用非线性反馈函数法研究蔡电子线路的混沌同步

1、第31卷第6期用非线性反馈函数法研究蔡电子线路的混沌同步3方天华(,),对著名的蔡(Chua)电子线路,。该方法具有同步时间短、适应性较广,。自从Pecora和Carroll1在1990年提出驱动2响应方法并首先在电子线路上实现了混沌同步以来,国际上混沌同步的研究迅速发展。它不仅在通讯等领域有很大的应用潜力,而且在医学、生物及工程等领域都有广泛的应用发展前景。近年来,混沌同步及其应用已成为非线性科学中的1个重要研究课题和竞争热点2。迄今已经提出了许多方法实现混沌同步2。但它们中的大多数是基于线性反馈原理。值得注意的是,近年来非线性控制法正在兴起,特别是非线性反馈法,它不仅可以应用于混沌控制,而

2、且还可以应用于混沌同步,因此已成为人们关注的1个重要研究方向35。)函数方法6,7本文将应用非线性控制的基本思想3,4及李雅普诺夫(对1个著名的有实用价值的蔡(Chua)电子线路8寻找一些非线性反馈函数以实现混沌同步,这将为混沌同步在实验上提供有用的实例和1个新的可能途径。1混沌同步的基本原理现考虑2个n维非线性动力学系统:X=F(t、X)Y=F(t、Y)+G(X、Y) (1)(2)其中:X、Y为n维矢量,X、Y分别具有x1,x2,xn和y1,y2,yn;F为n维非线性函数,F具有分量F1,F2,Fn;G为m维输入控制函数,G具有分量G1,G2,Gm,mn,这里,G为非线性反馈函数。显然,当G

3、=0时,式(2)是式(1)的复制系统。但是,它们具有不同的初始条件。通常,称式(1)为驱动系统,式(2)为响应系统。从通讯角度说,前者称为发射机系统,后者称为3福建省自然科学基金资助项目收稿日期:1997206216收到修改稿日期:1997206223第6期方天华:用非线性反馈函数法研究蔡电子线路的混沌同步489接收机系统。通过选择合适的G(X、Y),使得t时,G(X、Y)0,Y(t)X(t),也就是说,使式(2)的解渐近地趋向式(1)的解,从而使系统(2)与系统(1)达到同步。这时,可以表示为:当tlimY(t)-X(t)=0(3)时,G(X、Y)0。为了应用李雅普诺夫函数方法讨论混沌同步,

4、可将上述问题转变为研究式(1)与(2)的误差动力学方程:(4a)e=X-Y=F(t、X)-F(t、Y)-G(X、Y)即nei=1nim=Fi=1i(t,X)-Fi(t,Y)-n(X,ii=1(4b)倘若找到1个正定的李雅普诺夫函数Lnneiim(5)它对于时间t),即i=1iieFii=1ti(t,X)-Fi(t,Y)-eG(X,Y)0,miii=1n(6)其中,ei=0,(i=1,2,n)成立。因此,式(4)对原点是渐近稳定的6,则有limyi(t)-xi(t)=0,i=1,2,n或tlimY(t)-X(t)=0由式(3)知,式(2)与(1)已达到同步。对2个混沌系统同步的上述论证是直接应用

5、李雅普诺夫关于运动稳定性一般理论得出的,与He和Vaidya7用李雅普诺夫函数方法对混沌同步的论证以及Pecora和Carroll1,9,10的同步原理实质上都是等价的。这就给出了发生同步的充分必要条件。本文正是基于上述原理,研究应用非线性反馈函数法实现系统的混沌同步。2用非线性反馈函数实现混沌同步现在考虑蔡电子线路的混沌同步。因为目前它在秘密通讯方面在国际上具有很大的竞争性,以此典型系统来研究实现混沌同步,具有实际意义。这里关键两步是:构造1个合适的李雅普诺夫函数;选择一类适于实现混沌同步的非线性反馈函数。蔡电子线路方程为:x1=x3-x1-f(x1),x2=-x3,x3=x1-x3+x2(

6、a-b)( x1+1 - x1-1 )其中:f(x1)=bx1+2T对式(7)带有反馈函数G(X、Y)=G1,G2,G3的响应系统为y1=y3-(7)y1-f(y1)+G1,y2=-y3+G2,y3=y1-y3+y2+G3(8)(a-b)( y1+1 - y1-1 )其中:f(y1)=by1+2已知:当参数=10100,=14187,a=-1127,b=-0165时,其李雅普诺夫指数为490(01279,01000,-21359),该系统处于混沌态。原子能科学技术第31卷由式(6)得出L=-2)e1e3-(b+1)e2e3+(1+1-(-1)e2e3-G1e1-G2e2-G3e3(9)选择如下

