西工大、西交大自动控制原理 第五章 线性系统的频域分析法_01_频率特性

1、第五章线性系统的频域分析法 时域分析法时域分析法分析域分析域 t方法方法 解析解析计算量计算量 大大性能指标性能指标 有有适用范围适用范围 大大根轨迹法根轨迹法S 图解图解 小小无无 线性定常系统线性定常系统第五章线性系统的频域分析法考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应来分析系统的动态性能和稳态性能。响应来分析系统的动态性能和稳态性能。有时也用有时也用正弦波正弦波输入输入时系统的响应来分析，但这种响时系统的响应来分析，但这种响应并不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，应并不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察而是考察频

2、率频率由低到高由低到高无数个正弦波输入下所对应的无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。每个输出的稳态响应。因此，这种响应也叫因此，这种响应也叫频率响应频率响应。第五章线性系统的频域分析法频率特性的基本概念频率特性的基本概念RCiuou以以 滤波网络为例。滤波网络为例。设电容设电容初始电压初始电压为为 ，输入信号为，输入信号为正弦信号正弦信号RC0cutAuisin频率特性频率特性第五章线性系统的频域分析法网络输入、输出的网络输入、输出的微分方程微分方程为：为：取拉氏变换，代入初始条件得取拉氏变换，代入初始条件得)(RCTuudtduTioo 022011)(11)(ccioTusATs

3、TusUTssU 频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率特性频率特性RCiuou第五章线性系统的频域分析法再对上式进行再对上式进行拉氏反变换拉氏反变换，有：，有：)arctansin(11)(22220TtTAeTTAutuTtco 频率特性频率特性0510152025-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81输 出 曲 线输 入 曲 线暂态分量暂态分量稳态分量t第五章线性系统的频域分析法)(sin)()arctansin(1)(22 tAATtTAtuos2211)( TA T arctan)( 稳态分量稳态分量又可写为又可写为幅值比幅值比相位差相位差其中其中频率特性

4、的基本概念频率特性的基本概念频率特性频率特性第五章线性系统的频域分析法又：又： 网络的传递函数为网络的传递函数为若若令令 ，则，则前面得到：前面得到：故：故：幅值比幅值比和和相位差相位差分别为分别为传递函数的传递函数的幅值幅值和和相角相角。RC11)( TssG js TjeTTjjG arctan221111)( 频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率特性频率特性2211)( TA T arctan)( 第五章线性系统的频域分析法2211)( TA T arctan)( RC网络的幅频特性与相频特性00.511.50.20.40.60.81幅 频 特 性00.511.5-1.5-1-0.5

5、0相 频 特 性第五章线性系统的频域分析法以上结论是由具体的以上结论是由具体的 网络推导得出的，下面证明网络推导得出的，下面证明其其一般性一般性。设有稳定的线性定常系统，其传递函数为：设有稳定的线性定常系统，其传递函数为：系统输入信号为系统输入信号为RC)()()(00sDsNsbsbsGnjjnjmiimi )sin()( tAtr频率特性的基本概念频率特性频率特性22)sincos()( ssAsR第五章线性系统的频域分析法则系统的输出拉氏变换为则系统的输出拉氏变换为)()()()sincos()()()(sDsNjsjssAsRsGsC niiissAjsBjsB121 因为系统为稳定系

6、统，即因为系统为稳定系统，即tsniitjtjieAeBeBsCLtC 1211)()( 频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率特性频率特性第五章线性系统的频域分析法仅考虑输出响应的仅考虑输出响应的稳态分量稳态分量部分，有部分，有tsniitjtjieAeBeBsCLtC 1211)()( jsBjsBsCs 21)( jsjssGsRjsBsGsRjsB )()()()()()(21频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率特性频率特性其中其中第五章线性系统的频域分析法)(2)(12)()(2)sin(cos2)()(2)sin(cos jGjjGjejjGAjGjjABejjGAjGjjA

7、B 频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率特性频率特性拉氏反变换后有：拉氏反变换后有：jejsjGAjejsjGAsCjGjjGjs2)()(2)()()()()( )(sin)(2)()()()( jGtjGAjeejGAtcjGtjjGtjs 故：故：第五章线性系统的频域分析法将其将其与输入信号相比与输入信号相比则有：则有： 故：故：对于对于稳定稳定的的线性定常系统线性定常系统，由，由谐波输入谐波输入产生的产生的输输出稳态分量出稳态分量仍然是与输入仍然是与输入同频率同频率的的谐波函数谐波函数，而，而幅值幅值和和相角相角的变化是的变化是频率频率 的函数，且与系统的函数，且与系统的的传递函数

