西工大、西交大自动控制原理 4.4 系统性能分析9-10

1、4.4 系统性能的分析系统性能的分析利用系统的根轨迹：利用系统的根轨迹：根据系统根据系统闭环零、极点闭环零、极点的的分布位置分布位置，分，分析系统的析系统的稳态性能稳态性能和和动态性能动态性能。控制过程控制过程：确定确定出系统在某一出系统在某一开环增益开环增益或或其它参量其它参量值下值下的的闭环极点闭环极点及及闭环零点闭环零点。根据根据性能要求性能要求确定确定系统的系统的参数参数。控制过程控制过程：对系统进行对系统进行校正。校正。4.4 系统性能的分析系统性能的分析根据系统的根据系统的开环传递函数开环传递函数作出系统的作出系统的根轨迹根轨迹之后，就之后，就可以可以利用根轨迹利用根轨迹确定确定在

2、某一参数在某一参数( (例如例如 、 或或 ) )值值下的下的闭环极点闭环极点。KT1闭环传递函数的确定闭环传递函数的确定控制过程控制过程：先用先用试探法试探法确定闭环确定闭环实极点实极点的数值，再用的数值，再用综合综合除法除法( (长除法长除法) )得到其余的闭环极点得到其余的闭环极点若在特定若在特定 ( (或或 ) )值下，只有一对复数极点值下，只有一对复数极点，则可直接在概略根轨迹上用上述方法获得闭，则可直接在概略根轨迹上用上述方法获得闭环极点。环极点。K*K特定特定 ( (或或 ) )值下的值下的闭环极点闭环极点：根据：根据幅值条件幅值条件来确定。来确定。*KK4.4 系统性能的分析系

3、统性能的分析闭环零点闭环零点和和闭环根轨迹增益闭环根轨迹增益 ：由前述闭环零、极点与：由前述闭环零、极点与 开环零、极点间的开环零、极点间的关系关系来直接确定。来直接确定。*闭K1闭环传递函数的确定闭环传递函数的确定控制过程控制过程：闭环根轨迹增益闭环根轨迹增益：就等于：就等于前向通道前向通道 的的根轨迹增益根轨迹增益 (对单位反馈系统，对单位反馈系统， 就等于就等于开环根轨迹增益开环根轨迹增益 )*闭K*GK*闭K*K)(sG闭环零点闭环零点：由：由前向通道前向通道 的零点的零点和和反馈通反馈通道道 的极点的极点组合而成组合而成( (对于单位反馈系统，对于单位反馈系统，闭环零点就等于开环零点

4、闭环零点就等于开环零点) )。)(sG)(sH4.4 系统性能的分析系统性能的分析因而可确定系统的闭环传递函数的因而可确定系统的闭环传递函数的 表达式为：表达式为： s niimjjsszsKsRsCs11*闭1闭环传递函数的确定闭环传递函数的确定*闭Kjzis闭环根轨迹增益闭环根轨迹增益闭环零点闭环零点 闭环极点闭环极点4.4 系统性能的分析系统性能的分析2拉氏变换确定系统的单位阶跃响应拉氏变换确定系统的单位阶跃响应 ssszsKsRssCniimjj111*闭 nktskniimjjkeAAssszsKth101111*sC闭L LL L其中：其中： 00A nkiiikkmjjksskk

5、ssszsKsssCAk11*闭4.4 系统性能的分析系统性能的分析 、 可由根轨迹图上用图解法求得：即可由根轨迹图上用图解法求得：即0AkA1*01mjjniizAKs闭11*11mmkjkjjjknnkkikkiiii ki kszszAKKssssss闭闭求出系统的单位阶跃响应求出系统的单位阶跃响应 后，可绘制出后，可绘制出 曲线，曲线，根据根据 曲线，就可以确定出系统的各项性能指标。曲线，就可以确定出系统的各项性能指标。 th th th2拉氏变换确定系统的单位阶跃响应拉氏变换确定系统的单位阶跃响应局限：局限：对于低阶系统容易；对于低阶系统容易； 高阶系统要得到高阶系统要得到 曲线很费

6、时，不便于应用曲线很费时，不便于应用 th4.4 系统性能的分析系统性能的分析 将闭环系统的将闭环系统的非主导极点非主导极点忽略忽略，而用闭环系统，而用闭环系统主导主导 极点极点代替闭环系统的全部极点，来估计系统的性能代替闭环系统的全部极点，来估计系统的性能 指标。指标。一般地，凡到虚轴的距离比主导极点到虚轴的距一般地，凡到虚轴的距离比主导极点到虚轴的距离大离大5倍以上的闭环极点都可忽略掉。倍以上的闭环极点都可忽略掉。经验表明，有时把大经验表明，有时把大23倍的闭环极点忽略掉所带倍的闭环极点忽略掉所带来的误差，工程上也是允许的。来的误差，工程上也是允许的。3主导极点法主导极点法回顾：主导极点法

