数列求和(师)

1、团风中学451高效课堂高一数学导学案3课题：数列求和课型：习题讲练课整理人：王仁杰让帆课时安排：3-4课时整理时间：2013年3月25日说明：本专题主要针对实验班使用，请其他班级选择部分类型和题目讲解。【学习目标】熟练掌握等差数列、等比数列的求和公式及其应用，这是数列求和的基础；掌握好分组、裂项、错位相减、倒序相加法这几种重要的求和方法；掌握一些与数列求和有关的综合问题的解决方法，如求数列前n项和的最值，研究前n项和所满足的不等式等.【学习重点】裂项相消与错位相减求和；【学习难点】错位相减求和方法。【学习过程】一、利用常用求和公式求和1、等差数列求和公式：&:工豆及为十强R)d222、

2、等比数列求和公式： Snna1a1(1-qn)(q =1)例1已知log 3 X-1解：由log 3 x-1log 2 3由等比数列求和公式得：Sn例 2设 Sn= 1+2+3+n ,1 -qa -anq1 -q_ nX=log3X- -log 3 2 =23n二 X X X : Xn e N，求 f (n)=Sn(q 二 1)+的前n项和.x(1 -Xn) _ 2(1 -2n1-21-A2n(n 32)& 1的最大值.解：由等差数列求和公式得f(n)=(n 32)S1 n2 34n 64n 34 64 n8 2 一(n- ) 5050-8M n，即 n= 8 时，f (n) max1

3、50二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前n项和，其中 an卜 bn 分别是等差数列和等比数列例 3求和：Sn =1 +3x +5x2 +7x3 + +(2n 1)xn解：由题可知，（2n1）xn,的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列xn的通项之积:设xS =1x+3x2 +5x3 + 7x4 +，+(2n1)xn (设制错位)D _ 得 (1x)Sn =1+2x+2x2+2x3+2x4 + + 2xn_(2n_1)xn（错位相减）再利用等比数列的求和公式得:(1 -x)Sn1 _xnJ=1 +2x-(2n -1)xno1

4、 一 x例4求数列与等比数列Sn 二(2n -1)xn 1 (2n 1)xn (1 x)(1-x)22 4 6，2,22,23，1工一的通项之积 2n2n 一 一.一 ,一 .，2-刖n项的和.斛：由您可知,2n二的通项是等差数列2n的通项2n设Sn二2 W2222Sn1(1 -2电23.9242n2n* * *-r 222=± + - + - +22223n 22二242 2n* * I “，2 n 2n 121 2n-22。2口 1Sn =4 - 2n二、倒序相加法求和这是推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n

5、个（a1+an）.例6求sin21+sin22+sin23+sin288+sin289的值将式右边反序得：S=sin289+sin288+sin23一+sin22-十sin21一又因为sirx=co9px)sinxyoSx=1，+得2”222222SMsir14coilMsir24Gos2)+Tsir894cos89=89.s=44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.1,1r1cc例7求数列的刖n项和：1+1,+4,2"+7,；fj+3n2,aaa,一一111解：设Sn=(

6、11)(4)(27)-(y3n-2)aaa将其每一项拆开再重新组合得111Sn=(1+,+.+T)+(1+4+7+-+3n-2)(分组)aaag11I-当a=1时，sn=n+(3n1)n=(3n1)n(分组求和)当a#1时，sn=a-+(3n1)n2212a1_n-_a-a(3n-1)na-12例8求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.n解：设ak=k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+k：Sn=Zk(k+1)(2k+1)=k1n%(2k33k2k)kWnnn将其每一项拆开再重新组合得：sn=2工k3+3工k2+Zk=kdkdk12(1323n3)3(1222n2)(12n)222n(

7、n1)n(n1)(2n1)n(n1)n(n1)(n2)=丁丁=2222五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然团风中学451高效课堂高一数学导学案5后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如：(i)an=f(n+1)_f(n)(2)sinlcosn cos(n 1)-=tan(n 1)tann(3)an1_ Jn(n 1) n(4)_2(2n)=1.1()(2n -1)(2n 1)2 2n-1 2n 1(5)an1n(n-1)(n 2)4n(n 1)1(n 1)(n 2)n 212(n 1) -n 11nnn

8、 _1n(n 1) 2 n(n 1)2 n 2(n+1)2n ,则Sn =1(n+1)2例9 求数列 -,产=，,-=；1,22.3 n n 1 ,的前n项和.1 -解：设 an .= 7n +1 - Jn ,则 n n . 1S = 1 + . .+n 1 、223(v12 -1) +(8-&) + +(Jn+1 -Vn) = 7n+1-1例 10在数列an中，an十2- + +,又 b,求数列bn的前an 1n项的和.解:an11=8(f)数列bn的前n项和:111111Sn =8(1-1)+(2-1)+(3-；)+" + (；-)8(18nn 1例11求证:+ * *

9、+cos1cos0 cos1 cos1 cos22，cos88 cos89 sin 1$002= a1a2a3 ' , , 22002 =解：设S1cos0 cosl1cosl cos211 ,* 。cos88 cos89sin1cosn cos(n 1)=tan(n 1) -tann1cos0 cos11十。cos1 cos 21+11,+4cos88cos891(tan1-tan0)(tan2Tan1)(tan3Tan2)tan89。tan88sin111一cos1e(tan89-tan0)=Ecot1=2t原等式成立sin1sin1sin1例.计算：11+21+2+31+2+3+

10、100六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例12求cosT+cos2+cos3°+一+cos178°+cos179°的值.解：设Sn=cosl+cos2+cos3+cos178+cos179cosn=-Cos(180n)(找特殊性质项)：Sn=(cosl+cos179°)+(cos2+cos178°)+(cos3+cos177°)+(cos89°+cos91)+cos90°=0(合并求和)例13数列an：a1=1,a

11、2=3,a3=2,an%=an由-an,求S2002.解：设S2O02=a+a2+a3+a2002,由&=1,a2=3,a3=2,an=an+an可得a4-1,a5-3,a6-2,a7 =1,a9 =2, a。- T,an - -3, a12 - -2,%=1%k2=3a3k3=206k4=T纵5=-3纵6=一2a6k1a6k2a6k3a6k4a6k5a6k6=0(a1a2a3a6)(a7a8一a12)”:;-(a6k1a6k2'.a6k:6)'(ai993'al994'a1998),a1999'a2000'a2001'a2002

12、=2999'000'a2001'4002a6k书+a6k书+a6kq3+a6k书=5例14在各项均为正数的等比数列中，若a5a6=9,求log3a1+log3a2+log3ai0的值。解：设Sn=lOg3a110g3a210g3a10由等比数列的性质m+n=p+q=aman=apaq和对数的运算性质logaM+1ogaN=1ogaMN得:Sn=(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)<og3a510g3a6)=(log3a1Bio)+(log3a2a9)+十(log3a5a6)=log39+log39+十logs9=10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.11k例15求1+11+111+U1=1之和.解：由于！11=1=一工9999=一(10-1)n个1k个19M9111111+<11111112131n-(10-1)-(10-1)-(10-1)(10-1)99991(101102103H-10n)-1(111+：+1)1 10(10n -1) n910 -1例16已知数列an：