地遗忘了几十年掀起这一领域研究热潮的应归功于鸟莱姆（）。年，在乌莱姆领导的美国阿尔莫斯国家实验室，著名物理学家费米（，）、帕斯塔（）和乌莱姆数值计算了用非线

9、性弹簧联结的个质点组成的弦的振动，习的是从数值实验上验证统计力学中的能量均分定理他们对少数质点进行激发，按照能量均分原理，由于弱的非线陛相互作用，经长时闻以后，初始的激发能量应有涨落地均衡的分布到每个质点然而计算结果令人意外，长时间以后能量几乎全部回到了初始集中在少数质点上的状态。这个结果预示着这个非线性系统可以出现孤立波这就是著名的同题。年，美国数学家采布斯基（）与克鲁思卡尔（），把的非线性振子系统的能量不均分问题与方程联系了起来他们还是采用数值模拟的方法，用计算机又计算了两个具有不同速度孤立波前后追逐中发生的现象设有同向行进两个孤立波，波幅较高在后的孤立波，逐渐赶上前面幅度较低的孤立波，于

10、是两个孤立波相遇了。令人惊奇的是两个孤立波相退后，又能很好地分离开来继续前进，而原来的波包形状没有发生大的变化即两个在空间传播的孤立波具鸯磁攮特牲，说骥：）孤立波嚣誊懿稳定；）象一个物爱粒子。人们将具有碰撞特性酶孤立波称为“孤立子，”，简称“孤子”此后人们发现，在许多物联体系中都存在方程，说明孤立波悬一种普遍存在的物理现象。于是方程被看作为数学物理懿一拿麓本方程。藤寒天疑又遴一步发凌，狳方程黔，其它酶一些偏微分方程也葫孤立波解，从此一个广大的孤立波研究领域展开来了孤立子是由非线性场所激发的、髓量不弥数戆、形态上稳定懿准粒子。这耱灌粒子其有一弼栽予辑具有豹特性，热麓繁、凄耋、质量、电荷、自旋等等

11、，它们也遵循一般的自然规律，如能量、动量、质嫩守恒定律另一方面，它又有自身的特征一波动性，在一切可以出现波动黪分质里，在一寝条孛孛下都霹存在。除上霹分缨懿浅承袋多，在永娶深楚、嚣俸奔凌、电磁场、等离子舔、生物体、激及微观粮子的波动性中都可能宥孤立波存在它是一种行波，它既可以以速度在空间传播，又可以处于静止状态，成为非传播的孤粒子。每鬟子力学所擐述的徽溉靛予相比，孤立予遵循经典运动规稼，鞭放牟骥运费方程或啥密镶逅蘸方程。掰辍甄立子愚一释薪螫的准粒乎，它是本燃纪物理学中提出的一个黧饔的新概念尽臀从年月司各特罗素观察到河藤上稳定的孤峰兀立懿承液，年穗褥维格蠢德舞燕导窭方程及其羧子薅隧来已经许多年了，

12、但孳超人们对它的普遍关注帮还是本世纪六七十攀代的事对此，国内外已经有了很多综述和糟千专著柱短短的二十年中，从天文学到“基本”粒子，从浅水波传播、流体力学到晶格毽沦、嚣线瞧毙学、簿枣子馋翰壤、霆髂镌瑗、凝聚态毯璞、怒导穆理、弹憔力学、统计力学、声子，工程学、毒料科学、气象学、海洋学、高分子理论。分子生物学，甚愿气功、经络等等，孤子这一新的概念碍剃了极其广溅地应用【？，翘入镌广泛逮磷究了奚骞嚣子察瓣务静穷弦：穷程及冀赣广；磁豫一戈登（）方程；非线性薛定谔方程；广田（）方程；码布西尼斯（）方程，非线性格点方程；玻恩一莫费尔德方程；自透射方程；嚣线饿嬲网终方筏等，井将这糖方程应鬻子各耱领蠛。久懿采爰了

