第十章1结构的动力计算

1、1第十章 结构的动力计算10-1 结构动力计算的特点和动力计算自由度10-2 单自由度体系的自由振动10-3 单自由度体系的无阻尼强迫振动10-4 阻尼对振动的影响10-5 多自由度体系的自由振动2我们已经研究了结构在静荷载作用下内力和位移的计算问题，已经掌握了结构在静荷载作用下其内力和位移的计算方法和一般原理，也可以说已完成了结构的静力分析。本章将进一步分析和研究承受动力荷载的结构，称为“结构的动力计算”，一般称为“结构动力学”。就结构动力学的内容来说，非常广泛。在此学习的的内容将为以后进一步学习奠定基础。31、掌握单自由度体系的自由振动、强迫振动、阻尼对振动的影响等；2、掌握求解多自由度体

2、系的自由振动的刚度法；3、掌握多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动；4、了解多自由度体系主振型的正交性和主振型；5、了解无限自由度体系的自由振动；6、熟悉近似法求自振频率；7、了解矩阵位移法求刚架的自振频率。基本要求：410-1 结构动力计算的特点和 动力计算自由度一、结构动力计算的特点1、几个概念 要研究结构在动力荷载作用下的结构计算问题，首先要了解什么是动力荷载(动荷载)以及与此有关的概念。如：静荷载、动荷载、自由振动、强迫振动、动力反应。5（1）静荷载：荷载的大小、方向及作用位置都不随时间变化（如自重），或者虽有变化，但变化相当缓慢，它所引起的结构上各质点的加速度可以忽略不计。例如：雪荷载

3、、人群、设备重量、吊车荷载。即是说我们讨论的“移动荷载”一般看作静力荷载。（2）动荷载：荷载的大小、方向和作用位置随时间迅速变化，由此引起的结构质量加速度及惯性力不能忽略不计。6 即：动荷载引起的结构(结构上各质点)的加速度较大，对结构的内力和位移的影响不能忽略。 加载后虽然荷载不再变化，但是加载速度却很大，致使结构产生明显的振动，则属于动荷载。 （3）荷载周期与结构自振周期 一种荷载是否作为动荷载来处理，我们通常用荷载周期TH与结构自振周期TJ的比值来衡量。 如荷载的周期TH =1s，而TJ =0.1s，TH / TJ =10，则荷载对结构而言可当作静荷载处理。 若结构自振7周期TJ =10

4、s，有TH / TJ =0.1，则该荷载就应作为动荷载来处理。 一般而言， TH / TJ 5，该荷载就可作为静荷载处理。 自振周期：(广义的解释)是结构经历一个循环的自由振动所需的时间。 (4) 动力反应：动荷载作用下，结构产生振动，结构的分布质量和集中质量的位移、速度、加速度以及作用在质量上的惯性力都是时间 t 的函数，上8述内力、位移、速度、加速度以及惯性力等统称为结构的动力反应。 习惯上称动内力和动位移为结构的动力反应。 学习动力学就是要掌握动力反应的计算原理和方法，并确定其随时间的变化规律。 结构的动力反应和结构本身的动力特性有关。 （5）动力特性：结构的自振频率、自振周期、阻尼特性

5、以及多自由度体系的主振型等则是结构固有的动力特性。9 反映结构动力特性的这些参数对结构的动力分析有着重要的影响，需通过分析结构的自由振动而得到。 （6）自由振动：结构在动力荷载下将发生振动，若起振后就再无外力的激振作用，则这种振动称之为自由振动。 或者说：动荷载引起结构振动，若在整个振动过程中再无外力作用，则称这种振动为自由振动。10 （7）强迫振动：结构在振动过程中受到动荷载(干扰力)的作用，称为强迫振动。 （8）动静法：根据达朗伯原理，若假想把惯性力作用在振动着的质量上，则在任一时刻，结构在动荷载以及惯性力作用下处于平衡状态。这样就把动力计算问题转化为静力平衡问题。 但是，这是形式上的平衡

6、，是一种动平衡，是一种引进惯性力条件下的平衡，是瞬间平衡。 11 关于风荷载：对一般房屋结构来说，风荷载可看作静力荷载，而对于高耸柔软结构来说则应作为动力荷载处理。英国多伦多电视塔，世界第一高塔，1973年开工、1976年建成。钢筋混凝土结构，用钢量5600吨，混凝土4万余立方米。高553米，主体451米，天线桅杆102米，电视塔桅杆部分用巨型直升机吊装。12多伦多电视塔夜景13多伦多电视塔时间间隔特写镜头142000年8月27日莫斯科电视塔发生火灾，烟雾从340米高塔段冒出。15上海“东方明珠”，亚洲第一、世界第三高塔。1994年建成，塔高468米，主体结构350米，天线桅杆118米。16建

7、筑资料建筑资料【建设地点】：广州市海珠区赤岗塔,珠江新城对岸【开工时间】：2005年11月25日【竣工时间】：预计2009年9月,2008年8月27日，主塔体完成封顶17【占地面积】：17.546万平方米【建筑面积】：11.4054万平方米【建筑高度】：塔身主体454米，天线桅杆156米。总高度610米【建筑层数】：37层【结构形式】：钢筋混凝土结构 【建筑造价】：人民币22亿元【投资单位】：广州电视台,广州建设投资公司【设计单位】：英国ARUPQualifi-cation【建设用途】：电视广播,游乐园,观光 【施工单位】：宝钢公司18【英文名称】：Canton Tower【别称】：广州电视观

