四年级奥数讲义教案库第6讲基础教师

1、第六讲 数阵图教学目标数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用掌握的各种数学知识来解决问题. 本讲出了要讲授填数阵图的主要技巧，还有以下注意点：1.引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断；2.教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整除性质的数学方法；3.锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力；4.培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能力. 哪吒布阵，他要用360名士兵守卫一座城池（见下图，图中间表示城区，四周表示城墙，方格中的数表示兵力分布），要求四个角的兵力相同.现在的兵力分布恰好每边有100名士兵，如果哪吒想使每边有150名士兵，那么兵力应如何分布？

2、想 挑 战 吗？分析：假设角上有a名士兵，由四条边上的士兵相加，得：4×150=360+a×4，得a=60，所以得到兵力分配如图：专题精讲数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍.第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得

3、出相应的数阵图关系线（关系区域）和.第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键.（一）封闭型数阵问题【例1】 （）小蜗牛不小心爬到一个三角形数阵图中，必须将16六个自然数分别填入下图的内，使三角形每边上的三数之和都等于11才能通过这个数阵图，你能帮它吗？ 分析：因为每条边上的和都为11，那么三条边上的数字之和为11×3=33，而1+2+5+6=21，所以三个角的三个数之和等于33-21=12，在16中选3个和为12的数，且其中任意两个的和不等于11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5，经试验，

4、填法见右上图.亮点设计：(1)求数阵问题的关键是找到关键数，也就是重复数，教会学生学会找关键数的方法是最重要的.（2）设计问题：三角形每条边之和是11，11×3=33，但是所有数的和是：1+2+5+6=21，为什么会出现结果不同的问题呢？仔细观察这个数阵，三条边上所有数相加的过程中三个角上的数都被重复加了一次，也就是说三个角上的数是重复数，33-21=12即为这三个重复数的和.（3）强调分组法与试验法：知道了三个数的和之后，下一步就要先确定这三个数，采用分组法和试验法.分组法是将这个和根据要求拆成三个数，例如本题中如果两个数的和为11，那么将无法填第三个数，所以，1、5、6这一组就不

5、符合，所以12=2+4+6=3+4+5，除此之外还需要采用试验法，将它们一一进行试验.（4）小结：对于封闭型的数阵，重复数基本上都是两条线相交的点，这在后面的例题中有大量体现.拓展把1，2，3，4，5，6，7，8八个数字填入下图中的内，使正方形每条边上三个数的和都等于13 或分析：因为每边上的和为13，那么四条边上的数字之和为13×4=52，而1+2+7+8=36，所以四个角上的四个数之和等于52-36=16在18中选四个数，四数之和等于16，且其中任意三个的和不等于13的只有：16=1+2+6+7=1+2+5+8=1+4+5+6经试验，只有右上图的两种填法【例2】 （）请分别将1，

6、2，4，6这4个数填在下图的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数的和都等于15 分析：5+7=12，3+7=10，3+5=8，三个圆中已有数的和与15的差分别是3、5、7，只有1能和其他三个数的和分别是3、5、7，所以中间数一定是1，由和为15，其它三个数即可得，见右上图. 拓展如下图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，请找出规律，并求出x所代表的数.分析：经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和的一半.比如：（26+18）÷2=22.（30+26）÷2=28.（24+30）÷2=27.所以x+18=17×2，x

7、=16.经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20.【例3】 （）小白兔在森林里玩耍，突然发现一个发光的东西，走近一看是一个带有奇妙数阵图的树桩，上面写着如果你能在下图的六个内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等，那么你就是一个聪明人，小白兔很快得出答案，你能吗？ 分析：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个，又因为每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷210.10分为三个质数之和只能是235，由此得到右上图的填法. 拓展将1-9填入图中的9个方格内，使得每条直线

8、上的3个数字的和都相等.其中1，2，7已经给出. 分析：这个数阵中重复数无法确定，只能找突破口一一试验.我们可以选择的突破口有2个，一个是2+7的这条线，另一个是1+7的这条线，试验后答案如右上图.【例4】 （）把20以内的质数分别填入下图的中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等. 分析：由上图看出，三组数都包括左、右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等.20以内共有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数，两两之和相等的有5197171113，于是得到右上图的填法.巩固 20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数，将这八个奇数填入右图的八个中（其中3已经填好），使得图

9、中用箭头连接起来的四个数之和都相等. 分析：3组数都包括左右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等.现在有1、5、7、11、13、17、19七个数供选择，两两之和相等的三组数有1+17=5+13=7+11，于是得到右上图的填法.【例5】 （）如果将111这11个自然数填入下图的圆圈内，使每个菱形上四个数之和都等于24，那么A等于多少?分析：计算3个菱形上四个数的和，其中A被重复计算了两次，1+2+3+10+11+A=24×3，即66+A=72，所以A=6.拓展有10个连续的自然数，9是其中第三大的数现在把这10个数填到下图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个2×