13、鍪耱数学理论，盔籍鼗麓反演方法，无穷多个守恒律，贝壳兰得（）变换等。方程的解也从孤子推广为反孤子、呼吸予、碰撞解及挝结解、涡旋解、瞬子解、磁单极子解等。旎期，大家仅限予研究经浆翡孤子理论。年，弗量德稳络和李撮道把它推广为量子的，弗得到结论对任何一种玻色子场系统，只要经典孤子存在，则总桴在相应的鬣子孤子解，蕊少在弱耦合懿情形时是热她。德程】把魇蠢孤子解分为嚣大类；搬扑楼孤子秣菲事嚣孛往孤子。愁丁等麓袋横登就怒基于妒一弱方程酌孤子解，并由此讨论了夸克的禁闭黼题粒子物理中为什么可以应用孤子？我们认为一方丽瞢遍存在的粒子系统撼相互作用耦合的，其场方程一般是非线镶螅。这些努稷的一类有意义翦缌就爨孤子解。

14、男一方瑟粒子是稳定鹃或平稳定静，邃歪好楣应于孤子。第三方瑟，由平酾波叠加得到的波包必然骚扩散，这是鼍子力学中的老问题。所以如果波粒二象性始终成或，粒子也只能是孤子。由此推广，我】稳傣势羲亩，掰嵩存在糍纛佟用的俸系，只要其中农辗对稳定懿客体，孤子理论都大有用武之缝困诧，孤子及其数学方法磐褥遴一步发展，也将蓖加深入地皮用到各个领域。猩孤子理论中有一类重要阕题一一孤子的微扰问题。因为导出檬臻线蛙方器豹模蘩往徒麓赛发瑾憨诧煞，瑟实繇鞠疆孛，考虑到菜题实际因素，如阻恧、外加驱动等，钱往要讨论包含修正项的对应方程这时严格求勰一般是不可能的，然而把修派项（即实际的系统和这些理想化酶模塑之闻往往存在的一些细微

15、藏异，我们称之凳徽撬）羲筝奎囊蔻毽，蔫徽糖理沦遘褥磷窕是寝有效鹣。瞧歪蘧因为微扰的存在舆有普遍幢，随此研究徽抗对菲线性演化方程的孤子解的影响具有更为实际的意义微扰可以分为两类一类是哈密顿微扰（），另一类是耗散微扰（蠛痨主珏）。孤子微扰理论种类繁多，内容丰富例如；修正守憾律（）徽扰理论，喻密顿微扰瑗论，拉格朗日徽扰理论；基予逆散射变换（）徽挽理论；蕊手妻接法鹣徽挽理论；毒点微攘理沦；缓蛙徽捷理论；基予方法戆微魏瑾论等等。继较为普遍的是建立在逆散射理论基确生豹微挠理论这种方法是由【，和提出洙的，并在随后的一些工作中得以扩充，】，朔】对大量这方面的工作骰了较巍详尽瓣憨缨。滚方法燕宠在遂教射嶷换的蓑麓

16、上，要求来受檄揽彩噙酶方程熊够用逆敲射法求解。辫褥只适用于可积系统。此理论处理孤子微扰问题的能力很强，能成功的处理很多的孤子微扰问题，但思路迂潮曲折且对于那些不懂得法的人来说想运爱戴毽沦是菲豢蓬滚瓣。势了发褒一套蔑逶矮予霹积系统又适薅予菲可秘系统的孤子穷程的镦挽联论，首先撼出了所谓的“宣接法”，这种方法的基本思路是首先将禽微扰豹非线性方程线性化，然后用微扰展开法来求备缓（一般是一级）近似方程其中较秀系统戆徽法冕选取薅瓣警方终为锾挽震嚣基，墓霾耨又是用邀散射法求孤子解时遇蓟的菜一辅助方缀的基本解因此该直接法井来摆脱对逆激射法的依赖，它在实际撩作过程中巧妙的运用了一些邀散射理论的结论，故同样只适用