7、回顾：主导极点法4.4 系统性能的分析系统性能的分析当系统的闭环极点与闭环零点距离非常近而构当系统的闭环极点与闭环零点距离非常近而构成闭环成闭环偶极子偶极子时，这个闭环极点所对应的瞬态时，这个闭环极点所对应的瞬态变量的系数就变得很小，此时该闭环极点所对变量的系数就变得很小，此时该闭环极点所对应的瞬态分量在应的瞬态分量在 中，就可以忽略掉。中，就可以忽略掉。故：经过这样略去非主导极点、零点及闭环偶极子故：经过这样略去非主导极点、零点及闭环偶极子后，一般高阶系统就变成了一、二阶系统。后，一般高阶系统就变成了一、二阶系统。分析一、二阶系统性能指标的公式或曲线，就分析一、二阶系统性能指标的公式或曲线，

8、就可以直接用来估计高阶系统的性能指标了。可以直接用来估计高阶系统的性能指标了。)(th3主导极点法主导极点法4.4 系统性能的分析系统性能的分析例例1单位单位负反馈系统的开环传递函数为：负反馈系统的开环传递函数为： 若要求闭环单位阶跃响应的若要求闭环单位阶跃响应的 ，试确，试确定开环增益。定开环增益。 64sssKsGgk%18% 3主导极点法主导极点法解：首先画出根轨迹。从根轨迹上看出，根轨迹与虚轴解：首先画出根轨迹。从根轨迹上看出，根轨迹与虚轴 的交点为的交点为+j5,-j5，这时的临界增益，这时的临界增益 。随。随 着着 的增加，主导极点越显著。所以可以用二阶的增加，主导极点越显著。所以

9、可以用二阶 系统的性能指标近似计算。系统的性能指标近似计算。gK240gpk4.4 系统性能的分析系统性能的分析-20-15-10-505-15-10-5051015Root LocusReal AxisImaginary AxisABaja1233主导极点法主导极点法4.4 系统性能的分析系统性能的分析由给定的性能指标，可计算出：由给定的性能指标，可计算出：%100%ctge2ctg/ 1%18% 603主导极点法主导极点法K在根轨迹上做出在根轨迹上做出两条与实轴夹角为两条与实轴夹角为 的直线，也的直线，也就是等就是等 线，则其与根轨迹的交点线，则其与根轨迹的交点A、B就是该三阶就是该三阶系

10、统的主导极点。系统的主导极点。通过求通过求A、B两点的坐标，可以确定这时的根轨迹增两点的坐标，可以确定这时的根轨迹增益益 ，进而求得开环增益，进而求得开环增益 。gK60K4.4 系统性能的分析系统性能的分析根据相角条件：根据相角条件：又已知：又已知：解得：解得：再由幅值条件可得：再由幅值条件可得：3主导极点法主导极点法设设A A点坐标为：点坐标为： 则：则：ja360aatg（1 1）12324arctan6arctankaaaa12321ktan3,31aatgXtgYtg XYtgXtgY1 . 2, 2 . 1aa164AsgsssK44gK4.4 系统性能的分析系统性能的分析由由根之

11、和法则根之和法则(闭环极点之和等于开环极点之和闭环极点之和等于开环极点之和)，可确，可确定出第三个闭环极点：定出第三个闭环极点：所以所以A、B点符合主导极点条件。点符合主导极点条件。开环增益与开环根轨迹增益间的关系为：开环增益与开环根轨迹增益间的关系为：所以当开环增益所以当开环增益 时，闭环系统的超调时，闭环系统的超调量量 。32 . 12 . 164s6 . 73s83. 16444K83. 1K%18% 3主导极点法主导极点法4.4 系统性能的分析系统性能的分析此时系统的闭环传递函数可写为：此时系统的闭环传递函数可写为：思考：若略去非主导极点后，系统的思考：若略去非主导极点后，系统的闭环传

12、递函数为何种形式？闭环传递函数为何种形式？是否可直接略去非主导极点，简化为：是否可直接略去非主导极点，简化为： 2447.62.41.444.41ssss单位阶跃作单位阶跃作用下用下无无稳态稳态误差误差 10 单位阶跃作单位阶跃作用下用下有有稳态稳态误差误差 10 85. 54 . 26 . 7442ssss3主导极点法主导极点法4.4 系统性能的分析系统性能的分析3主导极点法主导极点法00.511.522.533.544.550123456789Step ResponseTime (sec)Amplitude4.4 系统性能的分析系统性能的分析这是因为在略去非主导极点或偶极子时，闭环这是因为