10、2的正方形中的4个数之和相等那么，这个和数的最小值是多少? 分析：由题意，9是其中第三大的数，所以这10个连续自然数是2、3、4、59、10、11，计算三个正方形中四个数的和，这个和能被3整除，但是其中a和b被重复计算了两次，所以有：2+3+11+a+b=65+a+b=3s，当a+b=1，4，7时，65+a+b可以被3整除，因为要取最小值，所以a+b的值越小越好，但是不可能取1与4，所以，a+b=7时，这个和取得最小值，每个正方形中的和也取得最小值：（65+7）÷3=24.（二）辐射型数阵【例6】 （）把15这五个数填入下图中的里，使每条直线上的三个数之和相等. （1） （2） （3

11、） 分析：这道题即不知道每条直线上的三数之和，也不知道重叠数，但是把两条直线上的6个数相加，中间的数被加了两次，我们把中间的数称为重叠数，列式为：(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线上三数之和×2，所以，每条直线上三数之和(15+重叠数)÷2.因为每条直线上的三数之和是整数，所以“15+重叠数”只能是偶数，重叠数只可能是1，3或5.若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为 (15+1)÷2=8.填法见右上图（1）；若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为 (15+3)÷2=9.填法见右上图（2）；若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为 (15+5)

12、÷2=10.填法见右上图（3）.亮点设计：（1）让学生试做，并尝试多种填法.（2）将2、4、6、8、10填入数阵中并满足题意可以吗？填法如何？2、4、6、8、10分别是1、2、3、4、5的2倍，填法如例题.（3）将上题变形为如下形式，将15填入使得两条直线和圆周上的数的和相等 分析：把两条直线和圆周上的数相加，相当于把五个数都加了两遍，每条直线上数的和是（1+2+.+5）×2÷3=10，而四个数的和为10的情况只有一种：1+2+3+4，所以中间的数为5，填法只有一种.拓展将17这七个数字，分别填人图中各个内，使每条线段上的三个内数的和相等 （1） （2） （3）分

13、析：设中心内填a，由于三条线上的数字和相加应是3的倍数，其中a一共加了3次，所以1+2+3+4+5+6+7+2a=28+2a一定是3的倍数而28÷3=91，那么2a÷3的余数应该是2，因此，a=1，4或7 (1)当a=1时，28+2=30，30÷3=10，10-1=9，除中心外，其他两数的和应是9，只要把2，3，4，5，6，7六个数按“和”是9分成三组填入相应的内就可以了填法如图（1） (2)当a=4时，28+8=36，36÷3=12填法如图（2）(3)当a=7时，28+14=42，42÷3=14填法如图(3)【例7】 （）将16这六个数字分别

14、填入左下图的六个内，使得三条直线上的数字的和都相等. 分析：将三条直线上的数相加所得的数一定是3的倍数，而且a、b、c都被加了两次，即：1+2+5+6+a+b+c=21+a+b+c=3s，所以，a+b+c=6、9、12、15，所以有上图四种填法.拓展下图中有三个正三角形，将19填入它们顶点处的九个中，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个的每条直线上的四个数之和也相等. 分析：每个正三角形顶点的三数之和为（129）÷315，每条直线上的三数之和为（45+15）÷3=20.将19九个数分为三个一组，且每组三个数的和为15只有如下两种分法：（1）1，5，9；2，6，

15、7；3，4，8；（2）1，6，8；2，4，9；3，5，7.对于（1），中心小正三角形三个顶点数为1，5，9时，可得中间图的解；对于（2），中心小三角形三个顶点数为3，5，7时，可得右上图的解.【例8】 （）小鸟欢欢和乐乐有1至6六个数字，它们想把1至6分别填入图的各方格中，横行三个数字欢欢填，竖行四个数字乐乐填，并且使得横行3个数的和与竖列4个数的和相等，你能做到吗？分析：数阵中左右两个数与下边三个数的和相等，所以这5个数和是偶数，这五个数的和加上第一行中间的数和为1+2+5+6=21，所以第一行最中间的数是奇数，即1、3、5，确定中间的数后经过尝试可得解，如右上图.拓展请在下图中每个方格中填