17、于埘积系统簇家至数授在罄天懿骚究麓麓上，发晟了一套基予分离变量法的孤子徽扰论直接汝在一般情况下，各级近似方程是可以分离变量（或近似分离变激）的问题的关键是求解各级近似方程中所含线性微分算子及其菸辘算子的本援函数，并耀它们来梅造歪交归一完釜熬徽撬蓑嚣基。该方法鹩掩赢莛无论本鬣馑麓题稳求解逐是正交完备性的证明在方法上是自成体系的它不依赖于前人的工作，因而完企摆脱了对翘妻散射法的依赖故此法不仅适用于可积系统，也适耀乎嚣可积系统。其男一特点是思路耋接，容易瑾瓣幂拜接受。越静，在效学诗葬上也薅显院箕趣方法篱单。邃秘方法姓溪了十余种非线性方程的孤子微扰同趣缴近又用它成功地解决了暗孤子微扰这一世界难题柱蒎下

18、寒我第二章中，我冬溪过建菲线缝萍定谔方獠静援绩疆子解放亮孤子薅骰强子微扰，进一步详尽的鹚述我们的赢接法及其改进方法在第三镦中将砖玻色爱因斯堪凝聚中的孤子的研究现状进行综述，并予第四章中我零用颜教授的赢接法所得出来的关于菲线豫薄定谔方纛戆赛孤子擞撬瓣戚暴采聚突袭色爱溪蘩拯凝聚中的亮孤子稳定性问题，对这部分工作进行了具体的介绍。最后在第五章中进行总结和展望第二章非线性薛定谔方程的微扰理论§前言非线性薛定谔（）方程模型是现代科学中最重要也是最普遍的非线性模型之一。作为描述波包在弱非线性色散介质中传播的普遍方程，它出现在物理和应用数学的许多分支中，包括非线性量子场理论，凝聚态物质和等离子体物

19、理，非线性光学和量子电子学，流体物理，微扰和相变理论，生物物理等。非线性薛定谔方程最著名的解是孤立波或孤子解。孤子的典型特征是以一个局域波的形式在与另外一个孤子相互作用的时候，保持了类粒子的性质。非线性薛定谔方程孤子理论最初是在年，由和发展的多年以后，对于方程的孤子理论的发展出现了不少重大的贡献【，。今天，在预言孤子存在的可能性【】，以及，和的实验发现之后，方程的光孤子被认为是自然数据比特和超高速光学通讯系统的新生代重要选择。在宴际应用中，诸如非线性薛定谔孤子的牛顿粒子行为、静孤子现象、以及弱周期外力驱动下出现的分形等【】，各种各样的微扰对孤子行为的影响引起了研究者的广泛兴趣【】。在研究非线性

20、薛定谔方程受阻尼影响时，通过将包含微扰的动力学方程转换到散射空间，首先建立了该方程的微扰理论随后，和使用的格林函数法【】，以及研究波包受非线性阻尼影响时采用的“绝热近似法”都对该方程的微扰理论作出了重要的贡献其中和利用双重尺度技巧和格林函数建立了一套形式上独立于逆散射理论的直接法微扰理论。但我们明显的可以看出展开基矢是依靠逆散射理论来求得的。后来的工作【，】、以及发展的直接法微扰理论【】也存在着同样的问题，它们实际是类似的使用的展开基矢是利用算子的本征函数和逆散射理论里面的函数的关系，以及的工作作为基础来构造的这些基矢的构造包含了相当复杂的推导。本章按照我们所发展的直接法，通过一个非线性薛定谔

21、方程的扭结孤子熊佟鸯其体豹铡子，来建立菲线性蓦邀湾方程豹微烧理论。并讨论微扰对孤子晦影响对于我们酶改进的直接法，我们也在文章中飨予了描述通过两种方浓我们所得到的结果是一致的。我将在文巾具体予以说明§微扰的非线性薛定谔方程的线性化我们考虑微找瓣嚣线性薛定谔方程鳐酱避形式饥一；牡丑两，（）这里，为衡量微扰强弱的小谶（），表示微扰具体形式的璞为，珏聋，嚣。的知函数纛没有微扰彩嗨的情况下，嚣戴，方覆）靛变为椽灌翡饕绫瞧薅定谱方程“一札。十拙：（）它具有熟下形式粒攀孤子解，”±融和一；挑）】（）醌，（）这里的。，鼹四个实参数，它】决定糟孤子的高度（宽度），孤子黪涟度，初始饿置穰初贻像

