向量的概念表示和线性运算学案

1、第5讲 向量的概念、表示和线性运算知识点:1、向量的概念： 2、向量加法： 3、向量的减法： 4、实数与向量的积：5、两个向量共线定理：（1）三点、共线与共线；与共线的单位向量.（2）,三点共线存在实数、使得且.6、平面向量的基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向量,有且只有一对实数、,使7.平面向量的三角不等关系同向或有；反向或有 ；不共线.8、平面向量的坐标表示：9、平面向量的坐标运算：设,. (1)；(2).10、两个向量的数量积及坐标运算：设,则；11、向量的投影：在的方向上的投影12、数量积的几何意义：等于的长度与在的方向上的投影的乘积；13、向量的模

2、与平方的关系：若,则，14、乘法公式成立：15、平面向量数量积的运算律：16、向量的夹角：注意: 为锐角,不同向；为直角；为钝角,不反向.17、两个非零向量垂直的充要条件：一：平面向量的概念例1出下列命题：若，则； 若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的等价条件； 若，则； 的等价条件是且； 若，则。 其中，正确命题的序号是_变式训练1：判断下列各命题：（1）若a0，a·b=a·c，则b=c；（2）若a·b=a·c，则bc当且仅当a=0时成立；（3）（a·b）c=a（b·c）对任意向量a、b、c都成立；（4）对任一向

3、量a，有a2=|a|2.其中，正确命题的序号是_二：向量的基本运算例2已知ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点设，求变式训练2.如图所示，D是ABC边AB上的中点，则向量等于（ ）ADBCA BC D 例3. 已知向量，其中、不共线，求实数、，使变式训练3：已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证：三：共线向量定理、平面向量基本定理及应用例4. 设，是两个不共线向量，若与起点相同，tR，t为何值时，t，()三向量的终点在一条直线上？变式训练4：已知，设，如果，那么为何值时，三点在一条直线上？四：平面向量的坐标运算例5.已知点A（2，3），B（1，5），且，求点C

4、的坐标变式训练5.若，则= . 例6.已知2(3，1)，2(1，2)，求变式训练6.已知向量(1, 2)，(x, 1)，2，2，且，求x五：平面向量数量积运算例7. 已知|4，|5，且与的夹角为60°，求：(23)·(32)变式训练7.已知|3，|4，|5，求|23|的值六：平面向量的数量积解决夹角问题例8. 已知向量(sin，1)，(1，cos)，(1) 若ab，求；(2) 求|的最大值七：平面向量的数量积解决垂直问题例9：已知，其中(1)求证： 与互相垂直；(2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)八：平面向量的数量积解决三角形的形状的问题例10. 已知O是ABC所在

5、平面内一点，且满足()·(2)0，判断ABC是哪类三角形变式训练：若，则ABC的形状是 . 课堂练习：1.已知平面向量a= ，b=， 则向量 ( )A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 2.设P是ABC所在平面内的一点，则（）A. B. C. D. 3.已知向量，则 ( ) A. B. C. D. 4.平面向量a与b的夹角为， 则 ( ) A. B. C. 4 D.2 5.已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( )A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 6.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=( )A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b 7.下列命题:如果非零向量的方向相同或相反, 那么的方向必与之一的方向相同; 在中, 必有; 若,则为一个三角形的三个顶点;若均为非零向量,则其中真命题的个数为（ ）A.0个 B. 1个 C.2个 D.3个8.已知=(,1), =(1, )，那么，的夹角=( )A、30° B、60° C、120° D、150°9.BOADCNM如图所示，OADB是以向量，为邻边的平行四边形，又，试用、表示