基于非下采样Contourlet变换的图像自适应阈值去噪算法

1、基于非下采样Contourlet变换的图像自适应阈值去噪算法金彩虹(南京晓庄学院物理与电子工程学院，南京 210017）摘要：利用非下采样Contourlet变换的平移不变性和多方向选择性，考虑非下采样Contourlet变换域内相邻尺度间和同一尺度、不同方向间图像系数和噪声系数之间不同的相关性，根据子带含有信息量的多少,自适应地调节BayesShrink阈值大小，使弱的边缘细节能从噪声中被提选出来，同时避免将较大的噪声系数误判为图像细节。实验结果表明，该算法不仅克服了恢复图像中的伪Gibbs失真，而且能更多地保留图像的边缘细节，提高图像的PSNR值。关键词：非下采样Contourlet变换；

2、广义高斯分布；BayesShrink；相关性 中图分类号:TN911173 文献标识码:AAdaptive Thresholding for Image Denoising via Nonsubsampled Contourlet Transform JIN Cai-hong(School of Physics and Electronics Engineering,Nanjing Xiaozhuang University, Nanjing ,210017)Abstract: Using the advantages of translation-invariant and multidir

3、ection-selectivity which caused by nonsubsampled contourlet transform, exploiting the inter-scale and intrascale correlations of noise and available information coefficients, BayesShrink thresholds are adaptively set according to the information of subbands. This method can pick up the weak image de

4、tails, it also can snuff out the big coefficients of noise. The experimental results show that this method can eliminate the pseudo-Gibbs phenomena around singularities, keep more image detail and improve the peak signal-to-noise ratio.Keywords: Non-subsampled Contourlet transform(NSCT); Generalized

5、 Gaussian distribution(GGD); BayesShrink; Correlation 1 引言1995年，Donoho 提出了小波阈值去噪理论1，给出了全局阈值：，并从渐进意义上证明了全局阈值的最优性。 从此，基于阈值去噪的思想得到了广泛应用。然而Donoho给出的全局阈值实际上是阈值的上限，并不是最佳萎缩阈值。该阈值没有利用图像的局部信息，过度“扼杀”了小波系数，使过多的小波系数被置，造成图像细节的丢失。Chang 等人在Bayesian框架下假定无噪小波子带系数在统计意义上服从广义高斯分布(Generalized Gaussian Distribution，GGD)，

6、提出了基于广义高斯分布模型的BayesShrink阈值去噪2，使基于小波变换的阈值图像去噪效果得到了很大改善。然而，由于二维小波基函数的支撑区间在不同分辨率下为不同尺寸的正方形。因此，当尺度变细时，二维小波就只能用点来逼近图像中具有“线奇异”特征的边缘细节，导致二维小波无法实现对图像边缘等具有“线奇异”特征函数的最优逼近。 2002年，M.N.Do和Martin Vetterli提出了Contourlet变换 3。Contourlet变换基函数支撑区间的长、宽满足，具有随尺度变化的“长条形”结构，用类似于线段的基结构来逼近图像，克服了小波基用点来逼近线的不足，在Contourlet变换域内绝大

7、部分信息能量被集中在了少数幅值较大的系数上，实现了图像的稀疏逼近。然而，Contourlet变换中下采样过程的存在，又使Contourlet变换失去了平移不变性，导致了基于此变换的恢复图像有伪Gibbs失真。为此，等提出了非下采样Contourlet变换 4，取消了变换过程中的下采样，从而有效地抑制了伪Gibbs失真。Chang等人在Bayesian框架下，基于广义高斯分布模型的BayesShrink阈值去噪方法，考虑了子带内系数的统计信息，但没有考虑尺度间以及尺度内系数的相关特性。在此，对含噪图像进行非下采样Contourlet变换，利用变换域内图像系数相邻尺度间的相关性和同一尺度下不同方向

8、间系数能量分布的差异性，自适应地调整BayesShrink阈值，获得最优的去噪阈值。使含有细节内容丰富子带的阈值小一些，含有细节内容较少子带的阈值大一些，在去除噪声的同时实现对边缘细节的有效保留，获得视觉效果良好，信噪比更高的恢复图像。2 非下采样Contourlet变换2.1 Contourlet变换Contourlet变换首先由拉普拉斯金字塔变换(Laplacian Pyramid，LP)将图像分解为低频子带和高频子带。低频子带由原始图像经过二维低通滤波和隔行隔列下采样产生；高频子带由原始图像减去低频子带经上采样和低通滤波后的低频分量产生。然后将高频子带经方向滤波器组(Directiona

