非线性奇异微分方程及方程组解的存在性

1、曲阜师范大学硕士学位论文非线性奇异微分方程及方程组解的存在性姓名：张红侠申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：刘立山20090401）（曲阜师范大学硕士学位论文非线性奇异微分方程及方程组解的存在性摘要非线性泛函分析是分析数学中既有深刻理论又有广泛应用的研究学科，它以数学和自然科学中出现的非线性问题为背景，建立处理非线性问题的若干一般性理论和方法因其能很好的解释自然界中的各种各样的自然现象，近年来受到了国内外数学及自然科学界的高度重视，逐渐形成了一门重要的学科非线性微分方程边值问题源于应用数学，物理学，控制论等各种应用学科中，是目前非线性泛函分析中研究最为活跃的领域之一，而具有奇异项的非线性

2、微分方程边值问题又是近年来讨论的热点，是目前微分方程研究中的一个十分重要的领域本文利用锥理论，不动点理论，拓扑度理论以及不动点指数理论并结合上下解方法，研究了几类非线性奇异微分方程，方程组边值问题的解的情况本文共分为三章：在第一章中，通过建立一个新的比较定理并且运用上下解方法和不动点定理，研究一类具有积分边界条件的四阶奇异特征值问题正解的存在性（）（），（，），（。）（）如）吣）出）眠，（）驼（），（）（）驼（），（），（）其中入是一个参数，：（，）（，。）一连续且（，珏）允许在和或和处奇异；，（【，】，）（，），。）本章研究的方程类型本质的推广了文【】所讨论的方程类型在第二章中，本章利用不动

3、点指数原理讨论奇异二阶脉冲微分方程三点边值问题的多个正解的存在性。（）（）（）（）（仅（），卜姐）（）（），（），卢（）（），（）曲阜师范大学硕士学位论文其中【，仃令（，），。），【，。），（，一，一，厶（。，。）；（）（吉）一（），（）（毒）一（）；，（，）（，】），（），在第三章中，我们利用不动点指数并结合平移变换的方法，研究一类具有积分边界条件的二阶奇异半正脉冲微分系统的正解的存在性一（），（，（）（），（，），一剪（）（，（），（，），（）一，（）（），（），（）可（）可（）（）（），一。（），七，其中，正一是正常数满足所，：（，）【，）一（，。）是连续的且允许在和或处奇异；：（，）一

4、（一。，。）是一可积的；【，】是非负的；（【，），【，。），饥：“他者）一可、。），其中，（），（毒）分别是箩，（）在点的左右极限关键词：四阶奇异特征值问题；积分边界条件；正解；脉冲微分方程；不动点指数；二阶奇异微分系统；半正；锥曲阜师范大学硕士学位论文，吐，曲（曲毛厂，加曲“曲文（）佃）叫“。陇啦崆弋矽文石净，：（，）（，。）（）；，危（【，】，）（），【，。）【】曲肇师范大学硕士学位论文，础七、，、埘堋呲叫荆吖一一（）【，】。，（，），一，。），【，），以（，？一，厶（。，）；（）（毒）一（）（）（毒）一（）；，（）（以（，】）（），一（）（，（）（，（），一秒（）（，（），（，），口（）

5、一（），（）（），广（）（）（）（）（），一。（），一口一，：（，）【，。）【，）：（，）一（一。）；【，】，（），【。）。（毒）一（，）。（，）（毒）讹），：；曲阜师范大学硕士学位论文；曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明本人郑重声明：此处所提交的硕士论文（非线性奇异微分方程及方程组解的存在性，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担作者签名：璐日期撕？、乐曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书非线性奇异微分方

6、程及方程组解的存在性系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容作者签名：导师签名：日期，、“勿幢恢乡毵刁日期必弘名名，第一章具有积分边界条件的四阶奇异特征值问题的正解引言本章将讨论下列有积分边界条件的四阶奇异特征值问题的正解（）（，），（）（。）（）（），（）九（）（），卜（。）（

