连续型随机变量及其分布

1、第三章 连续型随机变量及其分布一、教学要求 1理解连续型随机变量及其概率密度的概念，并掌握其性质，掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其应用 2理解二维随机变量的联合分布的概念、性质以及连续型随机变量联合概率密度；会利用二维概率分布计算有关事件的概率 3理解二维随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布 4理解随机变量的独立性概念，掌握连续型随机变量独立的条件 5掌握二维均匀分布；了解二维正态分布的密度函数，理解其中参数的概率意义 6会求两个独立随机变量的简单函数的分布，会求两个独立随机变量的简单函数的分布，会求两个随机变量之和的概率分布 会求简单随机变量函数的概率分布 本章重点：一维及二维

2、随机变量的分布及其概率计算二、知识要点 1分布函数 随机变量的分布可以用其分布函数来表示，随机变量取值不大于实数的概率称为随机变量的分布函数，记作, 即 2分布函数的性质 (1) () 是非减函数，即当时，有； (3) ; (4) 是右连续函数，即由已知随机变量的分布函数，可算得落在任意区间内的概率也可以求得 3联合分布函数 二维随机变量的联合分布函数规定为随机变量取值不大于实数的概率，同时随机变量取值不大于实数的概率，并把联合分布函数记为，即 4联合分布函数的性质 (1) ； (2) 是变量(固定)或(固定)的非减函数； (3) ，；(4) 是变量(固定)或(固定)的右连续函数； (5) 5

3、连续型随机变量及其概率密度 设随机变量的分布函数为，如果存在一个非负函数，使得对于任一实数，有成立，则称X为连续型随机变量，函数称为连续型随机变量的概率密度 6概率密度及连续型随机变量的性质（）（）； （）连续型随机变量的分布函数为是连续函数，且在的连续点处有； （4）设为连续型随机变量，则对任意一个实数c，； (5)设是连续型随机变量的概率密度，则有 7常用的连续型随机变量的分布 (1)均匀分布，它的概率密度为其中， (2)指数分布，它的概率密度为其中， (3)正态分布，它的概率密度为 ，其中，当时，称为标准正态分布，它的概率密度为，标准正态分布的分布函数记作，即， 当出时，可查表得到；当时

4、，可由下面性质得到设，则有 ；二维连续型随机变量及联合概率密度 对于二维随机变量(X，Y)的分布函数，如果存在一个二元非负函数，使得对于任意一对实数有成立，则为二维连续型随机变量，为二维连续型随机变量的联合概率密度 二维连续型随机变量及联合概率密度的性质 (1) ； (2) ； (3) 设为二维连续型随机变量，则对任意一条平面曲线，有； (4) 在的连续点处有 ; (5) 设为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域有 1，二维连续型随机变量的边缘概率密度 设为二维连续型随机变量的联合概率密度，则的边缘概率密度为；的边缘概率密度为 1二维连续型随机变量的条件概率密度 设为二维连续型随机变量的联合

5、概率密度，则在给定的条件下的条件概率密度为，其中；在给定的条件下的条件概率密度为，其中 1常用的二维连续型随机变量 (1)均匀分布 如果在二维平面上某个区域G上服从均匀分布，则它的联合概率密度为 (2) 二维正态分布 如果的联合概率密度则称服从二维正态分布，并记为. 如果，则，即二维正态分布的边缘分布还是正态分布 1随机变量的相互独立性 如果与的联合分布函数等于的边缘分布函数之积，即， 那么，称随机变量与相互独立 设为二维连续型随机变量，则与相互独立的充分必要条件为 如果那么，与相互独立的充分必要条件是 多维随机变量的相互独立性可类似定义即多维随机变量的联合分布函数等于每个随机变量的边缘分布函

6、数之积，多维连续型随机变量的独立性有与二维相应的结论 1随机变量函数的分布（）一维随机变量函数的概率密度 设连续型随机变量的概率密度为，则随机变量的分布函数为其中，与是相等的随机事件，而是实数轴上的某个集合随机变量的概率密度可由下式得到： 连续型随机变量函数有下面两条性质： (i)设连续型随机变量的概率密度为，是单调函数，且具有一阶连续导数，是的反函数，则的概率密度为 (ii) 设，则当时，有，特别当时，有，（）二维随机变量函数的概率密度 设二维连续型随机变量的联合概率密度为,则随机变量函数的分布函数为,其中，是与等价的随机事件，而是二维平面上的某个集合(通常是一个区域或若干个区域的并集) 随机变量函数的概率密度为. 当与相互独立，且的概率密度为,的概率密度为时，随机变量函数的概率密度为,