第六章结构的变形

1、第六章第六章 结构的变形结构的变形AAAAAxAyPAxAyAAAPAxAyt 第六章第六章 结构的变形结构的变形 (1) 刚度要求刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；跨度；高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。 最大层间位移最大层间位移 1/800 层高。层高。(2) 超静定、动力和稳定计算超静定、动力和稳定计算(3）施工要求）施工要求第六章第六章 结构的变形结构的变形（3）理想联结）理想联结 (Ideal Constraint)。（principle of superposition)(1) 线弹性线弹性 (Linear

2、 Elastic),(2) 小变形小变形 (Small Deformation),第六章第六章 结构的变形结构的变形6.1.1 6.1.1 轴向变形与轴力的关系轴向变形与轴力的关系轴向拉（压）杆的变形轴向拉（压）杆的变形 纵向拉长：纵向拉长： L=L1-L, 纵向线应变纵向线应变 ： = L/L横向缩小：横向缩小： d=d1-d, 横向线应变横向线应变 ： = d/d拉杆拉杆 为正，为正， 为负；为负；压杆压杆 为负，为负， 为正。为正。虎克定律虎克定律 当杆的应力未超过某一极限时，纵向变形当杆的应力未超过某一极限时，纵向变形 L与轴力与轴力N、杆长杆长L及横截面面积及横截面面积A之间存在如下

3、比例关系：之间存在如下比例关系： L= NL/ EA E：数值随材料而异，通过试验测定。数值随材料而异，通过试验测定。 杆件抗拉（压）刚度：杆件抗拉（压）刚度： EA 将将 = L/L， =N/A代入，则：代入，则： =E 虎克定律：虎克定律：杆件应力不超过某一限值（材料的比例极杆件应力不超过某一限值（材料的比例极限限 p ）时，应力与应变成正比。）时，应力与应变成正比。 6.1.1 6.1.1 轴向变形与轴力的关系轴向变形与轴力的关系v弯曲变形的概念弯曲变形的概念v梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程v用叠加法计算梁的变形用叠加法计算梁的变形v梁的刚度校核梁的刚度校核v用积分法计算梁

4、的变形用积分法计算梁的变形v提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的措施6.2.16.2.1弯曲变形的概念弯曲变形的概念OB6.2.16.2.1弯曲变形的概念弯曲变形的概念）（xfy OB6.2.16.2.1弯曲变形的概念弯曲变形的概念OB6.2.16.2.1弯曲变形的概念弯曲变形的概念挠曲线的斜率：挠曲线的斜率：tgdxdydxdytg)()(xfdxdyxOB6.2.2 6.2.2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程纯弯梁的曲率方程纯弯梁的曲率方程 1/ =M/EI 横向弯曲时横向弯曲时, 各截面曲率随各截面曲率随M(x)而变而变, 忽略剪力忽略剪力V的影响后的影响后 1/ (x)=

5、M(x)/EI 由高等数学可知由高等数学可知: 在小变形在小变形dy/dx1, 可忽略可忽略,上式简化为上式简化为 222 3/2d1dd( )1 () dyxyxx 221d( )dyxx 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 正负号取决于坐标系的正负号取决于坐标系的 选择和弯矩正负号规定选择和弯矩正负号规定: 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程:22d( )dyM xxEI 6.2.2 6.2.2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程ZEIxMxfxdyd)()(22 6.2.3 6.2.3 用积分法计算梁的变形用积分法计算梁的变形 1CdxxMxfEIxEIZZ 21CxCdx

6、dxxMxyEIZZEIxMxfxdyd)()(22 6.2.36.2.3用积分法计算梁的变形用积分法计算梁的变形 积分法的应用积分法的应用例例1: 求图示悬臂梁的求图示悬臂梁的 (x)和和y(x),并求挠度并求挠度fB.1.列弯矩方程列弯矩方程: M(x)=-P(l-x)2.挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 EIy=-M(x)=P(l-x) 积分一次得积分一次得: EIy =EI =Plx-Px2/2+C 再积分一次再积分一次: EIy=Plx2/2-Px3/6+Cx+D3.确定积分常数确定积分常数 边界条件边界条件: x=0, =y =0 C=0 x=0, y=0 D=04.列转角和挠