7、）邶）川）（）郴）啦其中入是一个参数，：（，）（，。）一连续且（，）允许在和或和处奇异；，（，）（，），）奇异多点边值问题是微分方程理论中重要的分支，它具有深刻的物理背景和广泛的理论应用，近年来许多作者致力于奇异多点边值问题的研究，得到了关于奇异多点边值问题正解存在性的大量结果，参见文【】及其参考文献目前这类文章的研究大多集中于奇异二阶边值问题的正解的存在性和多解性，但对四阶奇异情形，多点边值问题解的研究还比较少，特别是包含多点边值问题的积分边值问题研究的更少最近，文（】利用不动点定理在抽象空间中得到了下列带有积分边界条件的二阶微分方程正解的存在性（）一（，（），（）（）（）（），（）（）（）

8、（）（），这里（【，】只尸），是空间的正规锥，【，】是非负的作者通过构造一个特殊的锥并且运用严格集压缩算子的不动点指数得到了（）正解的存在性文【】作者利用不动点定理和上下解方法研究了下列四阶奇异三点特征值问题正解的存在性（），（，），（）（）觚（），（），（）（），（），第一章具有积分边界条件的四阶奇异特征值问题的正解其中是一个参数，（，）都是常数，（，）（），），且（，）在和或，点奇异文】研究了四阶奇异边值问题的特征值问题正解的存在性受以上文章的启发，本章研究具有一般积分边界条件的奇异（），非线性项（，）允许在和或和处奇异首先给出一个新的比较定理，然后构造问题（）的上下解，最后运用不动点定理

9、获得了当，（，）关于是减的情况下正解的存在性，给出了处理（，）允许在处奇异的方法，可以处理（，）在处奇异的方法并不多见预备知识定义称函数（，）（，），），是（）的一个正解，若（），（，）并且；是（）的一个解对于某，若（）有一个正解，则称为特征值，称为相应的特征函数定义称函数妒（）（，】，）（，），）为（）的一个下解，若砂（）满足妒（）入，（，舻（），则）“蝴矽洲）如）疵，【妒（）（幻妒（），妒（）九）妒）六注（）的上解砂（）可以类似的定义若存在（）的一个下解妒（）和一个上解驴（）满足妒（）妒（），则（妒（），妒（）称为（）的一个上下解对本章取和最大值范数，在中定义一个集合如下：存在正数满足（）

10、（一），显然（一），故是非空集合本章采用下面的假设：（），（【：】，），如，（一）（一仍）一其中产（一）（），产（），曲阜师范大学硕士学位论文（叫州）旭艮（州，（）（）（，。），），（，）关于札是递减的（风）对于任何，（，弘）且（一）（，（一）（吼）对于所有的（，（），关于（，）是一致的设（）（，）是下面的边值问题的格林函数”（），（。）吼（）（），（）：（）（）：，其中，：、，十一一一一拦赴塑卜，（），三蓁：差茎：引理假设（）成立，则对于任意【，】边值问题二圣。，：。，三：；：（。）（）（），（）。，。，（）（）：（）（）一（）（）（箜二童墨查墼坌望墨釜壁丝粤堕童昱堑堑笪塑堑丝垂堡从到冉秋分

11、一次口以得到；（）（。）：（。）一（一）（），在（）中令得到（）玩（）酬如冷如）“（）一（叫小）这样就可以求出（）礤。）：（）硝）硝）（一）小）帆将（）代入（）得（）（）（）（）一。（一）（），。（）（）一（）（）（一）秽（）（一）厂（）（），）（）（一），（），从而故。（）；（）（）（）九（）（）（）（，丁）爹（丁）丁（刊（）（）州）九；（）（，丁）可（丁）丁：（）（）碳彬（）叫）（），（）（）胁拈警釉，。（，）（）（）客小以石（，丁）（丁），凡胁地拈鼍知，睁丁丁渺百：晰丁炒（）曲阜师范大学硕士学位论文将（）和（）代入到（），可得、，）小）（叫郇）州）（）引）王！二三堡垒乏掣咖生等掣坐（）丁

