非线性系统的描述函数分析法

1、73 非线性系统的描述函数分析法 一、对系统的基本假设非线性环节的描述函数只是表示了该环节的正弦输入下，环节输出的基波分量与输入信号的关系。显然，它不像线性部件的频率特性那样全面地反映线性部件的运动特性。因此，用描述函数法来分析非线性系统，目前还只能分析其稳定性和自振。当然稳定性和自振问题也确实是非线性系统运动中十分重要的问题。设非线性系统经结构图等效变换后，可表示为线性部分G(s)与非线性部分N(X)相串联的典型结构，如图7-20所示。假设系统处于自振状态时，非线性部分和线性部分的输入、输出均为同频率的正弦函数。在这种条件下，非线性部分的特性就可以用描述函数表示，线性部分的特性可用频率表示，

2、从而建立起非线性系统自振时的理论模型。这是用描述函数分析系统稳定性和自振的前提。关于以上假设的合理性可以说明如下：首先自振是非线性系统中所特有的一种持续振荡，并不依赖于系统的外作用。因此在研究时，外作用都假定为零。其次，假设自振时，非线性部分的输入为正弦信号，一般说来，其输出除基波外，还包含有高次谐波分量。但是，高次谐波分量的振幅通常要比基波要小。另外由于线性部分的低通滤波作用，将使高次谐波分量进一步衰减，因此线性部分的输出完全可以认为只含有基波分量。可见，假定系统在自振时，各部分的输入、输出均为正弦信号是符合实际的。而且线性部分阶次愈高，低通滤波作用愈强，上述假设符合得愈好，分析结果精度愈高

3、。综上所述，描述函数法对系统的基本假设是：（1）系统可等效变换成图7-20所示的典型结构；（2）非线性环节输出中的高次谐波振幅小于基波振幅；（3）线性部分的低通滤波特性较好。二、非线性系统的稳定性分析描述函数是研究非线性系统稳定性的一种工程近似方法，它是在只考虑基波的条件下，将线性理论中的奈氏稳定判据推广应用于非线性系统的结果。为了便于理解，首先回顾一下奈氏判据最基本的内容：如开环系统稳定，并且开环幅相频率特性G（j）曲线不包围（1，j0）点，则其相应的闭环系统稳定。反之则不稳定。若开环频率特性曲线恰好通过（1，j0）点，则闭环系统处在临界稳定状态。回忆奈氏判据的推导过程可知，此判据是根据线性

4、系统闭环特征方程 或 （7-16）的关系逐步得到。其中为开环频率特性，“1”即为（1，j0）点。在仿照上述推导过程即可将奈氏判据推广到非线性系统中去。在非线性系统中，图7-20则可表示成图7-21所示。显然，这时闭环系统的特征方程为： 或 （7-17） 式中称为非线性特性的负倒描述函数。与（7-16）式相比较，相当于线性系统中开环幅相平面上的（1，j0）点。于是，几乎可以原封不动地将奈氏判据搬到非线性系统中来：若系统线性部分的幅相频率特性曲线不包围曲线，则非线性系统稳定。反之，若曲线包围曲线，则非线性系统不稳定。如果和相交，则系统存在等幅振荡。为了便于工程应用，常用相对描述函数和相对负倒描述函

5、数。亦即将描述函数中的某些非线性参数分离出来乘到线性部分中去，而剩下的非线性参数均以相对值形式（无量纲）出现。举例说明如下：例如死区继电特性，其描述函数 将其改写为令； ；即为相对描述函数，称为非线性特性的尺度系数。称为相对负倒描述函数。这样，死区继电特性的相对负倒描述函数为 （7-18）由上式可见，相对负倒描述函数的特点是，若把作为一个变量，则仅是的函数，它的函数值和非线性特性的特征参数和无关。当从时，全部函数值可以预先计算出来，即可使非线性特性的及曲线标准化，不会因、值的不同而改变。显然，这将大大减少工作量，并将减少发生计算错误的可能性。采用相对值之后，式（7-17）可改写为 （7-19）

6、而非线性稳定性的判别方法可叙述为：若曲线不包围曲线，闭环系统稳定；曲线包围，则系统不稳定。图7-22表示了与之间三种可能的关系还有一种可能的关系：相切。由于在实践中这种情况很少出现，故没有列出。(a) 表示系统稳定时与的相互关系。(b) 为不稳定情况；(c) 表示可能存在的自振的情况。图中负倒特性曲线上的箭头方向表示增加方向。三、非线性系统的自振在非线性系统中，如果曲线与曲线相交，或曲线与曲线相交，则系统中有可能存在自振自持的等幅振荡状态。自振是一种周期运动，交点处的自变量（角频率）和（振幅）即为该周期运动的角频率和振幅。如图7-22（c）所示，与有两个交点和，即表示系统有可能存在两个周期运动