22、耀。本章我】考虑的是檄挽对菲线毪辞宠海方程荸孤子解懿影璃，嚣魏方程）灌是酶翻始条串蠢，）士和恤一）（袖）方程缀黻纯首先我们辱入一萦秘时闺“黉”变量“”，一，（）现在我镪裁曩多重嚣壹阕足塞法（凳嘲寒嫒徽撬匏尊线镶薅定谔（）撮据求姆法则，对时闻酶镛譬熬稠痉戆晨帮舞岛岛，魏，（）与此间时，我们将和展弹为如下的渐进级数堪矬秘（鼋击秘÷，】（钧【】兄（【（，（一，（）将展开式（）一（）带入到微扰方程（），同时令的相同幂的系数为零，我们可以得到如下的各级近似方程：一婴叩（）（）一罂阻】（）（）（】一“？（）初始条件相应的重新写为（印，）（）】（），（，），（）零级近似方程（）为标准的非线性薛定谔

23、方程，它的单孤子解由（）式给出，我们将其重新写为如下形式（，）士（口）；，其中十），氏，（）：皇文瓯：。（）由于微扰的影响，此时孤子参数，和都依赖于时间“慢”变量，一另外，不依赖于，而和依赖于，其函数关系由（）和（）的后两式给出。由方程（）一（）可以得出罂士唧）口（）口矗。（）为了方便起见，我们引入了一个新的空间变量（在与孤子一起运动的坐标系内的空间变基）来代替原实验室坐标系内的空间变量，即钆一；，以一口晚。这样，一级近似方程（）和相应的初始条件（）式变为（）一¨粤（）（）？（）。千（）“（）。婚】（）（，）对方程（）我们引进如下变换（）（日）（）（）（】（）这里，（）和（）为两个实

24、函数，它们分别为复变函数口（）的实部和虚部通过以上变换，我们可将方程（）的求解转变为两个实变函数的联立方程问题的求解。掣“，。”？（埘）恐。鼬。十融）千。汹士（口。蜒“）、。一嬲一厶（，（】（一），相应的初始条件变为（扛，）（，），（）这里我们定义两个算子为“墨十槲，他们是线性自共轭的厶嘉（）§正交完备化基矢的构造方程（）的求解现在实际上已经转化为联立方程（）的求解我们通过对方程（）所对应的齐次方程分离变量，或直接对其施行拉普拉斯变换求解的过程中，会遇到下面的耦合方程本征值问题二妒兰，咖柳（）（拳丽篓子疡穆嚣手方程（）懿上式，佟溪予方程。）懿下式，我们可将方程（）转换为下面等价的形式

25、曲吵，（）（）诤×）雌由于。和。都是线性自共轭算子，所以，算子厶厶和，互为共轭箕子，因此，本征函数鬃好瑚互为共轭本征函数系。下面我粕采求惩主述零薤僮瑟瑟戆连续谱。对于方程（），当。一士。时，我们有，岛一。一，于是，方程（）的本征值问题写为溉三麓妒叫“妇出，奠币（，）一叭，）将（，）霞入（）串，毒江。，由方程（）很容易得出，当士。，西和妒的渐进行为为龇弱霹，我】褥裂一妒，一一（女）。瓣拢，我鼹裁设、倦一埘卅。鬣兰口一女仃，篙丽口（）将耩曩嚣为口磊蠹巧。嚣繁毪磊击黼，。、口如耐。如耋馨己，。龃。瓦爨潦鼍将）代入（）孛，毙较幂级数懿系数，褥出的一芷雩叠，。依，龇：，鼯，。代入（）中有（譬“

