数列不等式证明的几种方法

1、数列不等式证明的几种方法、巧妙构造，利用数列的单调性例1.对任意自然数n,求证:(1 + ) >4- 12n- 1鼻也(H1X1+-)-(142-112M2证明：构造数列I，.1-1-1-12ti+22tl+2J(R421_l口+2所以f即国J为单调递增数列-3,Na】=。1所以出,即)>V2nZl2ti-r点评：某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题，均可构造数列，通过数列的单调性解决。、放缩自然，顺理成章例2.已知函数电）=N+m数列d>&>0）的首项叼=1,以后每项按如下方式取定：曲线F=F8在点土®"工处的切线与经

2、过（0,0）和（飞式4»两点的直线平行。求证：当总它N'时:(1)%'%=C/必；证明：（i）因为fy好4曲，所以曲线l在（鼻上"!）处的切线斜率为卜=391,.£%豆。又因为过点（0,0）和两点的斜率为k=,所以结论成立。（2）因为函数h（x）="+用耐单调递增则有%+%=%川+2%414+%*1=（2笈"'+&G?三1所以。M+i,即*皿一口，因此又因为"一,二二一''"所以、导数引入IInit<14I-34n+1证明：令an.nrthjin+1'n-i=帖n

3、&=n+l(n+I)Cn=Sn-SIL.i=Kn41)-riO要证明原不等式，只须证1x+1一<lnX41所以笈(x+1)占+1)令t-1<lnL<t-1(!>1)所以：L-1t-1lt3所以上为增函数所以h(t)>o所以tx+11In>一所以x区*同理可证1 ，五十1 1 nn 11 11 十11<ln< ,即<3n<-所以- :- '|。对上式中的n分别取1, 2, 3,四、裂项求和例4.距是数列闲）的前n项和，且忆、-：",%".）(1)求数歹I%）的首项5 ,及通项(2)解:（1）首项&qu

4、ot;4%=坐Yg=L草，）（过程略）o(2)证明：将宜.=4" - /代入 Sn = an - - x 211+1 + -%=-产)-$*+|彳(产-1)(2"-1)则丁广京时彳产=D/T)二_)2n+l-r所以£Tj=【(六-4-p)上金1一L1上一11-E311313"-(：)(1：)<Q+l_1!7v7+1-V7点评：本题通过对1k%的变形，利用裂项求和法化为“连续相差”形式，从而达到证题目的五、独辟蹊径，灵活变通独辟蹊径指处事有独创的新方法，对问题不局限于一种思路和方法，而是善于灵活变通，独自开辟新思路、新方法。x+3例5.已知函数

5、9;.二2）。设数列1%）满足可，人，数列4）满足&T3捋工=瓦屯”人（511钟-1（1）求证：工;（2）求证：30（卢+以卉-1）-2,得空聿-，.证明：（1）证法1:由2（'门十口令=（后。飞,则只须证l"；易知C1,只须证“SCh。由分析机J=1同产1三（杉）1%03"）凤，有Ia十30M-市仁(5+1)|上-有四温-小日-7moi%+平2%41日因为卜密士"）所以之lu>|ajl",得证证法2:由于的两个不动点为士布。又it 十 3. »，所aXL+l- / =%十3一行=Q一道）（4近/十1'卬十1&am

6、p;TL+14五二-+J54+1_Q1君）&+道）4十1一一君”君）（一所以，有（门。）d4#）%-君1-/%T-/J-辰）*%-3Q3（I-格）nT%一出所以'''''''.二11/：','''、y?由上可求得口十T5）n-a一右.,曲1因此只需证。十次六,a一近11严，即证一,=明+C：（追/+C：增产+）=2出您+或3十团举十）n向©3段+片+。4）+师：=十2（螺2+Cj-8+,"）>2九百,得证。(2)由(1)知,所以%"(声-D"1=瓦+» 口+1£(馅-1)故对任意0点评：