9、l Filter Bank，DFB)分解为个方向子带(j为任意正整数)。对低频子带重复上述过程即可实现图像的多尺度多方向分解（见图）。图1 Contourlet变换滤波器结构Fig. 1 Contourlet TransformLP变换对图像进行多尺度分解“捕获”点奇异，DFB对图像进行多方向分解，将分布在同一方向上的奇异点合成一个系数，用类似于线段的基结构表征图像的边缘细节等几何特征，实现对图像信息的稀疏逼近。但LP变换的分解滤波器和重构滤波器的带宽均大于。因此，对滤波后的图像进行隔行隔列下采样会产生频谱混叠。频谱混叠使同一方向的信息在几个不同的方向子带中同时出现，从而削弱了Contourl

10、et变换的方向选择性。同时，Contourlet变换中的下采样过程，还使Contourlet变换失去了平移不变性。导致重构图像在奇异点处出现伪Gibbs现象。2.2 非下采样Contourlet变换滤波器结构等人提出由非下采样塔状滤波器组(Nonsubsampled Pyramid，NSP)和非下采样方向性滤波器组(Nonsubsampled Directional Filter Banks，NSDFB)组成非下采样Contourlet变换。 非下采样塔状滤波器组(NSP)采用trous算法5设计的满足Bezout恒等式6的、能实现完全重构的双通道滤波器结构(见图2)。 (a) 结构图 (b)

11、 频域分解图 图2 非下采样塔状滤波器组(a) Structure Diagram (b) Decomposing of the Frequency PlaneFig.2 Nonsubsampled Pyramid Filters滤波器组满足： (1)其中：为低通分解滤波器；为高通分解滤波器；为重建低通滤波器；为重建高通滤波器。trous算法通过有限滤波器的内插实现图像的分解。利用trous算法分解图像可以得到与原图像大小相同的一个低频近似部分和各层高频部分，即： (2) (3)其中：是原始图像的低频近似部分；是尺度j下图像的高频部分。trous算法具有平移不变性，用其进行图像处理，恢复图像不

12、会出现伪Gibbs现象。非下采样方向性滤波器组(NSDFB)是一个二通道的扇形滤波器组(见图3(a)。为了得到精确分解，采用迭代方向滤波器组，并对下一级的滤波器采用梅花矩阵进行上采样。第二层插值扇形滤波器有棋盘状的频域支撑，和第一层的滤波器结合在一起实现四个方向的频域分解(见图3(b)。(a) 结构图 (b) 频域分解图图3 非下采样方向性滤波器组(a) Structure Diagram (b) Decomposing of the Frequency PlaneFig.3 Nonsubsampled Directional Filter Banks非下采样塔状滤波器(NSP)将图像分解为低

13、频部分和高频部分，再由非下采样方向性滤波器组(NSDFB)将高频部分分解为若干个方向，实现对图像的非下采样Contourlet变换（见图4）。输入图像NSP分解NSDFB分解 (a) 结构图 (b) 频域分解图图4 非下采样Contourlet变换滤波器(a) Structure Diagram (b) Decomposing of the Frequency PlaneFig.4 Nonsubsampled Contourlet Transform非下采样Contourlet变换由于在塔式分解过程中没有下采样环节，不仅使变换具有平移不变性，克服了恢复图像中的伪Gibbs失真，而且没有下采样过

14、程即使低通滤波器的带宽大于,低频子带也不会有频谱混叠现象，避免了同一方向的信息在几个不同的方向子带中同时出现，增强了图像信息的方向选择性，更好地实现了对图像的稀疏逼近。3基于非下采样Contourlet变换的图像自适应阈值去噪算法设二维含噪图像为。其中：是期望图像，是方差为的高斯白噪声。对含噪图像进行多尺度多方向非下采样Contourlet变换，得到系数，其中：j是系数所在尺度，k是系数所在方向，m、n是系数所在位置。与小波和Contourlet变换相似，非下采样Contourlet变换系数也用广义高斯分布来描述(4) 其中：是形状参数，是尺度参数，是Gamma 函数 (5) 当形状参数时，(

15、4)式所描述的广义高斯分布就成了典型的Laplacian分布，而当形状参数时，(4)式所描述的广义高斯分布则成了典型的Gauss分布。Chang等人对符合广义高斯分布模型的阈值问题进行研究，给出在Bayesian框架下的去噪阈值 (6) 其中: 是噪声方差，是信号标准差。非下采样Contourlet变换的非正交性使得变换域内不同尺度、不同方向子带的噪声方差不相等，因此，采用Monte-Carlo估计方法7来获得子带系数的噪声方差。具体做法：（）将含噪图像进行正交小波变换，用Donoho鲁棒中值法估计噪声标准差 (7)其中：是第一层分解的高频系数。（）产生一幅大小和原始含噪图像相同，均值是0，方