12、丁冲（）（）可（丁）丁础）小）（）反过来，假设甄（）（，）（），则州归（生等岩垫（）坚等型协丁丁胁（），丁，可丁，丁对上式两边求导得：（，）一掣（）（一）（）（一）（）一（一）秒（）仇（），丁，可丁，丁（叫小）掣警（），一，一（）（咖炒（）弘丁丁渺，对上式再一次求导可得，（）（）一（一）（）一（）容易验证而（）詹吼（）兢（），魏（）詹也（）甄（）如引理证明完毕性质假设（日）成立，则对任意，】有（，），（，）第一章具有积分边界条件的四阶奇异特征值问题的正解性质设（）（一），【，则对于任意，【，】有（州）（，）（一）（）五）（）（）三引理设（）（一），【，】，则对于任意的，【，】有胛（）（）（，）

13、（），其中（）（）一阮一阮小丁蒯警时溉丁）舯丁警丁）饥打（）证明由性质有础，）吼）生竖岩垫和丁川（一）？（一；）一警（）（）小（一）（一胧）卫胛（）（）另一方面，由于（，）（一），可以得到凰（，）（，）（丁丁蜊（半警：丁），（）（）（一）口（一）（丁）；（丁）丁故由（）和（）知引理成立曲阜师范大学硕士学位论文引理（比较定理）设（）成立，若（【，）（），）满足（）小），（）小）并且对于任意的（，），（），则（），【，】证明设一，俅）（），（，），（）一詹（）（），（）一詹（）（）则有，（），（）一由引理，可以得到（）（咖（）（叫（）如）（）（）（，）（），等（小咖冲）（铂）（小（）（下丁渺），）

14、麦（）（，丁）秒丁，下，）（）嘭咖渺）（），【，】证明完毕引理设（）成立，若（，）（，），）满足（。）（）（），（）！（）（），（）（），（），。，（）（）立？，（），并且对于任意的（，），（），则（），【，】证明设，（）他），【，则可（）（【，】）（，）？）满足以蛇吣（。）（）小）旭卵）（）小）瓠第一章具有积分边界条件的四阶奇异特征值问题的正解由引理我们有（），【，即。，（。）（）（），（）因此再由引理可知（），【，证毕主要结果（）（）定理假设（）一（月）成立，则当入足够大时（）至少有一个正解（），并且存在常数，使得对任意【，】有（）（）（一），（，（一）证明定义算子乃：如下：（乃州归（，）

15、以和），（，小）捌，下面证明瓦在尸上是定义的并且死（尸）尸（）事实上由的定义，对于任意的，存在一个正数。满足（）。（一），从而由（），（）和（），知（死口）（）入，（，）。（，），（，。（）武。（一）厂（一），（）武学（）（）灿，），【，】设拒】（），则由（风）和，让）的连续性，我们有詹（一）（，），从而由（）知（一），（，。（）厂一），（，（）一，另一方面，由（）可得（曲（）享入矿（一）（一）武（一）（，（）。（一），【】曲阜师范大学硕士学位论文其中匕（一）武詹（一）（，（）故由（）和（）知是有定义的并且乃（，），对任意尸，通过简单的计算有（）（，（死，）（），（）上（。）（乃）（。）。，（

16、瓦。）（）。（）（乃。）（）比，（）（）（）（），（乃）（）（）（）（），这说明（）（）（【，）（，），）（）下面去寻找（）的上下解由（）和（日）得到乃：是递减的，再由引理可知，如一”一幽（）一广以铲磁、厂厶一彬凼此存在满足，入日（，）（，），（，（一）武（一），另一方面，令（）詹（，）詹（，）（，（一），则由（）知，故由（），（）和（）可知，存在入满足日（，）（，），（，（）诞（一班】从而有础）圭舶（坂）仍（和印刊）删刈），【，】，她）圭）也（和）（）（），【，（删显然妒（）妒（）尸，且从（）和（）有（）妒（）（孔）（）（）驴（）（）（）【，即（。）妒（）（乃）（）（死）（）矽（），（）第一