7、度方程列转角和挠度方程 = (Plx-Px2/2)/EI y=(Plx2/2-Px3/6)EI5.求最大挠度求最大挠度fB: 将将x=l代入代入: fB=Pl3/3EI (挠度向下挠度向下 )6.2.36.2.3用积分法计算梁的变形用积分法计算梁的变形qABLxmaxAmaxBmaxy22121)(qxqlxxMqlxqxxMxyEIZ2121)()(2 1234161)(CqlxqxxEIZ2134121241)(CxCqlxqxxyEIZ挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程000ylxyx，；，)46(241)(323qxqlxqlEIxZ)2(24)(323xlxlEIqxxyZmax0

8、，lxxZEIql243maxmax2ylx，ZEIqly38454max240312qlCCqABLxmaxAmaxBmaxy6.2.4 6.2.4 用叠加法计算梁的变形用叠加法计算梁的变形用叠加法计算梁的变形用叠加法计算梁的变形 叠加法：几个荷载共同作用下引起梁的的变形叠加法：几个荷载共同作用下引起梁的的变形,等于各个荷载单独作用下引起的梁变形的叠加等于各个荷载单独作用下引起的梁变形的叠加。 分解载荷；分别计算各载荷单独作用时梁的变形；叠加得最后结果。梁在简单载荷作用下的变形梁在简单载荷作用下的变形)3(62xlEIFxyEIFlyEIFlBB3232axxaEIFxy0 )3(62lxa

9、axEIFay )3(62)3(6222alEIFayEIFaBB)64(24222llxxEIqxyEIqlyEIqlBB8643EIMxy22EIMlyEIMlBB22axEIMxy0 22lxaaxEIMay )2()2(alEIMayEIMaBB20)43(4822lxxlEIFxyEIFlyEIFlCBA481632梁在简单载荷作用下的变形梁在简单载荷作用下的变形lxaxblxaxblEIlFbyaxbxlEIlFbxy)()(60)(63223222EIblFbylxEIlblFbyblxbaEIlalFabEIlblFablBA48)43( 2/,39)(36)( 6)(225

10、. 02322max22处处在在处处，在在设设)2(24323xlxlEIqxyEIqlylxEIqlBA3845 2244max3梁在简单载荷作用下的变形梁在简单载荷作用下的变形)(622xlEIlMxyEIMlylxEIMlylxEIMlEIMllBA162/3933625 . 02max，)2)(6xlxlEIlMxyEIMlylxEIMlylxEIMlEIMllBA162/39)311 (6325 . 02max，lxaxblaxlxEIlMyaxbxlEIlMxy )3()(360)3(62223222)3(6)3(62222alEIlMblEIlMBA梁在简单载荷作用下的变形梁在简

11、单载荷作用下的变形 例例4：悬臂梁悬臂梁AB上作用有均布载荷上作用有均布载荷q，自由端作用有集中，自由端作用有集中力力F = ql，梁的跨度为，梁的跨度为l，抗弯刚度为，抗弯刚度为EI，如图所示。试求截面，如图所示。试求截面B的挠度和转角。的挠度和转角。 解：解：1）分解载荷）分解载荷EIqlEIqlyBqBq6834 梁上载荷可分解成均布载荷梁上载荷可分解成均布载荷q与集中力与集中力F的叠加。的叠加。2）查表可得这两钟情况下）查表可得这两钟情况下 截面截面B的挠度和转角：的挠度和转角：+6.2.4 6.2.4 用叠加法计算梁的变形用叠加法计算梁的变形EIqlEIFlEIqlEIFlyBFBF