8、传递函数有关。有关。)()()()( jGjGA 幅值比幅值比相位差相位差频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率特性频率特性第五章线性系统的频域分析法谐波输入下，输出响应中与输入同频率的谐波分量与谐谐波输入下，输出响应中与输入同频率的谐波分量与谐波输入的幅值之比波输入的幅值之比 为为幅频特性幅频特性；相位之差；相位之差 为为相频特性相频特性。并称其并称其指数表达形式指数表达形式为系统的为系统的频率特性频率特性。这一定义这一定义既适用于既适用于稳定系统稳定系统，也适用于也适用于不稳定系统不稳定系统。)( A)( )()()( jeAjG 频率特性的频率特性的定义定义频率特性频率特性第五章线性系

9、统的频域分析法线性定常系统的传递函数是在零初始条件下，输出与线性定常系统的传递函数是在零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比输入的拉氏变换之比拉氏反变换为拉氏反变换为式中：式中： 位于位于 的的收敛域收敛域。若系统。若系统稳定稳定，则，则 可以可以取为零取为零。)()()(sRsCsG jjstdsesGjtg )(21)()(sG频率特性的频率特性的物理意义物理意义频率特性频率特性第五章线性系统的频域分析法如果如果 的的傅氏变换存在傅氏变换存在，可令，可令 所以所以稳定系统的稳定系统的频率特性频率特性等于等于输出和输入的傅氏变换之输出和输入的傅氏变换之比比，这是频率特性的物理意义。，这是频率

10、特性的物理意义。 dejRjCdejGtgtjtj)()(21)(21)( jssGjRjCjG )()()()()(tr js 频率特性的频率特性的物理意义物理意义频率特性频率特性第五章线性系统的频域分析法微分方程微分方程频率特性频率特性传递函数传递函数ps js pj系统系统频率特性频率特性与微分方程、传递函数间关系与微分方程、传递函数间关系频率特性频率特性第五章线性系统的频域分析法1 1复数形式复数形式频率特性频率特性 为一为一复数复数，可写成如下的复数形式：，可写成如下的复数形式：其中：其中： 称为称为实频特性实频特性； 称为称为虚频特性虚频特性。)( jG)()()( jQPjG )

11、(Re)( jGP )(Im)( jGQ 频率特性频率特性的数学表示方法的数学表示方法频率特性频率特性第五章线性系统的频域分析法2 2指数形式指数形式频率特性频率特性 还可以用还可以用幅值幅值和和相角相角的形式来表达：的形式来表达：显然有：显然有：)( jG)()()( jGjejGjG )(cos)()( jGjGP )(sin)()( jGjGQ )()()(22 QPjG 频率特性频率特性的数学表示方法的数学表示方法频率特性频率特性第五章线性系统的频域分析法3 3对数形式对数形式频率特性频率特性还可以用还可以用幅频特性幅频特性的对数形式的对数形式、相频特性相频特性来表示来表示引入对数形式

12、的引入对数形式的目的目的：将乘除运算化为加减运算。：将乘除运算化为加减运算。)()()(lg20)( jGjGL )()()()()()(lg20)(lg20)(2121 nnLLLjGjGjGjGL 频率特性频率特性的数学表示方法的数学表示方法频率特性频率特性第五章线性系统的频域分析法1 1幅相频率特性曲线（幅相频率特性曲线（ NyquistNyquist曲线）曲线）在复平面上，以在复平面上，以 为为参变量参变量的的频率特性曲线频率特性曲线称之为称之为幅幅相频率特性曲线相频率特性曲线，也称，也称极坐标曲线极坐标曲线。因为当因为当 由由 时的曲线和由时的曲线和由 的曲线是的曲线是关于实轴对称关

13、于实轴对称的，所以的，所以 的变化范围一般的变化范围一般为为 。曲线的曲线的横坐标横坐标为为实频特性实频特性，纵坐标纵坐标为为虚频特性虚频特性，曲线曲线与原点所构成与原点所构成向量向量，其模为，其模为幅频特性幅频特性，其相角为，其相角为相频相频特性特性。00 0频率特性频率特性的的几何几何表示方法表示方法频率特性频率特性 第五章线性系统的频域分析法以以 网络为例：网络为例：22)(1)(1111)( TTjTTjjG TjeT arctan2211 实频特性实频特性虚频特性虚频特性幅频特性幅频特性相频特性相频特性RC频率特性频率特性的的几何几何表示方法表示方法频率特性频率特性1幅相频率特性曲线