16、差是的高斯白噪声图像。（）对此噪声图像进行非下采样Contourlet变换，估计不同尺度、不同方向子带系数的噪声方差 (8)其中：M和N是子带图像长度和宽度。是对高斯白噪声图像进行非下采样Contourlet变换后的系数，它只含有噪声信息，没有有用的图像信息，这和文中其它地方出现的意义不同。图像经非下采样Contourlet变换后不同尺度、不同方向子带系数信号的标准差各不相同。根据不同尺度、不同方向子带的图像信息，采用最大似然法对进行局部估计 (9)于是，基于Bayesian框架下的去噪阈值为 (10)对图像进行非下采样Contourlet分解后，系数所含信息量的大小在尺度间具有传递性，若父尺

17、度上的系数较大（含信息量较多），则该父尺度上系数所对应子尺度上的系数也极可能较大。即相邻尺度间的系数具有相关性8。在尺度内，根据多方向分解理论，含有图像轮廓细节越丰富的方向子带，其子带能量越大9。而噪声能量是分布于整个变换域内的，不同尺度、不同方向间均不存在明显的相关性。基于Bayesian框架下的去噪阈值，只考虑了子带内系数的统计信息，没有考虑到图像系数尺度间的相关性和同一尺度下、不同方向上系数能量分布的差异。为此，引入系数来修正基于Bayesian框架下的去噪阈值，得自适应阈值 (11)的计算：() 利用信息和噪声之间不同的尺度相关性，计算相邻尺度同一空间位置上Contourlet系数的积

18、，在乘积中，噪声系数被抑制，信号系数被放大，以此加强对弱的边缘信息与噪声的区分。对于位置，尺度j上的Contourlet系数与其相邻尺度系数的积为 (12)()将归一化到的能量上，归一化的相邻尺度系数积为 (13)其中：是第j层Contourlet系数的能量；是第j层相邻尺度系数积的能量。 (14) (15)（）计算第j层k方向归一化相邻尺度系数积的能量。 (16)（）计算系数。系数为同一尺度下，所有不同分解方向子带归一化相邻尺度系数积的总能量与同一尺度下，某一个分解方向子带归一化相邻尺度系数积的能量之比。 (17)其中：是某一尺度下总的分解方向数。计算系数时，首先将相邻尺度同一空间位置上的C

19、ontourlet系数相乘，使噪声系数被抑制，信号系数被放大。然后对这种处理过后的系数计算能量比，既考虑了变换域内图像系数尺度间的相关性也考虑到了方向子带的能量与子带含有图像轮廓细节多少的关系。当某尺度某方向子带的能量比较大，也就是该子带含有较丰富的图像轮廓细节信息时，由(17)式，系数就较小。由 (11) 式，此时，对该子带设置有较低的阈值，可以保留更多的细节。反之，当某尺度某方向子带能量比较小，也就是该子带以噪声信息为主，只有少量的图像轮廓细节时，系数就较大，此时，对该子带设置有较高的阈值，可以尽可能多地滤除噪声。综上，基于非下采样Contourlet变换的图像自适应阈值去噪算法是： （）

20、对含噪图像进行多尺度多方向非下采样Contourlet变换。（）对不同尺度、不同方向的高频子带系数，由式(8)和式(9)估算其噪声方差和信号方差。 由式(17)计算系数值。最后，由式(11)得到不同尺度、不同方向子带系数的自适应阈值。（）在非下采样Contourlet变换域内对高频系数进行自适应硬阈值处理。硬阈值函数: (18)阈值函数通常有软阈值函数和硬阈值函数两种。软阈值函数去噪的结果是恢复图像相对比较平滑，但会造成图像中边缘等细节内容的损失。硬阈值函数去噪能较多地保留图像的边缘轮廓等细节内容，却容易在图像的突变处出现伪Gibbs现象。在非下采样Contourlet变换域内采用自适应硬阈值

21、函数去噪，一方面由于非下采样Contourlet变换取消了变换过程中的下采样，能有效地抑制伪Gibbs失真。同时由于系数的调节，使子带系数阈值自适应于子带能量，能尽可能多地保留图像轮廓细节，这与硬阈值函数去噪的特点正相适应。因此，为了尽可能多地保留图像轮廓细节，使用硬阈值函数去噪。（）对经硬域值处理后的高频系数和低频系数一起进行Contourlet逆变换得到去噪后的恢复图像。5 实验结果与分析为了验证本文算法的有效性，在MATLAB6.5中选择叠加有均值为零，标准差分别为15，20，25，30的白噪声的512512的Lena和Barbara标准测试图像进行实验。实验中用“db8”小波对图像进行