17、章具有积分边界条件的四阶奇异特征值问题的正解故由（），（）和（）可得矽（）一（，矽（）（乃曲）（）一，（，（乃）（）（乃）（）一，（，妒（，）久，（）一入（）（）妒（）一入（，（）（死）（）一入（，（乃）（）（冗）（）一（，（）（，（）一入（，（）（）因为妒（）（孔矽），矽（）（瓦）（），【，】，所以（。）说明砂（）和西（）满足（）的边界条件，故从（）一（）可知（妒（）矽（）（乃）（），（乃）（）是（。）的上下解对，并且砂（），妒（）。定义函数：（，）和算子：如下：（），（妒（），砂（），（，）（，让），砂（）让冬（），（，（），（），（）（卧州牡入（斌）也（和）耶，邢）幽武，【】由假设条件可

18、以知道：（，）是连续的，考虑下面的四阶积分边值问题院爱篓姒）啦（），皿叭，曲阜师范大学硕士学位论文对于所有，由（）（）并注意到妒（）（一）可得（月）（）（一）武（一）（，（）幽竿（）删）竿（），（）所以（）是中的有界集，容易证明以：是连续的再证：是紧算子因为（，）在，】【】连续，所以一致连续，因此对于任意的，存在，对于任意的，【，】，当时，有心。，）一日。，）卜（一），（一）一因此对于所有的，【，】，当时，我们有（）、，一）（）一（）一日（、一厂厂必必，一，”如、，一“一一曲这说明（）在【，】上是等度连续的，因此由定理可知”：是相对紧的故：是全连续算子，从而由不动点定理可推出至少有一个不动点钏

19、满足钏州现在证明妒（）叫（）（），【，】设（）矽（）一（），（，】，由（），（）和伽是的一个不动点得到，由的定义，（）（）（），（）（）（），山，（）（）（）（），（）（）（）、（），（）和条件（吼）可知（，（）（，（）（，妒（），第一章具有积分边界条件的四阶奇异特征值问题的正解（，）（）（，（一）（，砂（），【，所以，（，矽（）（，（）（，（一）（，（），比从而由（）和（）知川）艄）一（乃）（一钮（，（一）一（，（），）因此由（），（）及引理可知），即彬（）（），【，】同样可证（）妒（）【，】，所以妒（）（）（），【，从而由的定义知（，（）（，伽（），【，故伽”（）是（）的一个正解因为妒（）

20、叭（）妒（），【，】，所以由（）及引理和（月）知（一）妒（）（）咖（）（）（）（一）武（一），（，（一）（），（一），（，（一）。【，其中推论假设（）一（）成立，且（）三，（）三，】，则当足够大时（）至少有一个正解（），并且存在常数使得对任意【，】有。（一）（）（一）证明由定理可知对充分大的”，存在一个正解叭（），满足下式（见（）式）（一）矽（）（）（）（，），（，（）（瓦）（）（，毒）因为（）三（）三，【，则由（，）和引理可知（）（，）（，）（一），【，】，（）曲阜师范大学硕士学位论文故由（）和引理可推出（一）妒（）（）（）（乃）（）划眦）球（叫武（一），（一），（，（一），（）（一），（，

21、（一）（一），其中”詹（一），（，（一）证毕第二章二阶奇异脉；中微分方程三点边值问题的正解本章利用不动点指数原理考虑如下奇异脉冲微分方程（）（），（）！，（）（），姐伍），（七）（），（）（），（）（），其中，】，！令。，（，），。）【），以（，一，厶（，）；（）（）一（），（）（）一（）；其中（吉），（）分别表示（）在点的右极限与左极限，他去），俅）分别表示（）在点的右极限与左极限；，（，），（，】），（）脉冲边值问题一直是脉冲微分方程理论的一个重要分支，是目前比较活跃的研究领域，吸引了众多的学者，取得了许多较好的结果，得到了关于这类边值问题正解存在性的大量结果，参见文，文利用锥拉伸压缩不动