12、223332433）叠加叠加得截面得截面B的挠度和转角的挠度和转角EIqlEIqlEIqlyyyBFBqB241138444（ ）EIqlEIqlEIqlBFBqB3226333（顺时针顺时针）+6.2.5 6.2.5 梁的刚度校核梁的刚度校核一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件 梁的刚度条件梁的刚度条件maxfymax 挠度的许用值挠度的许用值 f f 一般为梁的跨度一般为梁的跨度L L 的的1/2001/2001/10001/1000。 设梁的最大挠度和最大转角分别为设梁的最大挠度和最大转角分别为ymax和和 max， f 和和 分别为分别为挠度和转角的挠度和转角的许用值，则许用值，则 例例5

13、: 如图所示简支梁，选用如图所示简支梁，选用32a工字钢，跨工字钢，跨中作用有集中力中作用有集中力F = 20kN，跨度为，跨度为 l =8.86m，弹性，弹性模量模量 E = 210GPa，梁的许用挠度，梁的许用挠度 。试。试校核梁的刚度。校核梁的刚度。 500/lf 解：解：查型钢表可得查型钢表可得32a工工字钢的惯性矩为：字钢的惯性矩为：4cm11100zIm1011100102104886.810204889333EIFly查表可得梁的跨中挠度为查表可得梁的跨中挠度为m1024. 12m1077. 1500/2lf故该梁故该梁满足满足刚度条件刚度条件6.2.5 梁的刚度校核梁的刚度校核

14、提高梁的刚度措施提高梁的刚度措施 提高梁的抗弯刚度提高梁的抗弯刚度 减少梁的跨度或增加支座减少梁的跨度或增加支座 改善加载方式改善加载方式 梁的弯曲变形与梁的抗弯刚度梁的弯曲变形与梁的抗弯刚度EI、梁的跨度、梁的跨度l以及梁的载荷等因以及梁的载荷等因素有关，要降低梁的弯曲变形，以素有关，要降低梁的弯曲变形，以提高梁的刚度，可以从以下几方面提高梁的刚度，可以从以下几方面考虑：考虑： 1）提高梁的抗弯刚度提高梁的抗弯刚度EI 梁的挠度与抗弯刚度梁的挠度与抗弯刚度EI成反比，因此提高梁的抗弯刚成反比，因此提高梁的抗弯刚度度EI，可以降低梁的变形。，可以降低梁的变形。 EIqlEIqlyBqBq683

15、4 注意注意: :由于各种钢材的弹性模量较为接近，使用高强度的由于各种钢材的弹性模量较为接近，使用高强度的合金钢合金钢代替代替普通低碳钢普通低碳钢，并并不能不能明显提高其刚度。要提高梁明显提高其刚度。要提高梁的抗弯刚度，应在面积不变的情况下的抗弯刚度，应在面积不变的情况下增大截面的惯性矩增大截面的惯性矩，例，例如使用工字形、圆环形截面，可提高单位面积的惯性矩。如使用工字形、圆环形截面，可提高单位面积的惯性矩。2）减小梁的跨度减小梁的跨度 因梁的挠度与梁的跨度的数次方成正比，所以因梁的挠度与梁的跨度的数次方成正比，所以减小梁的跨度减小梁的跨度，将使，将使梁的挠度梁的挠度大为减小大为减小。 增加中

16、间支座增加中间支座 EIqlfa38454=abff381 两端支座内移两端支座内移 将简支梁的支座向中间移动而变成外伸梁，在梁外将简支梁的支座向中间移动而变成外伸梁，在梁外伸部分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的挠度（图伸部分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的挠度（图c c），），从而使梁中段在荷载作用下产生的向下的挠度被抵消一从而使梁中段在荷载作用下产生的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁跨中的最大挠度值。部分，减小了梁跨中的最大挠度值。2）减小梁的跨度减小梁的跨度 3）改善梁的载荷作用方式改善梁的载荷作用方式 合理调整载荷的位置合理调整载荷的位置及分布方式，可以降低弯及分布方式，可以降低弯矩，