7、非线性反馈函数:G1=0,G2=Ktg(x2-G3=Ktg(x3-y2)K(x2-y3)+y2)+(x2-y2)3,(10)y3)K(x3-(x3-y3)3其中:K为反馈系数。(10)代入式(9),有2 -22(1+)(b+1)L=-(b+1)e1-3-2222+K+1-e-4(b+1)4K当K满足下面条件+-K>0e22()-2e32-2-4(b+1)2>04K(11)时,对任意e1、e2、e3,则有L0,把b值代入式(11),解得K>11173。因此,当K>11173时,L0,则在非线性反馈式(10)控制下,蔡电子线路式(8)与(7)达到混沌同步。数值算得响应系统式

8、(8)的李雅普诺夫指数为(-010554,-010558,-1018886),完全满足Pecora和Carroll同步原理9,10,同样证明在非线性反馈函数式(10)控制下式(8)与(7)实现了混沌同步。数值计算再次验证了上述的解析结果是正确的。当K=12时,2个蔡电子线路达到混沌同步过程的转变时间=90步,说明非线性反馈函数法是很有效的。本文找到了几种非线性反馈函数G的形式、K的范围以及与K值对应的值(表1),它们都可以实现蔡电子线路的混沌同步。表1适于蔡电子线路实现混沌同步的几种非线性反馈函数(系统参数:=10100,=14187,b=-0165)Table1Someofnonlinear

9、feedbackfunctionsforsynchronizationofchaosbetweentwoChuascircuitswithdifferentinitialconditions(systemparameters:=10100,=14187,b=-0165)序号12G1G2Ktg(x2-y2)G3Ktg(x3-y3)Ktg(x3-y3)KK>11173K>7164(步长=0101)90(K=12)9900(K=8)00y1(x3-y3)-(-1)(x2-y2)-y1(x2-y2)+Ktg(x3-y3)30K1(x2-y2)+Ktg(x2-y2)K2(x2-y2)K>

10、;11173K1<14(K2-48109)K2>481092000(K=12)37900(K1=315,K2=50)4)(x3-y3)+(1+第6期方天华:用非线性反馈函数法研究蔡电子线路的混沌同步491表1中序号4为线性反馈函数的结果。比较表明,应用非线性反馈函数法达到混沌同步的转变时间更短,说明非线性反馈函数法更为有效。从表1还可以看出:从非线性反馈函数形式看,可以采用一维反馈,也可以采用多维反馈,而以采用多变量反馈为宜。从反馈系数看,所有系数均可相同,也可不同。将此法应用于Rossler系统、限于篇幅,将另行Lorenz系统等,也已成功实现了混沌同步。报道。3结论应用非线性控

11、制法,结合李雅普诺夫函数方法,数,实现了对有实用价值的蔡电子线路的混沌同步。可能途径。和Vaidya用李雅普诺夫函数方法的论证,以及rall。非线性反馈,适用性较广,在某些非线性系统下是较简便、,非线性反馈函数更为有效,预期它将有良好的发展前景。、关遐令研究员和方锦清研究员等给予的帮助和指导,表示衷心感谢。参考文献2方锦清1非线性系统中混沌控制方法、同步原理及其应用前景(一),(二)1物理学进展,1996,16(1):1;16(2):13713AliMK,FangJQ.SynchronizationofChaosandHyperchaosUsingLinearandNonlinearFeedb

12、ackFunc2.PhysRevE,1997,55(5):1257.tions4成雁翔,王光瑞1用非线性反馈实现混沌的同步化1物理学报,1995,44(9):138215FangJQ,AliMK.SynchronizingSpatiotemporalChaosintheCoupledMapLatticesUsingNonliearFeed2.NuclearScienceandTechniques.1997,8(3):129.backFunctions6秦元勋,王慕秋,王联1运动稳定性理论及应用1北京:科学出版社,198111711992,46(12):7387.8ChuaLO.ChuasCir

13、cuit:AnOverviewTenYearsLater.JournalofCircuits,SystemsandComputers,1994,4(2):117.9CarrollTL,PecoraLM.SynchronizingChao492原子能科学技术第31卷NONLINEARFEEDBACKFUNCTIONSFORSTUDYINGSYNCHRONIZATIONOFCHAOSINCHUASCIRCUITSFangTianhua.tages,andsimplicityforlowdimensionalchaoticsystemsKeySynchronizationofchaosNonlinearfeedbackfunctionalmethodChuascircuitWWER-440型213核电站选定的安全状况SelectedSafetyAspectsofWWER-440Model213NuclearPowerPlants本书1996年由IAEA出版。IAEA及许多成员国承担了若干项提高老式设计的核电站的安全研究,其中之一是WWER2440型反应堆核电站。IAEA关于WWER2440型213核电站安全评价项目的主要目的,是在这一类型反应堆选用的安全状况研究中给予协调及全面的帮助。这一项目不仅增加了对前苏联设计的此