7、状态。这两个周期运动的振幅及频率显然是不相同的。那么，这两个可能的周期运动情况，究竟能否出现并维持稳定不变呢？我们知道，任何系统运动总会受到各种各样的干扰。显然，当系统周期运动的振幅由于某种原因稍有变化，如系统本身倾向于使振幅恢复到原来值，则系统的周期运动将会是稳定的，称系统周期运动具有稳定性，这种稳定的周期运动，就称为自振。否则，周期运动是不稳定的。一个不稳定的周期运动，实际上不可能存在，因为一受干扰它就会离开原来运动状态，或收敛、或发散，总之将转移到另一个运动状态（包括静止位置）上去。在图7-22（c）中，先看点的周期运动。若由于某种原因使振幅有所减小，即移到点所对应的数值，由图可知，点位

8、于曲线之外，不被曲线包围，根据前述稳定性判据，对应闭环系统稳定。也就是说振幅将进一步减小，直至衰减到零；反之，若点受某种扰动，使振幅增大到点对应的数值。由于点被曲线所包围，根据稳定性判据系统不稳定，即振幅将逐渐增大。可见，点在受扰动后，系统总是倾向于偏离点越来越远，而不是回到点，故点所示对应的周期运动是不稳定的，故不是系统的自振点。现在来看点的情况。若系统开始处在点所对应的周期运动状态，则经过类似的分析可知，这一点的周期运动是稳定的，即为对应系统的自振点，在点的频率，即为自振频率。在点的振幅，即为自振振幅。图7-23表示了各种运动状态的特点，为点附近的运动状态。为点附近的运动状态。总起来说，判

9、别周期运动稳定性的简单办法是：若随着振幅的增加“交点跑出”曲线，则周期运动是稳定的，否则就是不稳定的。特别注意不要将周期运动稳定性与系统稳定性混为一谈。四、应用描述函数分析非线性系统的举例【例7-1】 如图7-24所示非线性系统，其中死区继电特性的参数，。试问该系统是否存在自振，若存在自振，求出自振的振幅和频率。解 死区继电特性的描述函数式（7-13），即 将表示成相对描述函数 令 相对负倒描述函数式（7-18），即 在复平面上分别作出及曲线。给定和一系列数值，可算出及值如下：1201501802002503004002.351.61.130.90.60.40.25.73.92.752.231

10、.400.940.49根据上述数据，分别绘制曲线和曲线，如图7-25所示。图中曲线在时取最大值（这一点可由对求导来计算）。而在和时的曲线与负实轴完全重叠，只是重叠点所对应的振幅不同。为了清楚起见，图7-25中画成两条直线，对应于由（即0.707）及由，曲线上箭头表示增加方向，亦即减小的方向。由图可见，与曲线有两个交点，从曲线看，交点频率为；从曲线看，交点对应，自振振幅。为了消除自振，可以改变使它与曲线不相交，最简单的办法是减小线性部分的开环增益。若系统稳态误差要求不允许减小开环增益时，可采取其他措施，如在系统中串联适当的相角超前环节来实现。【7-2】系统结构如图7-26所示，已知、，试判别系统

11、是否存在自振，若有自振，求出自振振幅及频率。 解 具有滞环继电特性的描述函数式（7-14）即 相对描述函数为 令，则相对负倒描述函数为 可见其虚部为常数。再以为自变量从开始，算出的一系列数值。同时也对线性部分计算出实部和虚部，计算值如下表所示：根据上列数据作出与曲线，如图7-27所示。由图可见，两条曲线有一个交点，根据稳定性分析可知，该点为自振点，自振频率为，振幅为。【例7-3】 具有间隙非线性特性的系统如图7-28所示。已知。试分析系统是否存在自振，若有自振，求出自振参数。解 根据间隙非线性特性的描述函数式（7-15），可求得的计算值如下表所示。X0.6250.831.252.552.381

12、.541.18系统线性部分的频率特性 则的实部和虚部计算如下表所示。12345610-10.7-3.18-1.75-1.24-0.96-0.59-0.45-7-3.36-2.13-1.5-1.1-0.86-0.35由图可见，两条曲线有一个交点。由稳定性分析可知，该点为自振点，自振参数，。五、非线性系统结构图的等效变换前面在讨论非线性系统时，假设其结构图为标准的一个非线性部分与一个线性部分相串联的形式。但实际系统并非完全符合上述形式，为了应用描述函数法分析系统的自振及其稳定性，需要将各种结构形式等效变换成典型结构。由于在讨论系统自振及其稳定性时，不考虑外作用的影响。因此，在进行等效变换时，也可以

13、认为所有外作用均为零。（1）并联非线性部件如图7-30（a）所示。可将两个非线性特性进行叠加，对叠加后的特性求描述函数如图7-30（b）所示。也可以先分别求出各非线性特性的描述函数，然后叠加得总的描述函数，即 这一点与线性环节类似。（2）串联非线性部件如图7-31（a）所示。可以先将两个环节的非线性特性等效成一个非线性特性如图7-31(b)所示。然后求整个描述函数。根据图7-31所示的输入、输出关系，可求得非线性特性参数之间的关系式。应当指出，两个非线性元件的串联不像并联那么简单，一般不能分别计算出描述函数后相乘。因为不符合基本假设。另外，也不能随便交换次序，因为调换次序后，等效特性将会不同。这一点与线性环节完全不同。（3）非线性部件被线性部件局部反馈包围，如图7-32（a）所示。对于这种结构，根据等效变换法则，可将线性部分叠加成为一个线性部件，则系