17、从而减小梁的变形。矩，从而减小梁的变形。如图所示作用在跨中的集如图所示作用在跨中的集中力，如果分成一半对称中力，如果分成一半对称作用在梁的两侧（见右作用在梁的两侧（见右图图 ），甚至化为均布载），甚至化为均布载荷，则梁的变形将会减小。荷，则梁的变形将会减小。 3.3.1单位荷载法的基本公式单位荷载法的基本公式kiP1P求求k点竖向位移点竖向位移dxEIMMP1欲求的某一截面的变形。1MMP实际荷载引起的内力，是产生位移的原因；虚设单位荷载引起的内力是 。例例: 1)求求A点水平位移点水平位移 所加单位广义力与所求广义位移相对应所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位该单位广义力在所求广义位移

18、上做功广义力在所求广义位移上做功.单位力状态的确定单位力状态的确定PAB2)求求A截面转角截面转角3)求求AB两点相对水平位移两点相对水平位移4)求求AB两截面相对转角两截面相对转角1P1P1P1P3.3.1单位荷载法的基本公式单位荷载法的基本公式BA?AB(b)试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。A?A(a) m=1P=1P=11.梁与刚架梁与刚架3.3.1单位荷载法的基本公式单位荷载法的基本公式dsEIMMiPip 2.桁架桁架dsEANNiPip EAlNNiP3.拱拱dsEANNEIMMiPiPip例例1.1.求图示悬臂梁求图示悬臂梁B B端的竖向位

19、移端的竖向位移BVBV。EIEI为常数。为常数。解:(1) 取图(b)所示虚力状态。 (2) 实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以下侧受拉为正B为原点)MP=qx2/2 (0 xl) =x (0 xl) (3) 将MP及 代入位移公式，得1M1M 在杆件数量多的情况下在杆件数量多的情况下,不方便。下面介绍不方便。下面介绍计算位移的图乘法计算位移的图乘法. EIsMMPiPd 刚架与梁的位移单位荷载法的计算公式为：刚架与梁的位移单位荷载法的计算公式为：一、图乘法一、图乘法图乘法求位移公式为图乘法求位移公式为: EIycip 图乘法的图乘法的适用条件是适用条件是什么什么?1、杆件的轴线为直线。

20、、杆件的轴线为直线。2、在积分区间内、在积分区间内MP、 图图中至少有一个是直线。中至少有一个是直线。3、EI在积分区间内是常数。在积分区间内是常数。1M EIsMMPiPd例例. 试求图示梁试求图示梁B端转角端转角.解解:EIycBABP2/ l2/ lEIBAB1M4/Pl1MP)(1612142112EIPlPllEIM例例. 试求图示结构试求图示结构B点竖向位移点竖向位移.解解:EIycByPlMPMi)(34)3221(13EIPlllPlllPlEI1lPEIBEIll二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法C2nl2)1(nln1nhl

21、 h二次抛物线二次抛物线M图图21EIqlqllEIB3224121)8132(1（ ）PM图图281qlBAq1例例:求图示梁求图示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转角B解解:三、图形分解三、图形分解B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020MPMiABmkN 20ABmkN 4040203/23/1)(3500)3120102132401021(1EIEIB三、图形分解三、图形分解B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020MPMi3/22/1)(3500)21201032201021(1EIEIB)(3500)322020(110211EIEIB

22、当两个图形均当两个图形均为直线图形时为直线图形时,取那取那个图形的面积均可个图形的面积均可.)(16)431212214212243221221(12EIPlPllPlllPllEIB4/PlMP三、图形分解三、图形分解B求求1Mi)(16)21421(12EIPlPllEIB 取取 yc的图形必的图形必须是直线须是直线,不能是曲不能是曲线或折线线或折线.AB2/ lEI2/ lP2/1能用能用 Mi图面积乘图面积乘MP图竖标吗图竖标吗?三、图形分解三、图形分解B求求1MPMi)(24)1322EIqlqllqllEIBAB4/2qllEIq42ql8/2qlq8/2

23、ql三、图乘法小结三、图乘法小结1. 图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，）等截面直杆，EI为常数；为常数；（2）两个）两个M图中应有一个是直线；图中应有一个是直线；（3） 应取自直线图中。应取自直线图中。cy2. 若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧， 取正值；取正值；反之，取负值。反之，取负值。cycy3. 如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形. 例例 1. 已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。CD 三、应用举例三、应用举例AlqBhq8/2qlh11hMPiM)(12832132EIqhlhlqlEIE