8、光塔,广州塔正在全球征集塔名，奖金10万。 另外：日本将建634米高塔，超过广州新电视塔24米。19二、动荷载分类1、周期荷载特点：随时间呈周期性变化。(1) 简谐性周期荷载（典型） 按简谐规律随时间改变其量值的荷载。 如马达质量偏心产生的荷载。tPF-PF( )PF t图(a)简谐荷载工程上常用的有下面几种动力荷载。20FP(t)t的变化规律可用正弦或余弦函数表示。(2) 非简谐性周期荷载不是按简谐规律周期性变化的荷载(图b、c)，其中图c表示锻锤产生的周期冲量。图( b)FP(t)t t t tFP(t)t图( c)21（a)tPF( )PF trttPF( )PF tdt（b)核爆炸冲击

9、波荷载曲线急剧增加化爆冲击波荷载曲线急剧减小 特点：这类荷载在很短的时间内，荷载值急剧增大或急剧减小。2、 冲击荷载22FP(t)t爆炸冲击荷载荷载急剧增减（c）冲击压力作用时间小于或略大于结构的自振周期233、随机荷载 荷载在将来某一时刻的大小和方向无法事先确定，称为非确定性荷载，或称为随机荷载，例如地震荷载及风荷载就是随机荷载。244、脉动风压特点：荷载在任一时刻的数值是无法事先确定的。图示是不规则变化的风压。实测表明不规则风压可以分解为稳定风压(平均风压)和脉动风压。在一次大风过程中，当风力最强时，结构某一高度处的风压围绕其平均值变化，这是符合统计规律的。QQ1t脉动风压脉动风压稳定风压

10、稳定风压25 下面是1940年美国塔克玛大桥由风震而破坏的录相。稳定风压Q1：对结构的作用可视为静力荷载。脉动风压：对高耸柔性结构则视为动力荷载。26从以上分析知：(1) 周期荷载和冲击荷载是确定性动力荷载。变化规律可知，即可用确定性函数来描述。(2) 地震荷载和脉动风压是非确定性动力荷载。又称随机荷载。不能表示为时间的确定性函数，但受统计规律的制约，需用概率和数理统计的知识分析，得出某些共同的规律，作为设计依据。特别指出：当荷载的周期为结构的自振周期五倍以上时，动力作用较小，此时的动力荷载可视为静力荷载以简化计算。27三、惯性力 当物体受外界因素的作用发生运动状态改变，即获得加速度时，物体由

11、于惯性产生对外界抵抗的作用力称为惯性力。正是由于惯性力的作用使结构的动力计算具有不同于静力计算的特点。四、弹性体系的动力计算自由度 定义：为确定弹性体系在振动过程中任一时刻全部质量的位置所需要的独立几何参数的数目称为弹性体系的动力计算自由度。28 对于杆系结构，通常忽略梁式杆的轴向变形，且体系为线性弹性体。 对于集中质量体系，为了约束全部质量的线位移所需要的独立几何参数的数目很容易确定。下图中，n为动力计算自由度数。 n=1n=2n=0n=1n=2n=229 因为，实际结构的质量都是连续分布的，因此可以说任何一个实际结构都具有无限个自由度。但是如果所有结构都按无限自由度计算，是十分困难的，也是

12、不必要的。这就需要简化结构成有限个自由度的问题。 简化方法：集中质量法和广义坐标法。 1、集中质量法 集中质量法：把连续分布的质量集中为有限个质点，将无限自由度问题简化为有限自由度问题。30 几个实例 (1) 图（a）示简支梁，跨中有一重物W。当梁本身的质量远小于重物的质量时，可取图b所示的计算简图。此时，体系可看作是具有一个自由度的体系。W(a)质点m(b)31(2) 图a所示的三层平面刚架，在水平力的作用下计算刚架的侧向振动时，只有三个自由度。(a)(b)32 (3) 图a所示为一单层厂房排架，考虑水平振动时可简化 图b。屋盖与屋架质量较大，可将其集中于直立柱的顶端，柱的部分质量也集中到顶

13、端。当考虑水平振动时，只有一个自由度，即水平位移y(t)。(a)y(b)33(4) 图a所示两层单跨平面刚架，考虑水平振动时通常也将梁、柱和楼板的质量都集中在结点上，使体系成为具有四个质点的体系。体系有两个自由度，y1= y2；y3= y4 。(a)(b)y1y2y4y3y1y2(c)34(5) 图a所示为一块形基础，可简化为一刚性质块。 当考虑平面内的振动时，共有三个自由度，即水平位移x，竖向位移y，和角位移 (图b)。当仅考虑竖直方向的振动时，则只有一个自由度(图c)。所以，体系的自由度与计算的精度有关。（a）(b)xy(c)y352、广义坐标法(1) 具有分布质量的简支梁是一个具有无限自