14、（幅相频率特性曲线（ Nyquist曲线）曲线）第五章线性系统的频域分析法因因 网络的实频与虚频间存在如下关系：网络的实频与虚频间存在如下关系：RC2222221)(121)(11 TTT所以幅相曲线所以幅相曲线是以是以 为圆心，以为圆心，以 为半径的半圆。为半径的半圆。)0, 2/1 (2/10 j02/1)( P)(Q)( jG频率特性频率特性的的几何几何表示方法表示方法频率特性频率特性1幅相频率特性曲线（幅相频率特性曲线（ Nyquist曲线）曲线）第五章线性系统的频域分析法BodeBode曲线是在曲线是在半对数坐标系半对数坐标系中画出系统的中画出系统的幅频特性曲幅频特性曲线线和和相频特

15、性曲线相频特性曲线。其其横坐标横坐标以来以来 表示，但其长度以表示，但其长度以 来划分；来划分；单位为单位为 。对数幅频特性的对数幅频特性的纵坐标纵坐标，按，按 取值，单位为分贝取值，单位为分贝 。对数幅频特性的对数幅频特性的纵坐标纵坐标在对数相频特性中，相位仍以在对数相频特性中，相位仍以度度 来表示。来表示。 lg)(lg20)( jGL )(dB)/(srad)( 频率特性频率特性的的几何几何表示方法表示方法频率特性频率特性2对数频率特性曲线（对数频率特性曲线（ Bode曲线）曲线）第五章线性系统的频域分析法十倍频程十倍频程(dec)(dec)十倍频程十倍频程)/(decdBkdec(de

16、cade)dec(decade)12lg1020lg)lg(lg)()(1212 kLL对数分度174207040102100频率特性频率特性的的几何几何表示方法表示方法频率特性频率特性2对数频率特性曲线（对数频率特性曲线（ Bode曲线）曲线）第五章线性系统的频域分析法-40-30-20-100Magnitude (dB)10-1100)(dBL)(ssG5 . 011)(101102-90-450Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)第五章线性系统的频域分析法对数幅相曲线是将对数幅频特性与对数相频特性这两对数幅相曲线是将对数幅频特性与对数相频特

17、性这两条曲线，以条曲线，以 为为参变量参变量，画在，画在同一个坐标系同一个坐标系里。里。其其纵坐标纵坐标为为 ，以，以分贝分贝表示；表示；横坐标横坐标为为 ，以，以度度 表示（表示（或弧度或弧度）。）。横、纵坐标都是横、纵坐标都是线性分度线性分度。)(lg20)( jGL )( )(频率特性频率特性的的几何几何表示方法表示方法频率特性频率特性3对数幅相曲线（对数幅相曲线（ Nichols曲线）曲线）第五章线性系统的频域分析法-100-80-60-40-200-30-25-20-15-10-50Nichols ChartOpen-Loop Phase (deg)Open-Loop Gain (d

18、B)(dBL )( ssG5 . 011)( 第五章线性系统的频域分析法频域分析法的特点频域分析法的特点：1 1可由分析法和实验的方法获得，并可用多种形式的可由分析法和实验的方法获得，并可用多种形式的 曲线表示；频域法分析和设计系统，曲线表示；频域法分析和设计系统，一般采用图解一般采用图解 法进行法进行，使用方便，而且具有较高的精确度；，使用方便，而且具有较高的精确度； 2 2 物理意义物理意义明确；明确； 3 3 可兼顾可兼顾动态响应动态响应和和噪声抑制噪声抑制两方面的要求两方面的要求 4 4 频域分析法不仅适用于频域分析法不仅适用于线性定常系统线性定常系统，还可以推广，还可以推广 应用于某些应用于某些非线性控制系统非线性控制系统。 5 5 频率响应尽管不如阶跃响应那样直观，但同样频率响应尽管不如阶跃响应那样直观，但同样间接间接 地表示了系统的特性地表示了系统的特性。频率响应法是分析和设计系。频率响应法是分析和设计系 统的一个既统的一个既方便方便又又有效有效的工具。的工具。概述概述第五章线性系统的频域分析法本章要求1 1理解频率特征的定义及物理意义；理解频率