16、一个数，使横行任意三个相邻方格内的数字之和都是15，竖列任意三个相邻方格内的数字之和都是18 分析：竖列任意三个相邻方格内的数字之和都是18，从上至下第二个数与第三个数的和是18-3=15，第二个数+第三个数+第四个数=18，第四个数等于3，以此类推，从上至下第一个数等于第四个数等于第七个数，第二个数等于第五个数等于第八个数，所以竖行从上至下依次为3、8、7、3、8、7、3、8；同理，横行任意三个相邻方格内的数字之和都是15，由左至右第六个数是8，所以横行由左至右依次为5、2、8、5、2、8、5、2、8、5，如右上图所示.【例9】 （）将17七个数字填入左下图的七个内，使每个圆周和每条直线上的

17、三个数之和都相等. 分析：设中心数为a，各条直线和各个圆周上的三数之和均为k.因为a属于三条直线公有，其余数各属于一条直线和一个圆周，于是得到2×（1+2+7）+a=5k，化简为a+56=5k.因为1a7，a+56又是5的倍数，所以a=4，k=12.填数方法见右上图.拓展如图 “学、而、思、未、来、命、运”这7个汉字分别代表1至7这7个数字已知3条直线上的3个数相加、2个圆周上的3个数相加，所得的5个和相同那么，“学”字代表多少?分析：计算5个和的和，这个和一定是5的倍数，其中“学”字计算了三遍，其它数只是被计算了2遍，因此这个和等于（1+2+3+4+5+6+7）×2“学”

18、=56+“学”，这个“学”只能是4才能保证这个和能被5整除.【例10】 （）在下图的七个圆圈内各填上一个数，要求每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已填好两个数，求x是多少？ 分析： 为了便于说明问题，我们用字母表示各个圆圈内所表示的数，如中间图所示.根据题意，我们观察，因为每一条直线上的三个数中，当中的数是两边的两个数的平均数.所以可以得出：D=（13+17）÷2=15.还可以得出以下三式：C=（B+15）÷2 （1），A=（13+B）÷2 （2），C=（A+17）÷2 （3）将上述三个算式进行变形，变成下面三个算式：2C=B+15

19、（4），2A=13+B （5），2C=A+17 （6）用（4）式减去（5）式得出：2C-2A=2，C-A=1，C=A+1，将C=A+1代入（6）式得到：2（A+1）=A+17，A=15.则C=16，因此，16=（13+x）×，所以x=19.（三）其它类型的数阵图【例11】 （）在下列各图中，分别从18中选择六个数填入内，使得按顺时针方向计算的各关系式成立： 分析：能被2和4整除的数有4与8，左上角的数为4或8，如果为8，为一种情况，如果是4是另一种情况，答案见右上图.拓展将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数分别填人下图的8个空格中，使四边正好组成加、减、乘、除4个正确的等式 分析

20、：小于10且能表示成两个不同的数的乘积的数只有6和8，如此可确定左下角的数为2，左上角和右下角的数可以是6或8,左边和下边对应填上3和6，剩下1、5、7如此即可试出结果.【例12】 （）下图包括6个加法算式，将18填入除最右边圆圈以外的8个圆圈中，使6个算式都成立那么最右边的圆圈中的数是多少?应该怎么填？分析：最右边的数等于最左边三个数以及中间的数的和，即（1+2+7+8）÷3=12，当这四个数分别取1、3、6、2时可以不出现重复数字，填法如右上图.专题展望 数阵图问题千变万化，在下一讲中我们还将对数阵图中经典而又古老的形式幻方进行深入一步的研究和了解.练习六 1. （例1）将16六

21、个自然数分别填入下图的内，使三角形每边上的三数之和都等于10 分析：因为每边上的和为10，那么三条边上的数字之和为10×3=30，而1+2+5+6=21，所以三个角的三个数之和等于30-21=9，在16中选3个和为9的数，而且任意两个数的和大于或等于10-6=4，这样的组合有：9=1+3+5=2+3+4，经试验，填法见右上图.2. （例5）如图，大三角形被分成了9个小三角形试将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形3条边的每5个数相加的和相等，问这5个数的和最大可能是多少?分析：计算三条边和的和，这个和一定是3的倍数，其中

22、有6个角上数被重复计算了2遍，边上的三个数分别计算了两遍，因此（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×2再减去三个边上的数，所得应该为3的倍数，当三条边上的三角形中分别填入1、2、3时，这个和取得最大值，各条边上的和也取得最大值28.3. （例7）在下图的空格中填人适当的数字，使任意三个相邻格子中的数字之和都等于20 分析：任意三个相邻格子中的数之和都为20，说明第一个格与第三个格中的和是20-6=14，第三个格与第四个格中数的和也是14，所以，第一个格中的数等于第四个格中的数，以此类推，第四个格中的数等于第七个格中的数，第7个格中的数为5，此时可以填出表内的所有数，如右上图.4. （例6）将15填入右图的中，使得横、竖、大圆周上的几个数之和都相等. 分析：