14、由度的体系。简支梁的挠度曲线可用三角级数来表示：)(sin)(1alxkaxykkak称为广义坐标，是一组待定参数。其中： 为形状函数，是一组给定的函数；lxksin36 当形状函数选定后，梁的挠度曲线y(x)即由无限多个广义坐标a1、 a2、 an、所确定，因此简支梁具有无限自由度。在简化计算中，通常只取级数的前n项： )(sin)(1blxkaxynkk这时简支梁被简化为具有n个自由度的体系。书中其他实例自学。 37 3、附加支杆法确定体系的自由度 当体系比较复杂时，可以用附加支杆的方法确定其自由度。 附加支杆法： 在各个质点可发生独立位移的方向上附加刚性支杆，直到全部质点不能再运动，此时

15、所需支杆的最小数目就是体系的自由度数。n=238n=44、关于自由度的概念动力计算自由度与几何构造分析中自由度的概念既有共同点又有不同点。共同点：它们都表明体系运动形式的独立坐标数。不同点：几何构造分析中讨论的是刚体体系的运动自由度，动力计算中讨论的是变形体系中质量的运动自由度。39练习题：指出下列体系的自由度y4y3y1y2y1 = y2n=3(a)y1y2(b)n=2y1y2(c)n=3y3y1(d)y2n=240EA1EA2(e)n=2n=2(f)(g)n=1EI= 由上面的例子可以看出，结构动力计算自由度的数目与集中质量的数目、结构型式以及质量在结构上的分布有关，应具体问题具体分析。4

16、110-2 单自由度体系的自由振动 进行结构的动力分析，往往是先建立体系的运动微分方程，而微分方程的建立要依据动力学模型。本节讨论单自由度体系的动力学模型。单自由度体系的动力分析简单而重要。其原因：一是很多实际的动力学模型常可以按单自由度体系进行计算（或进行初步的估算）；二是单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力分析的基础。42 自由振动：单自由度体系初始时（t=0）受外界干扰而起振，以后再无外界干扰而进行的振动。外界干扰可以是初位移y0，或初速度v0。一、运动方程（振动微分方程）1、 实例(简化)建筑结构作为单自由度体系进行研究的实例。m(W)p(t)y带质块的简支梁带质块的简支梁p(t)

17、y块式基础块式基础支承在弹性地基支承在弹性地基上的块式基础上的块式基础43p(t)y水塔p(t)门式刚架或排架 铰结或刚结 2、建立运动方程的刚度法（动静法） 根据力系平衡建立运动方程的方法称为刚度法。 依据：达朗倍尔原理。 下面讨论单自由度体系的自由振动。 44 考虑集中质量上力系的平衡，得到：( )( )0my tky t即( )( )0my tky t1kmky(t)( )my t ( )ky tyyy 若把集中质量取作隔离体，其上作用有惯性力 （与 方向相反）及弹性力 （与 方向相反）。( )ky t( )my t ()m yt ()kyt45 根据位移协调建立运动方程的方法称为柔度法

18、。 集中质量在任一时刻的位移 y(t) 可看作是惯性力 作用下产生的静位移 。 ( )my t( )( )0my tky t1k运动方程为：( )( )y tmy t3、建立运动方程的柔度法 y y y my(t)1-( )my t46二、方程解答( )( )0my tky t0kyym令2kmkm所以2( )( )0y ty t特征方程为022i和tietie是方程的两个特解。 常系数线性齐次方程47由欧拉公式得：可以证明 和 也是方程的两个特解。 costsintcossincossinititetitetit所以tCtCtycossin)(21若初位移和初速度分别为 ， ：00(0)(0

19、)yyvv则022001yCCy由10( )cossiny tCtyt48得到001110CC 动位移为00( )sincosy ttyt令00sincosvyaa则220000( )sin()()y tatvyaytgv分析(10-3)式可知：振动是由两部分组成的。(10- -3)(10- -4)振幅 初始相位角49(1) 单独由初始位移y0 (初始速度v0=0)引起的振动，质点按y0cos t的规律振动(图a)。2/t=0 2yTy0-y0tOtytycos)(0t= /2 3/2yTtOtvtysin)(00v0v(2) 单独由初始速度v0(初始位移y0=0)引起的振动，质点按(v0 /

20、 )sint 的规律振动(图b)。50若按（10-4）式，其振动图形如右图。 推导参数a、 与参数y0、v0之间的关系：tatatysincoscossin)(与式(10-3)比较，即得：cossin)0(0avay或(10-5a、b)00122020,vytgvyat+= /2 3/2yTta-aO( )() tatysin/展开式(10-4)的右边，有：51三、自振频率和自振周期1、自振频率km1stkggmmW单位（1/s）stWWst2T 通常，为表明单位时间内体系的振动次数，引入“频率”的概念。习惯上称为“工程频率”，记为f：1/k=m=W/gstW52自振频率(圆频率)的重要性质：

21、(1) 只与体系的质量和刚度有关，与外界激发振动的因素无关；(10-7)21Tf ：表示在2个单位时间内的振动次数，称为圆频率(角频率、固有频率、自振频率)。f：单位时间内的振动次数(1/s)，称为赫兹(Hz)。(10-8)fT2253上面给出了自振周期T计算公式的几种形式。 (2) 是结构体系所固有的属性-称为固有频率； (3) 刚度k越大(质量m越小)，越高，反之越低。 (4) 是设计结构的一个重要参数(根据的特性，可期望其达到某一数值，从而达到减振的目的)。2、自振周期22222stmWTmkgg自振周期：振动一次所需的时间(单位：秒)。54解释：沿质点振动方向的结构柔度系数，表示在质点