26、羽），口一（譬；）曩磁、。瓣鸯“。而（§）。妒一仕。（譬），。（）其审为常数。我稍可潍蘧过蔗交穗麓证磅来确定常数。即通遗下式（岛女）硒，）舻（女）毒，），一，一（）可淤褥离。瓦磊；蠢灞函魏，我髓可浚缮翻连续谱静本征函数眵（：，嚣：！：；密臻。）（。）（），眵冬，罅了嚣；帮固攀臻）（。（）。）该本征值闻驻罨存在一组对嗷于本征值一的分立谱，他们是在证明连续谱本征暇数完备性曲（，女）每（，）和一）（）是否成藏时，发现必须加入鼹个分立谱驰本摄函数方姥使宠备往成立，鬻憩嚣缮凄戆它靛是批）历州垆去鼬（）这墓，我稻要搔蹬静是谴稍并不满跫联巍方程（）实际上弦容易检虢出他们满足的关系是谚（），）本摄函

27、数系甜一（五月），钡（）和币（，张妒（）构成了一组磁交完备的基矢下蠢我爨善笼绘蠢蒸矢静寝静懿鬟突瞧证霹。邃曩我爱终为示例给出连续谱的正交性的证明。直接考虑如下的正交性积分上。烈毛砷纵互）一赢习寿意丽丽。出“（；十。）一而舞页丽上。出“扣（：、（十舻）（研）一。、）然后我们利用到下列用留数定理得出来的公式（求的具体过程省略）竹）仁秒。雨（）如）。矿如聍州”焉，。，”儿，（）砸）一仁扩豢咖（参，。厶（）二”（）一（）（）孙）仁沙豪”吣啪）掷）仁砂。纛出（埘）”（”，（）（。）上。嘲王。（）嘞”。何）（）仁扩。荣出（一”）（）一”（）（）掷）仁一。砒如一撕）锄（）器江）我们可以证明连续谱的正交性。连

28、续谱和分立谱的正交性可以用同样的方法证明分立谱和分立谱的正交性证明可以直接由函数的奇偶性得出至此，我们可以给出正交性的总结如下：，。毋（：，）妒（，）妒（，女）妒（，）（一），（）一。，。妒（，）市（。）妒（，）孑（。），（），。妒（）币（）（）。接下来我们进行关于基矢奶和仰）的完备性证明。我们直接从下面的积分出发上。咖（，。）市（，。）幽磊万万再可上。幽订。（）（。）蕊盯厕上。（。蚴执血一）（）注意到磊熙（。一）（），以及利用留数定理，我们可以得蛩毋，）每（盈，）一）一币（）巧（动）（）“这个实际上就是我们所求得的完备性关系我们可以看出，要使完备性关系成立，除了连续谱外，还必须加入两个分立谱

29、。§微挽对孤子的彩响有了上节中构造的正交完铸基矢，我们现在可以饕手解决方程（），并进一步得到微扰引起的一级修正“（”。首先，我们利用上节懿基矢褥童（，）穗曰蹶。）分裂袋开为（，）（，）妒（盏）（）劬（），一（，）嚣（，）一“，）毋（）（±）妒（。），一将（）和（）带入方穰（），我稻可以得到，（）（，）曲，）（）妒（）一。一扩（岛，§）一妒）妒，）一妒毋如）学叠）（。）】）（一）（）干矿），（），一秘（，凳）乎（毛）抟。）簪（）。一（，）（一）妒（，）（。颦（一谚）（圭赫，圭（菇鸶缸），襁应的初始条件为（）。（，）（，膏）口（）雌（）（）用正交性条件（）一（），我们

30、可以融上面的方程得到展开系数所满足的常微分方程为磊（，蠡）寥南，酗妒辞妨圭、疰纛“蠡），固，（。）一甜（，女）（）。（，女）（）千、而。（）千甄（文。婚，）（七），）（，女）一（）（）一（）：以口矗。；（）（）士、§。，）（）其中（）（）（）一（【（】）币（一口）西（，）（唧（）西（），一。（）（）（），口（）（【（】【（一）巧（。，）一叮一一冗（冗“（一口）访（）出假设缸（一）是独立于目的，那么方程（）（）的右边都是独立于的（在与孤子一起运动的坐标系内）对方程（）（）的积分，我们的得到的是磷）（：以。）和口”）一扩（叮”士，以。，）瑶（”千低。）这样的项，很显然它们将随时间的增加而

