2016新课标三维人教B版数学必修42.4向量的应用

1、 24.1 & 2.4.2向量在几何中的应用向量在物理上的应用预习课本P117122，思考并完成以下问题. (1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题？(2)如何用向量方法解决物理问题？(3)如何判断多边形的形状？1用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的了解，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系2向量在解析几何中的应用设直线l的倾斜角为，斜率为k，向量a(a1，a2)若向量a平行于直线l，则ktan ；若直线的斜率为k，则向量a平行于直线l

2、.3向量在物理中的应用(1)力向量力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算(2)速度向量一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示1若向量(2,2)，(2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1F2|为()A(0,5)B(4，1)C2 D5答案：D2在四边形ABCD中，·0，则四边形ABCD是()A直角梯形 B菱形C矩形 D正方形答案：C3力F(1，2)作用于质点P，使P产生的位移为s(3,4)，则力F对质点P做的功是_答案：114经过点A(1,2)，且平行于向量a(3,2)的直线方程是_答案：

3、2x3y80向量在平面几何中的应用题点一：平面几何中的垂直问题1.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE.证明：法一：设a，b，则|a|b|，a·b0，又ab，ba，所以··a2a·bb2|a|2|b|20.故，即AFDE.法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，(2,1)，(1，2)因为·(2,1)·(1，2)220，所以，即AFDE.题点二：平面几何中的平行(或共线)问题2.如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边

4、CD，AB上，且.求证：点E，O，F在同一直线上证明：设m，n，由，知E，F分别是CD，AB的三等分点，m(mn)mn，(mn)mmn.又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上题点三：平面几何中的长度问题3.如图，平行四边形ABCD中，已知AD1，AB2，对角线BD2，求对角线AC的长解：设a，b，则ab，ab，而|ab|2，52a·b4，a·b，又|2|ab|2a22a·bb2142a·b6，|，即AC.用向量方法解决平面几何问题的步骤向量在解析几何中的应用典例已知A(1,2)，直线l：4x3y90.求：(1)过点A且与直线l平行的直线方程；(2)

5、过点A且与直线l垂直的直线方程解直线l的斜率k，向量u与直线l平行(1)设P是过点A且与l平行的直线上的一动点，P的坐标是(x，y)，则(x1，y2)，当且仅当u，即1×(y2)×(x1)0时，所求直线与直线l平行整理得4x3y100，这就是所求的过点A且与直线l平行的直线方程(2)设Q(x，y)为一动点，则(x1，y2)，设点Q在过点A且垂直于l的直线上，则u·0，即1×(x1)×(y2)0，整理得3x4y50，这就是所求的过点A且与直线l垂直的直线方程利用方向向量及法向量求直线方程的关键(1)关键是探寻所求直线的方向向量同已知直线方向向量或

6、法向量的关系(2)常用结论如下：所求直线与已知直线平行，则和已知直线的方向向量平行，和已知直线的法向量垂直所求直线与已知直线垂直，则和已知直线的方向向量垂直，和已知直线的法向量平行 活学活用过点P(6，)的直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，若，求直线l的方程解：设A(a,0)，B(0，b)，则(6a，)，(6，b)，由，得所以从而直线l的斜率为k，所以直线l的方程是y(x6)，即x3y90.向量在物理中的应用典例(1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？(2)已知两恒力F1(3,4)，F2(6，5)作

7、用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功解(1)如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度因为，所以四边形ABCD为平行四边形在RtACD中，ACD90°，|12.5，|25，所以CAD30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.(2)设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为WF·s.(7,0)(20,15)(13，15)W1F1·(3,4)·(13，15)3×(13)4×(15)99(焦)，W2F2·(6，5)

8、83;(13，15)6×(13)(5)×(15)3(焦)一题多变1变设问本例(2)条件不变，求F1，F2的合力F为质点所做的功解：WF·(F1F2)·(3,4)(6，5)·(13，15)(9，1)·(13，15)9×(13)(1)×(15)11715102(焦)2变条件本例(2)条件变为：两个力F1ij，F24i5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)求：F1，F2分别对该质点做的功解：(7,0)(20,15)(13，15)，F1做的功W1