22、上沿振动方向施加单位荷载时质点沿振动方向所产生的静位移。st：st=W表示在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时，质点沿振动方向所产生的静位移。自振周期T的重要性质：(1) 自振周期与结构的质量和结构的刚度有关，而且只与这两者有关，与外界的干扰因素无关。干扰力的大小只能影响振幅 a 的大小，而不能影响结构自振55周期T的大小。 (2) 自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，则周期越大(频率f越小)；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，则周期越小(频率f越大)。要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。 (3) 自振周期T是结构动力性能的一个很重要的数量标志。两个外表相似的结构

23、，如果周期相差很大， 则动力性能相差很大； 反之，两个外表看来并56不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下其动力性能基本一致。地震中常发现这样的现象。所以自振周期的计算十分重要。自振频率和自振周期是结构的固有特性。 通过以上分析，由自振频率和自振周期的计算公式可得如下变化规律（前面性质的图示）：kTkTmTmT57四、单位制质量kg（千克）重力N （牛顿）长度m （米）时间s （秒） 在公式 和 中，若质量m的单位为kg，则刚度k的单位应取N/m，不能取N/cm。km2mTk221?N cmkg m smkgcm kgcm s58五、重力对运动方程的影响运动方程为：0mYkYW因为

24、( )( )stY ty t 所以 ( )stmyk y tW又stkkWW( )myky tWW( )0m yk y t( )( )Y ty t( )y t()Y tmw-mY-kY1kst59maxmax()styaW my maxmax()MW myl 可见，重力对动位移y (t ) 的运动方程无影响。质量围绕静力平衡位置进行振动。aaa alamaxymaxWmymst质量的最大位移为： 结构的最大弯矩为： 60六、结构刚度系数或柔度系数的求解1)3122kEIh324EIkh2)231 12 315177()2 2 2 3 163 32896768lllllllEIEIEI 1kEI

25、hk/2k/226EIh26EIh11hkmEI EIEI1mEI2l2l5 32l3 16l1EI2l2l2l613)231 12 51 3177()2383822448llllll lEIEIEI 31487EIklll1lllEIEI13/ 8l5/ 8lm624)3331 12121()2 2 2 3 22 23 2 3 415()24 1648lllllllEIlllEIEI 31485EIkll2l/2l1/4ll2l/2l1EIm63强迫振动：结构在动荷载FP(t)作用下的振动。10-3 单自由度体系的无阻尼强迫振动单自由度体系的振动模型(图a)受力分析：取质量m为隔离体分析(图

26、b)，弹性力-ky，惯性力-m，动荷载FP(t)。ky(t)m( )PF tm( )PF t-( )my t-( )ky tyyy(a)(b)64运动方程为：( )( )Pmyky tF t( )( )PkF tyy tmm令2km得到2( )( )PF tyy tm下面讨论几种常见的动荷载作用时结构的振动情况。65一、简谐荷载2( )sinFyy ttm( )sinPFtFt1、方程解答运动方程为：齐次方程 的通解为： 2( )0yy t12( )sincosy tCtCt 是简谐荷载的圆频率，F是荷载幅值。66*2sincossinyAtyAtyAt 设方程的特解为：22()FAm2222

27、21()1FFAmm22sinsinsinFAtAttm代入原方程得：得：67所以特解为：2221sin1Fytm令:2stFFyFmk yst 为动荷载幅值F产生的静位移。原方程一般解为：（齐次解+特解）12221( )sincossin1sty tCtCtyt*221sin1styyt特解为:Fsty682、待定常数设初始条件为： 。(0 )0 ,(0 )0y由 ，可得 C2= 0。(0)0y于是得到：1221( )sinsin1sty tCtyt1221( )coscos1sty tCtyt由 得：(0 )011222222222210111()s i ns i n111( s i ns

28、 i n)1s ts ts ts ts tCyCyytytytytt6911222222222210111()s i ns i n111( s i ns i n)1s ts ts ts ts tCyCyytytytytt 由上式可以知，振动分两部分：一部分按荷载频率振动，另一部分按自振频率振动。因实际过程中存在阻尼力，故按自振频率振动的部分会逐渐消失，最后余下按荷载频率振动的部分。所以方程的解为：70 在平稳阶段，任意时刻的动位移为：221( )sinsin1ststy tytyt3、平稳阶段 过渡阶段：振动开始时，体系以两种频率、进行振动的阶段。 平稳阶段：只按照荷载频率进行振动的阶段。 一

29、般过渡阶段延续的时间较短，因此在实际问题中平稳阶段的振动较为重要。71 上式中， 为动力系数，等于动位移振幅 y(t)max与动荷载幅值引起的静位移yst的比值。max22 ( )11sty tymax ( )sty ty若求得的0，则取绝对值即可：2211位移振幅721) ，即/ 1时221112432135 的绝对值随/的增大而变小，即y(t)max逐步变小。当远大于时， y(t)maxu0001( )sincos( )sin()tPy ttytFtdm若体系初位移和初速度分别为y0及v0，则：杜哈梅(J.M.C.Duhamel)积分的意义：计算初始处于静止状态的单自由度体系在任意动荷载F