31、趋向于无穷，这就是所谓的久期项，为了得到具有物理意义的解，我们必须消除这种项因此，我们消去久期项，可以得到）钟，士氧，。）（！）士雩）；怕）千酣缸）。扎铲土去，（）（）（）”（一）“）：一，一。（）矗士志）士去仁，（卅刚）胁（山干了豪（）千刍仁州（埘）脚】）珥丽¨则最后得到了一级修正（）州副。）（）。南艄）（佰可）十瓦毒丽揪）一佰币。北）（口）如壶即（）（伊丽以。）】一一一了！毳口”（）（，；。：孔。）曲（。，）（）§改进的方程的直接法正如我们在第一章中所述，由于暗孤子的微扰问题一直没有得到很好的解决。颜家壬教授近几年一直致力于这方面的研究。于最近终于通过对方程技巧的改进，

32、对此问题给出了完善的处理。此种改进的直接法在其原来发展的直接法的基础上，将微扰的非线性薛定谔方程与其复共轭方程一起研究，同时处理了方程的两组分。这样它能很好的处理原方法在暗孤子微扰问题上遇到的困难，从而顺利解决此问题作为一种改进的方法，它不仅适用于暗孤子的微扰，同样也适用于亮孤子，扭结孤子的微扰在此，我同样以刚才处理过的非线性薛定谔方程的扭结孤子为例，来说明这种方法。其线性化的过程与前面所述的线性化过程相同。对于一级近似方程，我们将其与其复共轭方程一并给出，从此处开始我们将同时处理两分量方程札！¨一一（十坩孑面（十（）（，“（），。面面粤一一扎（）。面（）（，（：，）一（）并且设这时

33、我们可以将方程（）写为矩阵微分方程的形式，（，）（）在此印是泡利第三矩阵，和是两分量的列矩阵，是×矩阵它们的定义如下（；），（；），（争竺州讲。槲剐）垂垂丑哪。，为了用类似于上面讲述的直接法的方法解方程（），其关键的一步就是解下面的两个本征值方程（）在此，口是的伴随算符肚（砖二芸：州。甜纠）饵，砷我们用与上面有些不同的方法得出三和的本征函数，对应于连续本征值±（）僵，一。的本征函数得出来秀不娥验证电（越秘皿（妨（：，奄）是方程（）的释下掰绘出具体的耱鹃奉疆涵数懿接导鹃遵程农我们改进的方法中，妥解决两个本蔽值问题，即：三蛋垂，母零沁，牡志（盎二篇：鼢）矿婚，驴丽惫黟（瓮嚣簿端

34、孙。嘲沁，壮舞（；瓣驴沁，胪纛（却。叭（。一。一叫）阍）。）仁（，）猩此我们先解方程（）中的第一个式子圣艟。因为含有含有两个分量，所以我们解一缀解）拳？姒。毒（硬十）如一毋毋番，）令母。矿嗡，毋。爵。代入方掇缀褥啦蝻们哳芸“犯弘一甜卜舻聊净一却瓤眺越翟：铲碗惦令三：。，黾赴；“，一齐代入上式，对比最高次鞯项，利用非零解条件，可得，则可令篁，量一，褥次代入上式，对比的次幂，鸯可以算出系数势曲“莘譬譬吼沁（）十）（娟了骺一），口一（、，虿丽女）曩襻豹琴渡褥塞黠予豪，有（）咿（土筝戳一号笋）。，啦）（甲一挚）（）妒一（寿汹醴叫（伍一）。（）且有（女）士血撕丽，最腊我们得出和厶的本征函数为舀。，（嚏：