22、层小波分解, 而非下采样Contourlet变换选择9-7塔式分解和方向滤波器组进行层分解，各层方向数为4，4，8，8。实验中对基于小波的BayesShrink阈值去噪 2、基于非下采样Contourlet的BayesShrink去噪4和本文的算法进行了比较，去噪结果的客观评价指标用峰值信噪比（PSNR）衡量。表比较了不同噪声等级下各种算法的PSNR，图给出了噪声标准差时Barbara图像的去噪结果。实验结果如表1和图所示。表1 几种算法的去噪图像峰值信噪比值/dBTab.1 Comparison of PSNR(dB) with different algorithms 图像噪声标准差峰值信

23、噪比（PSNRdB）噪声图像文2去噪文4去噪本文去噪Lena1524.6030.3230.5432.932022.1328.9629.1331.532520.1528.1728.5630.893018.5827.4927.6630.09Barbara1524.6227.4627.8230.332022.1525.8826.0728.592520.1824.7825.1827.763018.6723.7424.3826.84 (a)噪声图像 (b) 文献 2 的去噪结果(c) 文献 4 的去噪结果(d) 本文去噪的结果 图 噪声的Barbara测试图像的去噪结果比较(a) Noisy image

24、(b) Result of the second literature (c) Result of the fourth literature (d) Result of this papperFig.5 Denoising results of different algorithms for Barbara at noise level由实验结果可以得出:（）非下采样Contourlet变换实现了对图像的多尺度、多方向最优稀疏逼近，利用变换域内相邻尺度间的相关性和同一尺度、不同方向系数能量分布的差异，自适应地调整BayesShrink阈值大小，可以从整体上得到信噪比更高的恢复图像：本文算法

25、的PSNR值比基于小波的BayesShrink阈值去噪高2.573.10dB，比基于非下采样Contourlet的BayesShrink去噪高2.332.58dB。（）将相邻尺度同一空间位置上的Contourlet系数相乘，使噪声系数被抑制，信号系数被放大。再针对归一化相邻尺度系数积计算某一尺度下所有方向子带的总能量与其中某一方向子带能量的比。既考虑了变换域内图像系数尺度间的相关性又考虑了方向子带的能量与子带含有图像轮廓细节多少的关系，实现自适应地调整BayesShrink阈值大小。这样，不仅使弱的边缘细节也能被提选出来，同时，还避免了将较大的噪声系数误判为图像细节的错误。从图5中可以看到，与

26、文献2和文献4的去噪方法相比，本文的去噪结果保留了更多的细节信息，图像中大多数纹理特征都表现出清晰的结构，细小的纹理信息也得到了较好地恢复，如Barabara围巾边缘上的细纹等。而文献2和文献4的恢复图像中，这些细纹信息却在去除噪声的同时被平滑掉了。()对含有丰富直线性特征细节的图像，本文算法的去噪效果更显优势。从表1的数据可以看出：本文算法对含有直线性特征丰富的Barbara图像去噪后的PSNR值较含有大量点状纹理特征的Lena图像处理后的PSNR值要提高得多一些。从主观视觉方面也能看出，图所示的Barbara去噪后的恢复图像中，采用本文方法得到的恢复图像的细节最清晰，视觉效果明显好于其他方

27、法。5 结束语非下采样Contourlet变换是目前已知的最稀疏的一种图像逼近方式，可以将相邻尺度、相邻方向间信号和噪声的不同相关性充分表现出来。利用这种相关性，可以判定含噪图像变换系数所含信息的多少，从而自适应地调整阈值大小，实现噪声与有用信号的有效分离。实验结果表明,该方法不仅有效地克服了恢复图像中的伪吉布斯失真,而且更多地保存了图像边缘细节信息，提高了去噪图像的PSNR值，恢复图像的视觉效果更好。参考文献:1 Donoho D L. De-noising by soft-thresholding J. IEEE Trans. on Information Theory, 1995, 41

28、(3):613-627. 2 Chang S G, Yu B, Vetterli M. Adaptive wavelets thresholding for image denoising and compression J. IEEE Trans. on Image Processing, 2000, 9(9):1532-1546.3 Do M N, Vetterli M. The contourlet transform:An efficient directional multiresolution image representation J.IEEE Trans. on Image Processing, 2005,14(12) :2091-2106 .4 Cunha A L, Zhou J, Do M N. The Nonsubsampled Contourlet Transform: Theory, Design, and ApplicationsJ. IE