30、P(t)作用下的动位移(位移公式)。78三、 一般动荷载t( )PF t0PF000( )0PPtF tFt运用杜哈梅积分(y0=0,v0=0)：1、突加荷载设体系原处于静止状态。在t=0时刻，突然加上荷载FP0，且FP0 一直作用在结构上。突加荷载的数学表达式为：FP (t)t曲线为阶梯形曲线，在t=0处，曲线有间断点。790000000221( )sin()1sin() () cos()(1cos)(1cos)tPtPtPPsty tFtdmFtdtmFFttmmyt 上式中表示在静荷载FP0作用下产生的静位移。 002PPstFFymk0PF80最大位移即振幅为：max ( )2sty

31、ty2最大位移产生的时刻：cos12/2mTtttT 所以stysty( )y tt032结论：突加荷载引起的最大位移是静位移2倍。812、短时突加荷载000( )00PPtF tFtutu ut( )PF t0PF荷载FP0在时刻t=0突然加上，在0tu时段内，荷载数值保持不变，在时刻t=u荷载又突然消失。短时荷载的数学表达式为：此时的动位移计算分为两个阶段。阶段(0tu)：此阶段荷载为突加荷载82000002011( )sin ()sin ()()cos ()cos () cos2sinsin ()22uuPPuPststFy tFtdtdtmmFtyt utmuuyt( )(1cos)s

32、ty tyt阶段II ：无荷载作用，体系为自由振动。()tu其动位移公式为：其动位移公式为：83以上公式也可以如此获得:由于此阶段以阶段终了时刻(t=u)的位移y(u)和速度v(u)作为起始位移和起始速度并作自由振动，因此也可利用书中式(10-3)求得2sin2)cos1 ()(2uyuyuystst2cos2sin2sin)(uuyuyuvstst将y(u)和v(u)代入式(17-3)，可得:84)2(sin2sin2 )(2sin2sin2 )(sin2cos)(cos2sin2sin2 )(sin2cos2sin2)(cos2sin2 )(sin)()(cos)()(2utuyutuuy

33、utuutuuyutuuyutuyutuvutuytyststststst下面讨论最大动位移y(t)max ，有两种情况。 1) 当uT/2，即荷载持续时间大于半个结构周期。最大位移产生在第一阶段：2 85max ( )222mstTty ty max ( )2sin(2sin)22sin2()2ststuuy tyyTuuTT 2) 当u0.50.0628 0.6181.01.6181.9022.02.0873、线性渐增荷载在一定时间内(0ttr)，荷载由0增至FP0，然后荷载值保持不变。)(tFP0PFOrtt线性渐增荷载的数学表达式为：时当时当rPrrPPttFttttFtF ,0,)(

34、0088其动力反应可利用“杜哈梅”公式求，结果如下：时当时当rrrstrrstttttttytttttyty ),(sinsin11),sin(1)(对于这种线性渐增荷载，其动力反应与升载时间tr的长短有很大关系。动力系数随升载时间比值tr/T而变化的情形，即动力系数的反应谱曲线(如下图)。890 . 12 . 14 . 16 . 18 . 10 . 2 00 . 10 . 20 . 30 . 4Ttrrt0PF可看出：动力系数介乎于1和2之间。若升载时间很短，如 tr4T则接近于1.0，相当于静荷载。设计时，一般以上图所示外包虚线作为设计依据。9073461122222312142(21)2

35、331820(4)3320134.51010101.4810/EIEIEImN 例10-3-1 图示体系，已知FP0=5kN， m=800kg，EI=4.5107kN.cm2，=35（1/s），g=9.8m/s2。在平稳阶段，求C截面的最大位移和B截面的最大弯矩。解：1) 求柔度系数CEIABEI4m2m0sinPFtC1C1AB12AB2m912) 求自振频率61129.06(1/ )800 1.48 10sm3) 求动力系数2222112.22351129.064) 求(MB)max及ymax3max0()() 2(2.22 5 800 9.8 10 ) 2(11.1 7.84) 237.

36、88.BPMFWkN m （上拉）max00363()()()18.94 101.48 1028.03 1028.03( )ststPPyyFWFWmmm 9210-4 阻尼对振动的影响前面讨论忽略了阻尼的影响，其结果大体上反映实际结构的振动规律，如：自振频率是结构的固有值；简谐荷载下可能出现共振等。但是，自由振动时振幅永不衰减，共振时振幅趋于无穷等结论，与实际振动情况不尽相符。为进一步了解结构的振动规律，本节研究阻尼力对结构振动的影响。本节讨论两个问题：(1) 有阻尼的自由振动；(2) 有阻尼的强迫振动。931、产生阻尼的原因 （1）材料的内摩擦； （2）周围介质的阻尼力，如水和其他液体产生

37、的阻尼力； （3）结构的结点及支座处的摩擦力等，因为在结点及支座处并非理想联结及理想约束； （4）地基土的内摩擦及塑性变形。一、 概述942、阻尼力的特点 对质点运动起阻碍作用，阻尼力总是与质点的速度方向相反。 数值上阻尼力与质点速度有如下关系： (1) 阻尼力与质点速度成正比，这种阻尼力比较常用，称作“粘滞阻尼力”。 (2) 阻尼力与质点速度的平方成正比，固体在流体中运动受到的阻力属于这一类。 (3) 阻尼力的大小与质点速度无关，摩擦力属于此类。95 工程中常采用所谓粘滞阻尼，即阻尼力的大小与速度成正比，但方向相反。(其它类型的阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力)RFcy 式中c 为阻尼系数二、有