22、点定理得到了一类四阶奇异边值问题的的正解的存在性（）（）（，札（），秒（），（），口（）（）（），（），（）秽（），（）（）（，“（），钞（）让（）（）（）（，乱（）（），让（），秽（），（）（）（）（），（）一札肌（），（）（），秒（）一仍，肌（），（）（），这里，玩（，），【，），（），（）允许在，处奇异；【，】【，。）【。）（一。，】（一。，】，。）是连续的；五：，成曲阜师范大学硕士学位论文，文屈，最近，文】利用不动点指数原理讨论二阶脉冲微分方程三点边值问题的多个正解的存在性：（）（），（），（）（），【（）（）（），这里，（，），（？凫受以上文章的启发，本章将脉冲与奇异结合起来讨论了奇

23、异的二阶脉冲微分方程三点边值问题（）的正解的存在性从而得到一些新的结论预备知识本章取空间】，】：（）在处连续，且雄）和他）存在，在范数，下，】成为一个空间称函数是（）的一个正解，若满足【，】，（），（，）并且是（）的一个解本章采用下列假设：（），（，），（工（，】），（），。，；存在，。），使得（），。，（）（），（）（，），）在，奇异，且，在任何子区间上不恒为，（一）【（）（）。，（，（一。，】），且对，仇有界（风）叩（，），一（第二章二阶奇异脉冲微分方程三点边值问题的正解考虑下面问题：（）（），（），（）（）七，（）（，）（）弓理假设：（，），（，），贝当：，如，歹，时，问题（）的有唯一的

24、解“（），并且（）可以表示为下面的形式绯）南，”）们小一川一；“邶】小）小灿）妻眦“）删一（）（）证明首先假设（）是（）的一个解，对其一式积分两次可以得到（）（。）一。（一）秒（）七烈一岛（）在（）中分别令，印得：（）以）（）如）汹一“（叩）（。）一叶（）秒（）叩一）吼由于（）（），则有以驴研婚似州“，小灿仁，一善帅“汁晰小一）曲阜师范大学硕士学位论文将（）式代入（）式中得邵）南吨）圳一（灿一挈（）州小叫小冲）参形吨，圳一（彬引埋阪议【）成立，一，（，），则方程（）的唯一解（）在【】上满足（）证明由邮）南噻）硎一町（冲一姜啪吨）硎（）小）（一刖（）小）（一，）卜）只】两叫喜（叩。郭似吨（）矽（

25、）口（一）矽（）。由于（）是凹的且（），则让（），证毕引理假设（）成立，只，（，），则方程的唯一解（）满足条件：（），其中伽，帮，刀）定义，设是实的空间，如果是中某非空凸闭集，并且满足下面条件：（）兮儿，（）尸尸，其中咿是的零元素中的每一个锥尸决定一个偏序即：对于秒只，则口一尸定第二章二阶奇异脉冲微分方程三点边值问题的正解义两个凸集耳，耳，其中：，耳：让）不动点指数的性质：引理【】设是空间的一个闭凸集，是一个有界开集满足。毋设：是一个紧映射，假设对所有的（）（存在性）若（，），则丁在上有一个不动点（）（正规性）若钍，则（西，），对于，石（）（）（同伦不变性）设：是一个紧映射，满足，（，）贝（，），）（，），）（）若是的互不相交的开子集，并且（）丁，则（丁，）（丁，）（丁，），其中（丁，）（，），引理【】设尸是空间中的一个锥，对于定义：）假设丁：珥一是一个紧映射满足，（）若对于。户，贝（丁，尸）（）若对于，），。川：，：，贝（，）主要结果足星阪芟【，）一