9、F1·sF1·(1,1)·(13，15)28(焦)F2做的功W2F2·sF2·(4，5)·(13，15)23(焦)用向量方法解决物理问题的“三步曲”层级一学业水平达标1已知三个力f1(2，1)，f2(3,2)，f3(4，3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4()A(1，2)B(1，2)C(1,2) D(1,2)解析：选D由物理知识知f1f2f3f40，故f4(f1f2f3)(1,2)2人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为()Av1v2 Bv1v2C|v1|v2| D.解析：选B由向量的

10、加法法则可得逆风行驶的速度为v1v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量3已知四边形ABCD各顶点坐标是A，B，C，D，则四边形ABCD是()A梯形 B平行四边形C矩形 D菱形解析：选A，(3,4)，即ABDC.又| ，|5，|，四边形ABCD是梯形4在ABC中，AB3，AC边上的中线BD，·5，则的长为()A1 B2C3 D4解析：选B，2·，即1.|2，即AC2.5已知ABC满足···，则ABC是()A等边三角形 B锐角三角形C直角三角形D钝角三角形解析：选C由题意得，2····()·2&

11、#183;，·0，ABC是直角三角形6在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·4，则P点的轨迹方程为_解析：由题意知，·(x，y)·(1,2)x2y4，故P点的轨迹方程为x2y4.答案：x2y47用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为_ N.解析：如图，由题意，得AOCCOB60°，|10，则|10，即每根绳子的拉力大小为10 N.答案：108已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|，则·_.解析：由弦长|AB|，可知ACB60

12、6;，··|cosACB.答案：9已知ABC是直角三角形，CACB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE2EB.求证：ADCE.证明：如图，以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系设ACa，则A(a,0)，B(0，a)，D，C(0,0)，E.所以，.所以·a·a·a0，所以，即ADCE.10已知ABC的三个顶点A(0，4)，B(4,0)，C(6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在直线方程解：(1)由已知得点D(1,1)，E(3，1)，F(2，2)，设M

13、(x，y)是直线DE上任意一点，则.又(x1，y1)，(2，2)，(2)×(x1)(2)×(y1)0，即xy20为直线DE的方程同理可求，直线EF的方程为x5y80，直线FD的方程为xy0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则.·0.又(x6，y2)，(4,4)，4(x6)4(y2)0，即xy40为所求直线CH的方程层级二应试能力达标1已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A10 m/sB2 m/sC4 m/s D12 m/s解析：选B设河水的流速为v1，小船在

14、静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|2，|v|10，vv1，v2vv1，v·v10，|v2|2(m/s)2在ABC中，AB3，AC2，则·的值为()A B.C D.解析：选C因为，所以点D是BC的中点，则()，()，所以·()·()()(2232)，选C.3.如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·，则·的值是()A. B2C0 D1解析：选A，··()···|，|1，|1，·()·()··(1)1

15、×222，故选A.4.如图，设P为ABC内一点，且220，则SABPSABC()A. B.C. D.解析：选A设AB的中点是D.2，P为CD的五等分点，ABP的面积为ABC的面积的.5若O为ABC所在平面内一点，且满足()·(2)0，则ABC的形状为_解析：()·(2)()·()()·()|2|20，|.答案：等腰三角形6.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°0.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为_J，重力所做的功为_

16、J(g9.8 m/s2)解析：物体m的位移大小为|s|(m)，则支持力对物体m所做的功为W1F·s|F|s|cos 90°0(J)；重力对物体m所做的功为W2G·s|G|s|cos 53°5×9.8××0.698(J)答案：0987.如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|2 N，方向为北偏东30°；|F2|4 N，方向为北偏东60°；|F3|6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功解：以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则F1(1，)，F2(2，2)，F3(3,3)，所以FF1F2F3(22,24)又位移s(4，4)，故合力F所做的功为WF·s(22