38、阻尼自由振动0my cy ky0ckyyymm运动方程：令222kccmmmky(t)mm-()myt-( )ky t-( )cy ty y y 96方程为220yyy阻尼比特征方程为222022221 224412 ，两个特解为22(1)(1)ttee 1、当 (低阻尼情况)时1（1）微分方程的解97221 211rrii ，1 i特解为()()rrititee()(cossin)rittrreetit()(cossin)rittrreetit 所以 也是方程的两个特解。cossinttrretet和12( )(cossin)trry teCtCt初始条件为：00(0)(0)yyvv动位移为

39、：98由0(0)yy10Cy因为：0202( )(sincos)()(cossin)trrrrtrry teytCteytCt 由0(0)vv020rvCy002ryvC所以：000( )(cossin)sin()trrrtryvy teytteat式中22000r0r00()tgyvyayyv振幅 自振圆频率相位角99 （2） yt曲线 曲线特点：是一条振幅逐渐衰减的波动曲线。可以看出，在低阻尼体系中阻尼对自振频率和振幅的影响。 （3）阻尼的影响tT0ktky1kytaey 对自振频率的影响： r 称为有阻尼体系的自振频率。 r恒小于无阻尼的自振圆频率，在 1 (过阻尼)时（1）微分方程的解

40、当1时，特征根是两个负实数，此时微分方程的解为： )1ch1sh(2221tCtCeyt（2）对振动的影响分析 因式中不含有简谐振动的因子，所以由于很大阻尼的作用，受干扰后偏离平衡位置的体系不会产生振动。 其原因是所积蓄的初始能量在恢复平衡位108位置的过程中全部消耗于克服阻尼，不足以引起体系的振动。 4、综合分析 综合以上分析可知：当1时，体系处于过阻尼的无振动状态(非周期运动状态，实际情况中很少遇到)；当=1时，体系处于临界阻尼状态。109 例10-4-1 图示门架为一单层建筑的计算简图。设横梁EI=，屋盖系统和横梁重量以及柱子的部分重量可认为集中在横梁处，设总重为W。为了确定水平振动时门

41、架的动力特性，进行以下振动试验：在横梁处加一水平力FP=98kN，门架发生侧移y0=0.5cm；然后突然释放，使结构作自由振动。此时测得周期T测=1.50s，并测得一个周期后横梁摆回的侧移为y1=0.4cm。计算门架的阻尼系数及振动5周后的振幅。110yFPm=W/g222)5 . 12()2(TmkmMNyFkP/6 .19005. 0980而解：因阻尼对周期影响很小，可取T=T测=1.50s，故有因此有tMkgkm112012. 16 .19057. 0)25 . 1(20355.04 .05 .0ln21ln2110yy阻尼比：111阻尼常数：sMkgmccr/33. 05 . 1212

42、. 120355. 0 2cmyyyyeyyeyyTT164.05.0)5.04.0()(50501501505测测，引深：对此题求振幅衰减到y0的5%(即0.025cm)以下所需的时间(以整周期计)。计算振动5周后的振幅y5：因为：所以有：cmyyyyeyyeyyTT164.05.0)5.04.0()(50501501505测测，112对于相隔n个周期的振幅，阻尼比可写为：nyyn0ln211443.13996. 20355. 021 025. 05 . 0ln21ln210nyyn所以有： 即经过14个周期后，振幅可衰减到初始位移的5%以下。113三、有阻尼强迫振动 由前述有阻尼自由振动的

43、解答可知，若y(0)=0,v(0)=v0，则：0( )sintrrvy tet若体系在t=0时受冲量S作用，则动位移为：1、有阻尼体系的杜哈梅积分( )PF ttutdPSF d0( )sin()trrSSy tetvmm114 若体系在 时刻受微冲量dS=Fp()d 作用，则动位移增量为： 所以对于受任意动荷载的有阻尼单自由度体系有：()0( )( )sin()()ttPrrFdy tetdtum()( )( )sin()tPrrFddy tetm杜哈梅积分的意义：在有阻尼情况下，计算初始处于静止状态的单自由度体系在任意动荷载FP(t)作用下的动位移。115若体系有初位移y0及初速度v0，则

44、000()0( )(cossin)( )sin()trrrttPrryvy teyttFdetdm1、突加荷载FP0突加荷载：设体系原处于静止状态。在t=0时，突然加上荷载，且FP0一直作用在结构上。0PFOt)(tFP下面利用上式讨论几种动荷载的动力反应。1160t0, 0)(0当当tFtFPP)sin(cos1 )sin(cos1 )(20tteyttemFtyrrrtstrrrtP 动力位移图：利用上式可得突加荷载的动位移图，可与无阻尼体系的动位移图相对应。突加荷载的数学表达式为：即可得出当t 0时，突加荷载下的动位移：117sty)(ty0234t 56由图看出，具有阻尼的体系在突加荷