35、；：）。，。，（，）“啪，（黑州产，矿汝两（支筌：篇一曩麟展和分遥褰对应于分囊本征僮一的本征函数旷瑚（裟嚣簿叫）翅。，扩，六（）（）（）秽）（、，蛾垆（一）。（）（。并且很容易验证肺（）一驴皿（）（。）由于算符和不是自共轭的，它们的本征函数并不是完备的。因此，为了构建微扰展开的完备基，必须增加一些函数。基于这个目的，我们找到了函数西佃。，；（二，），毋。，一（；）。，必须指出的是，方程（）中给出的函数并不是本征函数，它们满足下面的方程垂（。）西（石），皿（）田（）（）到此，我们得到了两组完备基中圣（¨（，女），由（一（，），圣。（）；：，）和毋霍（，），皿（一（。，），皿（）；，）。

36、他们满足下面的完备关系、一降（。，）面（，）西（一（，）面（，）删（）拶（）（。一）（）完备关系（）能够由类似于我们原来的直接法的方法求出，就不再赘述。另外圣和满足下列正交归一关系出面纠（，）圣（±（，）：（女一，），）矽（）扣（）屯，（）”；矽硝（，）垂地）：厂矽（）垂（±（础）：（）最后，我们来讨论孤子的一级微扰效应。我们用基底西）展开（，）陋（，）中（，）膏一。州由二一）复将其找入方程（），芽豆剃翅歪交关系（）一（，；，我嬲餐到了下瑟的具有适当初条件微分方程耐（，女）千机何孓雨（）（）（）。审件，）”拶矗瞄。（：）（）口（，），椰（）一（）（）面“（：）￥（）。哩）一

37、，（）糟（。）。（）：，。面（）（。）】，（）：（，）由久期硬条串，我疆褥出了荧予孤子参数的两个重要公式¨利毋沁矿谢删”】一（篇荆（嫩）弘圭去硝协“辨矽沁热。蝴千痴一唧千嵇压强越方襁（）很容易由标准方法求得，。移（一，女）。删矗，（）将方程（）代入（。），得剥附，（篡；）小毗毋咖曲俐切，凌魏，（，；）爨籍爨丞数协蜥，棚卜，砘阚（毛删憾）一￥舻霸：醛圣（嚣，竞）垂（一，盎）。）方程（）给出了微扰的一级修正解。值得指出的是，改进的直接微扰法能够很好的解决暗孤子的微扰问题。这一方法由于在技巧上进行了改变，给我们提出了一个在思路上更加简捷明了的孤子微扰方法因为它是在颜教授原来的直接微扰法基础

38、上改进的，因此同样是自成体系，易于掌握和接受。我们现已用它作了非线性薛定谔方程的暗孤子亮孤子和扭结子的微扰工作。§。多重足度法多藏尺度法的基本思想是将表示解的展开浅看成是多个变量（多个尺度）的函数，麟不是单个自变量的函数可按照引进一魑自变量我们注意到因为是小参数，表示不同的时间尺度例如设，尺度的变化可以从一只表的秒针上看裂，跫嶷置懿变钝溪懿反一哭袋懿分赞上罄戮，足塞羁麓变琵爵瑷及一其表的时针点观察到。逸样而表示快变量，噩袭乐较慢的尺度，乃表示更慢的尺度，等等设形式髌为：），墨，霸，）十【马，嚣，）撕，墨，玛，）因此，札（）就是，妁，死的多变量函数这时近似解与精确解的误差为咒”的数量级只要足够小，这个解在怒够长的时蠢（表，绘爨足够穰礁鹣髂，蘧过这个蓬整裁不逶熙了。这种把解展开成多个时阅自变量磁数的方法称为多重足度法这样一来，关乎的导数变成了关于不同时间变量，乃疋，的偏微分方程，蒋原来是镝微分方程，现在就增加了独立的自变量个数。按多元丞数檄分浚辎，对时阕静导数窝为磊懈丽西十一面。（。）豢一鑫姚鑫碑彘蒜净泛渤，将（），（）和（）代入非线性运动方稷，按等号两边的的同次幂憋数相等的原则，得到关卡钍“¨，“。的渐进方