13、在略去非主导极点或偶极子时，闭环系统的根轨迹增益可能会发生变化。所以不能系统的根轨迹增益可能会发生变化。所以不能简单地只是直接略去非主导极点或偶极子。简单地只是直接略去非主导极点或偶极子。此时系统略去主导极点后的闭环传递函数应写此时系统略去主导极点后的闭环传递函数应写为：为： 85. 54 . 285. 52sss3主导极点法主导极点法4.4 系统性能的分析系统性能的分析3主导极点法主导极点法00.511.522.533.544.5500.20.40.60.811.21.4Step ResponseTime (sec)Amplitude4.4 系统性能的分析系统性能的分析4系统性能的定性分析系

14、统性能的定性分析1 1稳定性稳定性稳定性只与闭环极点位置有关，如果闭环极点全部稳定性只与闭环极点位置有关，如果闭环极点全部位于位于 平面的左半平面，则系统稳定。平面的左半平面，则系统稳定。s2 2运动形式运动形式如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极点，则如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极点，则时间响应是单调的；若闭环极点均为复数极点，时间时间响应是单调的；若闭环极点均为复数极点，时间响应一般是振荡的。响应一般是振荡的。4.4 系统性能的分析系统性能的分析4系统性能的定性分析系统性能的定性分析3 3超调量超调量4 4调节时间调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实部绝对主要取决于

15、最靠近虚轴的闭环复数极点的实部绝对值值 ；若实数极点距离虚轴最近，且附近；若实数极点距离虚轴最近，且附近没有其它实数零点，则调节时间主要取决于该实数没有其它实数零点，则调节时间主要取决于该实数极点的模值。极点的模值。n 1主要取决于闭环复数主导极点的主要取决于闭环复数主导极点的 ，并与其它闭环零、极点接近坐标原点的程度有关。，并与其它闭环零、极点接近坐标原点的程度有关。211d4.4 系统性能的分析系统性能的分析4系统性能的定性分析系统性能的定性分析5 5实数零、极点的影响实数零、极点的影响6 6偶极子及其处理偶极子及其处理偶极子远离坐标原点时，它们对系统性能的影响可忽偶极子远离坐标原点时，它

16、们对系统性能的影响可忽略不计；当其接近原点时，其影响就必须考虑。略不计；当其接近原点时，其影响就必须考虑。 零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大； 极点增大系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小极点增大系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。这种作用随其接近坐标原点的程度而加强。这种作用随其接近坐标原点的程度而加强。4.4 系统性能的分析系统性能的分析4系统性能的定性分析系统性能的定性分析7 7主导极点主导极点 在在 平面上，最靠近虚轴而附近又无闭环零点的平面上，最靠近虚轴而附近又无闭环零点的 一些闭环极点，对系统性能影响最大，称为主导一些闭环极

17、点，对系统性能影响最大，称为主导 极点。极点。 凡比主导极点的实部大凡比主导极点的实部大6 6倍以上的其它闭环零、极倍以上的其它闭环零、极 点，其对系统的影响均可忽略不计。点，其对系统的影响均可忽略不计。s4.4 系统性能的分析系统性能的分析 例例2 2 ：设系统：设系统A A和和B B有相同的被控对象，且有相同的根轨迹，如有相同的被控对象，且有相同的根轨迹，如下图所示。已知系统下图所示。已知系统A A有一个闭环零点，系统有一个闭环零点，系统B B没有闭环零点。没有闭环零点。试求系统试求系统A A和和B B的开环传递函数和它们所对应的闭环方块图。的开环传递函数和它们所对应的闭环方块图。5应用举

18、例应用举例4.4 系统性能的分析系统性能的分析系统系统A A和和B B的闭环传递函数分别为：的闭环传递函数分别为： 211211211222sssksssksksssksDsksA 211212222sssksskskssksDksB5应用举例应用举例 解解 ：由于两系统的根轨迹完全相同，因而它们对应的开环由于两系统的根轨迹完全相同，因而它们对应的开环传递函数和闭环特征方程式也完全相同。由上页图可知系统传递函数和闭环特征方程式也完全相同。由上页图可知系统A A和和B B的开环传递函数为：的开环传递函数为：特征方程为：特征方程为： sHsGk212sssksG 122sksssD4.4 系统性能的分析系统性能的分析由此可知，系统A是一单位反馈系统，前向通路的传递函数为： 。系统B的前向通路传递函数为： ，反馈通路传递函数为： 。由于系统A和B有相同的被控对象，因此，系统的A的前向通路传递函数可写为： ，闭环结构图如下图（a）所示，系统B的闭环结构图如下图（b）所示。212sssk22ssk1s212ssks1s)2(2ssk)(sC)(sRA系统1s)2(2ssk)(sC)(sRB系统 根轨迹相同的系统，开环传