24、IycCD 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图6.4.1 力法的基本原理和超静定次数 6.4.2力法的基本方程6.4.1 力法的基本概念和超静定次数力法的基本概念和超静定次数超静定结构的组成超静定结构的组成力法的基本原理力法的基本原理超静定次数的确定方法超静定次数的确定方法力法的基本概念和超静定次数力法的基本概念和超静定次数力法的基本原理和超静定次数力法的基本原理和超静定次数超静定结构的组成超静定结构的组成静定结构静定结构(statically determinate structure)：从几何组成性质看，为无多余约束的几何不变体系；从力学性质看，从几何组成性质

25、看，为无多余约束的几何不变体系；从力学性质看，其内力和支座反力均可由静力平衡条件唯一确定。其内力和支座反力均可由静力平衡条件唯一确定。超静定结构超静定结构(statically indeterminate structure)：从几何组成性质看，为有多余约束的几何不变体系；从力学性质看，从几何组成性质看，为有多余约束的几何不变体系；从力学性质看，其内力和支座反力不可能完全由静力平衡条件唯一确定。其内力和支座反力不可能完全由静力平衡条件唯一确定。所以，内力和支座反力完全由静力平衡条件唯一确定的结构称为静定所以，内力和支座反力完全由静力平衡条件唯一确定的结构称为静定结构，而不能完全由静力平衡条件唯

26、一确定的结构称为超静定结构。结构，而不能完全由静力平衡条件唯一确定的结构称为超静定结构。力法的基本概念力法的基本概念1RBXF力状态等价力状态等价位移状态？位移状态？01By 位移位移等价等价条件条件基本结构基本结构(primary structure)原结构原结构(original structure)X1被称为原结构的被称为原结构的多余未知力多余未知力， 对应的约束被称为对应的约束被称为多余多余约束约束，当多余未知力通过补充的，当多余未知力通过补充的位移条件位移条件被确定后，超静被确定后，超静定结构的支座反力和内力就可完全确定，其方法即定结构的支座反力和内力就可完全确定，其方法即力法力法。

27、01111P111111X111P10X0P1111 X力法的基本概念和超静定次数力法的基本概念和超静定次数超静定次数的确定方法超静定次数的确定方法确定超静定次数的方法：确定超静定次数的方法：从原结构从原结构(超静定结构超静定结构)中去掉多余约束，代之以多余未中去掉多余约束，代之以多余未知力知力Xi，直到原结构变成为静定结构，直到原结构变成为静定结构(基本结构基本结构), 这时，这时，基本结构中所作用的多余未知力个数即为超静定结构的基本结构中所作用的多余未知力个数即为超静定结构的超静定次数。超静定次数。力法的基本概念和超静定次数力法的基本概念和超静定次数注意注意 :(1) 关键是要去掉所有的多

28、余约束，不能去掉太多也不能去掉太少关键是要去掉所有的多余约束，不能去掉太多也不能去掉太少;(2) 在去掉多余约束时要与相应静定结构比较，以确定是否去掉了所在去掉多余约束时要与相应静定结构比较，以确定是否去掉了所有多余约束？有多余约束？(3) 去掉约束数的计算：去掉约束数的计算： 去掉或切断一根链杆相当于拆掉一个约束；去掉或切断一根链杆相当于拆掉一个约束； 拆开一单铰相当于拆掉二个约束；拆开一单铰相当于拆掉二个约束； 切断一梁式杆相当于拆掉三约束；切断一梁式杆相当于拆掉三约束； 使一根梁式杆变为单铰连接，相当于拆掉一个约束；使一根梁式杆变为单铰连接，相当于拆掉一个约束； 去掉一根支座链杆相当于拆