45、载作用下，最初引起的最大位移可能接近静力位移yst的两倍，然后经过衰减振动，最后停留在静力平衡位置。)(tysty0234t 有阻尼时动位移图无阻尼时动位移图118sinmy cy kyFtsinckFtyyymmm222kccmmm方程为：22sinFyyytm（1）运动方程及解答( )sinPFtFt2、简谐荷载令m-()myt-( )ky t-( )cy t( )PF tky(t)m( )PF ty y y 119齐次方程220yyy_12( )(cossin)trry teCtCt解答为：非齐次方程的特解设为：*22( )sincos( )cossin( )sincosytAtBtyt

46、AtBtytAtBt 代入原方程得：222sincos2(cossin)(sincos)sinAtBtAtBtFAtBttm1202222sin(2)sin(2)cosFtABAtBABtm 比较等式两边可得：2222202BABFABAm22222()0()2ABFABm解关于A、B的线性方程组，得到：222222()4()FAm22222()4()FBm方程通解为：_*12( )( )( )(cossin)sincostrry ty tyteCtCtAtBt121其中两个常数C1和C2由初始条件确定。 分析：上式右边分为两部分，表明体系的振动由两个具有不同频率(r和)的振动所组成。 第一部

47、分：由于阻尼作用，含有振动衰减因子e-t，此项振动逐渐衰减而最后消失。 第二部分：频率为，由于受到周期荷载的影响而不衰减，称为平稳振动。 平稳振动是讨论的重点。下面对其进行讨论：122( )sincosy tAtBt令cossinPPAyBy 则( )sin ()Py tyt（2）讨论平稳阶段的振动2222221/22222222222(1)41(1)4PstPststFyABmyyFyFym式中2222221BtgA 任一时刻的动位移关于这见书P457123 式表明：动力系数不仅与频率比值/有关，而且与阻尼比有关。对于不同的值，可画出相应的与/之间的曲线。1.02.04.03.02.01.0

48、3.05.01.00.50.30.20.10曲线（3）讨论 当 ,随着 的增大， 越来越小。相应的曲线渐趋平缓。 01124 当/ =1,称为共振，可得动力放大系数 若忽略阻尼的影响，令0，则得出无阻尼体系共振时动力系数趋于无穷大的结论。 211 若考虑阻尼的影响，则不为0，因而得出共振时动力系数总是一个有限值的结论。所以研究结构共振时的动力反应，阻尼的影响是不容忽略的。125代入 表达式，有max2121令/ ( /)0dd 2/12 在阻尼体系中，共振时的动力系数并不等于最大的动力系数max，但二者的数值比较接近。求对参数(/)的导数，并令其为零，可求出max为峰值时相应的频率比(/)。即

49、：对于实际结构 ，有 可得：2/102121max126max12通常 远小于1，则有1max 由表达式y(t)=yPsin(t-)，可见有阻尼体系的位移比荷载滞后一个相位角。 根据tg 的表达式可进一步讨论如下：当/0， tg 0,则 0。 此时，体系振动很慢，惯性力和阻尼力很小，动荷载主要与弹性力平衡。位移y(t)与荷载FP(t)同步。127 位移y(t)比荷载FP(t)滞后相位角/2。在荷载达到最大值，即t= /2时，y(t)和 接近于0，所以惯性力与弹性力近似等于零，动荷载主要与阻尼力平衡。( )y t 位移y(t)与荷载FP(t)反向。此时，体系振动很快，惯性力很大，而弹性力和阻尼力

50、较小，动荷载主要与惯性力平衡。当/1， tg ， 则 /2。当/，则 。12810-5 多自由度体系的自由振动 结构中很多问题不能简化成单自由度体系计算，必须按多自由度体系处理。如“多层房屋的侧向振动”和“不等高排架的振动”等问题。求解方法：刚度法和柔度法。刚度法：通过建立力的平衡方程求解；柔度法：通过建立位移协调方程求解。阻尼对自振频率的影响很小，此时有类似情况。129一、刚度法1、运动方程 根据力系平衡建立运动方程的方法称为刚度法。 两个自由度体系：根据质量m1、m2隔离体的平衡可得：111222( )0( )0m y trm ytry2(t)m2m2m1m11( )y t1-r2-r1

51、1( )my t 2 2()my t y y y 达朗贝尔原理13011111222211222( )( )( )( )rk y tk y trk y tk y t恢复力按下式计算：11k21k11k22k121k21k111k22k12 下面讨论如何确定弹性力（恢复力）r1及 。2r1r2r及 与位移y1(t)及y2(t)均有关，如下图所示。1r2rr1、r2是质量m1、m2与结构之间的相互作用力。131运动方程为：1111112222211222( )( )( )0( )( )( )0m y tk y tk ytm ytk y tkyt写成矩阵形式：111111222122220000yy

52、mkkmkkyy 0MyKy 式中的kij是结构的刚度系数。 kij的物理意义：kij是使j点产生单位位移(点i位移保持为零)时在点i需要施加的力。132解：令结构质量m1产生单位水平位移，而质量m2不动。为此，需要在质量m1和m2上分别加水平力k11和k21。例10-5-1 求结构的动力刚度矩阵K。 同理，当m1不动而m2产生单位水平位移时，需要在质量m1和m2上分别加水平力k12和k22。见下页图示。如此，上述四个水平力就组成了刚度矩阵K。m1m2i1i1i2i2h2h1EI EI 133用剪力分配法求上述四个刚度系数。m2k21222-12ih222-12ihm2k2222212ih22

