用折合质量法计算混合气体分子碰撞频率-

1、用折合质量法计算混合气体分子碰撞频率摘要:在查找文献1的过程中,我发现了对于气体分子碰撞频率的一种巧妙的计算方法折合质量法,我尝试着将它推广到了两种分子的情况。关键词:分子碰撞频率,折合质量法1分子碰撞的两种模型著名物理学家麦克斯韦和波尔兹曼在十九世纪后半期对分子的相互碰撞进行了研究,提出了两个模型,一个是弹性钢球模型,一个是力心点模型1。接下来将采用的是前者,其假设每个分子都是小球,相互做弹性碰撞,在碰撞时球的大小和形状都不改变;并且球面是光滑的,在碰撞的一刹那,接触面没有摩擦。2折合质量法折合质量法适用于两体运动,可以描述为:当两个质量分别为m1,m2的物体之间仅有连线方向的力F r作用时

2、,在一个物体看来,另一个物体可以等效为在力F r的作用下质量为=m1m212(1的物体的运动。虽然大量气体分子的碰撞不是两体运动,但是由于气体分子非常小且碰撞十分剧烈,所以可以假设每一次碰撞仅有两个分子发生碰撞,折合质量法可以适用。下面将进行详细描述。3折合质量法推导一种分子情况下的碰撞频率为了简化分析,先考虑一个分子A的运动,在这个分子看来,其它分子以折合质量进行着碰撞,碰撞使它们达到平衡分布,即麦克斯韦分布。为了计算平均自由程,需要知道分子之间的平均相对速度,而由于单个分子在剧烈碰撞之中不断地改变着方向,可以假设平均相对速度即为在A看来所有分子的平均速率,计算将验证这个假设的合理性。为了简

3、单,先考虑单个分子的平均自由程。熟知的在球坐标下的麦克斯韦速度分布为:f v=(m2kT3/2em v2(2使用折合质量法时,上式中的m应取折合质量,在只有一个原子的情况下,折合质量为下式所示:=m 1m 212=m(3仔细地考虑一个分子(A 的情况2,在这个分子看来,所有分子以相对速度v 向其碰来,v 满足(2式的麦克斯韦速度分布。假设碰撞瞬间,两分子共同法线方向为n ,速度v 与n 的夹角为,在此附近的分子落在立体角d 中。那么,对于速度为v 的分子,在dt 时间内落到分子A 上的分子应该位于一个圆柱上,这个圆柱的体积为:dt dtd v0n0(cos d n f v d d =v v(4

4、先对上式中的d 进行积分,sin d d d =(为以法线方向构造球坐标系后引入的另一个角度,的取值范围为02-(否则分子将无法落在A 上,则有222/2202(cos (cos 1(sin 22(f v d d f v d d f v d d d f v d =v v v v v v v v再次积分即得单位时间内的碰撞次数2200(n f v d n v =v v(5这里的平均速度为平均相对速度,由折合质量法可知,其与分子平均速度的关系为 v=(6即 n=(7这正是课本4上得到的结果4混合气体情况下碰撞频率的计算在混合气体情况下,分析与上一节并无不同,只是要注意考虑一个分子与多种分子碰撞的情

5、况。下面考虑两种分子1和2的情况,即在碰撞频率上增加一项1,11,2=+(8其中第一项是1与1的碰撞频率,第二项是1与2的碰撞频率。根据分子混沌假设3,这两种分子的分布是彼此独立的,都是麦克斯韦分布。上面的方法对这种情况完全适用。具体来说,只需要将(5式中的折合质量进行更换就可以了,简单计算后可以得到: 112n n=(9这与文献2中第四章的式(19完全一致,且导出方法更加直观。5实验数据的验证求碰撞频率的重要作用是求分子的平均自由程,而求得平均自由程则可以在半定量的基础上求得分子的输运系数,下面对于氮气在一个大气压下面的粘度系数进行实验与理论的验证,以求对统计规律在现实世界中的重要性有更直观的感受。从网络(网址在这上查得氮气在一个大气压下的粘度系数随温度的变化为: 而粘度系数的公式为513v=(10计算时取氮分子的有效直径d=3.8×1010m,利用MATLAB将实际数据与计算结果进行拟合,得到下面的结果 图2,上方是实际数据,下方是计算数据由此可见,虽然计算结果与实际结果仍有不小的偏差,但数量级相同,偏差大约在510 ,统计理论在实际中获得了较好的验证。参考文献1曹烈兆&周子舫.热学热力学和统计物理,20122 王竹溪