29、掉一个约束，去掉一个固定支座相去掉一根支座链杆相当于拆掉一个约束，去掉一个固定支座相当于拆掉三个约束，使一个固定支座变成为铰支座相当于拆掉一当于拆掉三个约束，使一个固定支座变成为铰支座相当于拆掉一个约束。个约束。力法的基本概念和超静定次数力法的基本概念和超静定次数例：超静定次数的确定和基本结构的选取例：超静定次数的确定和基本结构的选取从原结构从原结构(超静定结构超静定结构)中去掉多余约束，代之以多余未知力中去掉多余约束，代之以多余未知力Xi，直到原，直到原结构变成为静定结构结构变成为静定结构(基本结构基本结构), 基体结构中所作用的多余未知力个数。基体结构中所作用的多余未知力个数。一次超静定一

30、次超静定二次超静定二次超静定三次超静定三次超静定力法的基本概念和超静定次数力法的基本概念和超静定次数从原结构从原结构(超静定结构超静定结构)中去掉多余约束，代之以多余未知力中去掉多余约束，代之以多余未知力Xi，直到，直到原结构变成为静定结构原结构变成为静定结构(基本结构基本结构), 基体结构中所作用的多余未知力基体结构中所作用的多余未知力个数。个数。三次超静定三次超静定三次超静定三次超静定基本结构基本结构 I基本结构基本结构 II结论：选取超静定结构的基本结构时，其结果是不唯一的。结论：选取超静定结构的基本结构时，其结果是不唯一的。力法的基本概念和超静定次数力法的基本概念和超静定次数从原结构从

31、原结构(超静定结构超静定结构)中去掉多余约束，代之以多余未知力中去掉多余约束，代之以多余未知力Xi，直，直到原结构变成为静定结构到原结构变成为静定结构(基本结构基本结构), 基体结构中所作用的多余未基体结构中所作用的多余未知力个数。知力个数。基本结构基本结构 I基本结构基本结构 II结论：结论：1. 一个超静定结构的基本结构可以有一个超静定结构的基本结构可以有多种，但超静定次数是一定的；多种，但超静定次数是一定的；2. 基本结构必须是静定结构，瞬变体系不能基本结构必须是静定结构，瞬变体系不能作为基本结构。作为基本结构。不能选为基本结构不能选为基本结构力法的基本概念和超静定次数力法的基本概念和超

32、静定次数6.4.2 力法的基本方程力法的基本方程一次超静定结构的力法方程一次超静定结构的力法方程二次超静定结构的力法方程二次超静定结构的力法方程三次超静定结构的力法方程三次超静定结构的力法方程n次超静定结构的力法方程次超静定结构的力法方程6.4.2力法的基本方程力法的基本方程一次超静定结构的力法方程一次超静定结构的力法方程原结构原结构基本结构基本结构位移条件位移条件Cy101P111 1P：为基本结构在已知荷载单独作用下沿：为基本结构在已知荷载单独作用下沿X1方向产生的位移；方向产生的位移； 11：为基本结构在多余未力单独作用下沿：为基本结构在多余未力单独作用下沿X1方向产生的位移。方向产生的

33、位移。11111X0P1111 X原结构原结构基本结构基本结构位移条件10 1P：为基本结构在已知荷载单独作用下沿：为基本结构在已知荷载单独作用下沿X1方向产生的位移；方向产生的位移； 11：为基本结构在单位多余未为基本结构在单位多余未力力X1=1单独作用下沿单独作用下沿X1方向产生的位移。方向产生的位移。0P1111 X力法典型方程力法典型方程(canonical equation of force method),2454P1EIql,6311EIl1X11P1);(45qlMPM1 M1X6.4.2力法的基本方程力法的基本方程力法的分析步骤：力法的分析步骤：(1) 选取基本结构，确定未知

34、力个数，列出力法基本方程；选取基本结构，确定未知力个数，列出力法基本方程；(2) 画出弯矩图：画出弯矩图：0P1111 X;,1PMMMP图图：为基本结构在已知荷载单独作用下的弯矩图；：为基本结构在已知荷载单独作用下的弯矩图；图图：为基本结构在单位多余未力：为基本结构在单位多余未力X1=1单独作用下的弯矩图。单独作用下的弯矩图。1M(3) 求系数及自由项；求系数及自由项； 1P：自由项，为：自由项，为基本结构在已知荷载单独作用基本结构在已知荷载单独作用下沿下沿X1方向产生的位移方向产生的位移； 11：称为主系数，为基本结构在称为主系数，为基本结构在X1=1单独作用下沿单独作用下沿X1方向产生的