53、212ih2212224ikh 2222224ikhm1m211k22k12m1m2i1i211k21k11i1i2i1i2i1i2134m1k1122212ih22212ih12112ih12112ihk12m122212ih22212ih001221112222122242424iiikkhhh 刚度矩阵K 为：1222221222222222424242424iiihhhKiihh1351122( )sin()( )sin()y tYtytYt2、求频率1和2通解为任意两组特解的线性组合，在满足微分方程的前提下，可任意设特解(非零解)。与单自由度体系分析时相同，设两个质点为简谐振动，微分

54、方程的解可设为如下形式： 式中，Y1和Y2 是位移幅值，只与1、2点位置有关，Y1、Y2、为待定。136 由上式可以看出，在振动过程中，两个质量具有相同的频率及初相角。在任意时刻两个质量位移的比值保持不变，即1122( )( )y tYy tY 这种结构的振动位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型。质量加速度为：211222( )sin()( )sin()y tYty tYt 13721 111 112222221 1222sin()sin()sin()0sin()sin()sin()0mYtk Ytk Ytm Ytk Ytk Yt于是就得到关于Y1、Y2的线性齐次方程组。将y(t)及 的

55、表达式代入运动方程，得到：( )y t21 111 112222221 122200mYk Yk Ym Yk Yk Y21111122221 12222()0()0kmYk Yk YkmY为使Y1、Y2取得非零解,必有系数行列式的值等于零。211112221222()0()kmkkkm频率方程特征方程Y1=Y2=0，虽为方程的解，但是相应于静止状态。138展开：221112221221()()0kmkmk k22411221122211212210k kkmkmm mk k2 22112211 2212211212()()0kkk kk kmmmm上式两边同乘 得：121m m22112211

56、22112212211121212221122112211221221212121211()()2211()()22kkkkk kk kmmmmm mkkkkk kk kmmmmm m解上列关于的一元二次方程得:13922221111111211112222111211122()221()kkkkkkmmmmkkm 若m1=m2=m，k11=k22，则得到：可证明1和2都是正的。可知，具有两个自由度的体系有两个自振频率。 1称为第一圆频率或基本圆频率， 2称为第二圆频率， 且，12。14011122211111YkYkm 在Y11和Y21中，第一下标与质量m的下标相同，第二下标为振型数。第一主

57、振型（基本振型）3、主振型 (两个方程是线性相关) 在方程 中，令 =1，同时把Y1和Y2分别记作Y11和Y21，则得到：21111122()0kmYk Y21111111221()0kmYk YY21m2m1Y11于是14112122221112YkYkm 同样令=2，同时把Y1和Y2分别记作Y12和Y22，方程变为 ，得到：21112121222()0kmYk Y第二主振型 下面是三个自由度体系(弯曲型和剪切型结构)的主振型动画。Y22m2m1Y12 Y11、Y21分别表示第一振型中质点1、2的振幅。 Y12、Y22分别表示第二振型中质点1、2的振幅。142第一主振型 （弯曲型）143第二

58、主振型 （弯曲型）144第三主振型 （弯曲型）145第一主振型 （剪切型）146第二主振型 （剪切型）147第三主振型 （剪切型）148 多自由度体系按某个主振型作自由振动时，任一时刻质量m1和m2的位移y1(t)和y2(t)的比值不变。此时，体系如同单自由度体系那样振动，因为只需一个独立的几何参数就可以确定全部质量在平面中的位置。 一般情况下，两自由度体系的振动是包含两种频率和两种主振型的组合振动。即方程的全解为：11 11112 122221 211122222( )sin()sin()( )sin()sin()y tAYtAYty tAYtAYt149小 结 （1）对于多自由度体系，主要

59、是确定体系的全部自振频率及相应的主振型。多自由度体系的自振频率和主振型的数目等于体系的动力自由度数。 （2）主振型就是多自由度体系如同单自由度体系那样振动时所具有的特定的振动型式。 （3）自振频率和主振型是多自由度体系的固有特性，只与结构型式、各杆刚度及质量分布有关。 （4）多自由度体系能按某主振型自由振动的条件是：初始位移和初始速度应当与此主振型相对应。150例10-5-2 图所示两层刚架，其横梁为无限刚性。设质量集中在楼层上，第一、二层的质量分别为m1、m2。层间侧移刚度分别为k1、k2。试求刚架水平振动时的自振频率和主振型。 k1k2m1m2(a)k11=k1+k2k21=-k21(b)

60、k22=k21k12=-k2解：由图a、b求结构的刚度系数222212212111kkkkkkkk151将刚度系数代入特征方程得：0)(222221221kmkmkk(a)分两种情况讨论：(1) 当m1=m2=m，k1=k2=k时，式(a) 变为： 0)(2(222kmkmk由此,可求得两个自振频率1和2mk61803. 01mkmk38197. 025321mk61803. 12mkmk61803. 225322152618. 1138197. 022111kkkYY第一主振型：618. 0161803. 222212kkkYY第二主振型：(a)Y11=1Y21=1.618第一主振型(b)Y