35、位移方向产生的位移。(4) 解方程，求多余未知力解方程，求多余未知力X1；11P11X(5) 求超静定结构的最后内力，并画出相应的内力图。求超静定结构的最后内力，并画出相应的内力图。,11PMXMM,1Q1QPQFXFF1N1NPNFXFF6.4.2力法的基本方程力法的基本方程例例1：解：解：(1) 选取基本选取基本结构结构, 并列出并列出方程方程0P1111 X(2) 画弯矩图画弯矩图;,1PMMPM1M(3) 求求 11, 1PlsEIMd2111CyEI)(1EI1)221 (ll232l2EIl63lPsEIMMdP11CyEI)(1EI1)232 (2lql285l2EIql2454

36、6.4.2力法的基本方程力法的基本方程6.4.2力法的基本方程力法的基本方程PM1MlsEIMd2111EIl63lPsEIMMdP11EIql2454(4) 求求X111P11XEIql2454EIl6345ql)(5) 画画弯矩图弯矩图11PMXMMCA11PCA)(MXMM22ql45ql)2( l82ql二次超静定结构的力法方程二次超静定结构的力法方程原结构原结构基本结构基本结构1位移条件：位移条件：020二次超静定结构二次超静定结构有有2个位移条件个位移条件 1P, 2P :自由项自由项, 为基本结构在已知荷载单独作用下沿为基本结构在已知荷载单独作用下沿X1 、X2方向位移方向位移

37、11, 21 :系数系数, 为基本结构在已知为基本结构在已知X1=1单独作用下沿单独作用下沿X1 、X2方向的位移方向的位移 12, 22 :系数系数, 为基本结构在已知为基本结构在已知X2=1单独作用下沿单独作用下沿X1 、X2方向的位移方向的位移1P1111X212X2P2121X222X00P2222121P1 212111XXXX6.4.2力法的基本方程力法的基本方程三次超静定结构的力法方程三次超静定结构的力法方程基基本本结结构构原原结结构构构构位移位移条件：条件：1020301P1111X212X313X2P2121X222X323X3P3131X232X333X000P333323

38、2131P2323222121P1313212111XXXXXXXXX三次超静定结构三次超静定结构有有3个位移条件个位移条件 1P, 2P , 3P :自由项自由项, 为基本结构在已知荷载单独作用下沿为基本结构在已知荷载单独作用下沿X1 、X2 、X3方方向产生的位移；向产生的位移； 11, 21, 31 :下标相同为主系数下标相同为主系数,下标不同为副系数，下标不同为副系数， 为基本结构在已知为基本结构在已知X1=1单独作用下沿单独作用下沿X1 、X2 、X3方向产生的位移；方向产生的位移； 12, 22, 32 :同上同上, 为基本结构在已知为基本结构在已知X2=1单独作用下沿单独作用下沿

39、X1 、X2 、X3方向产方向产生的位移；生的位移； 13, 23, 33 :同上同上, 为基本结构在已知为基本结构在已知X3=1单独作用下沿单独作用下沿X1 、X2 、X3方向产方向产生的位移。生的位移。,PiiMXMM,QQPQiiFXFFiiFXFFNNPN6.4.2 力法的基本方程力法的基本方程 n次超静定结构的力法方程次超静定结构的力法方程一次超静定结一次超静定结构构1个位移条件个位移条件二次超静定结二次超静定结构构2个位移条件个位移条件三次超静定结三次超静定结构构3个位移条件个位移条件n次超静定结构次超静定结构n个位移条件个位移条件, 01, 02, 03, 0i,0n力法典型方程力法典型方程(canonical equation of force method):0 000P332211P3333323213