高二数学竞赛模拟试卷（2）

1、高二数学竞赛模拟试卷（2） 班级 姓名 一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1函数与的定义域和值域都是，且都有反函数，则函数的反函数是（ ） 2集合由满足如下条件的函数组成：当时，有 ，对于两个函数，以下关系中成立的是（ ） 中，则比式等于 4抛物线上两点关于直线对称，若，则的值是（ ）.5椭圆的中心，右焦点，右顶点，右准线与轴的交点依次为，则 的最大值为（ ）. 不能确定.6函数的值

2、域为（ ）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.7若，则 .8数列由全体正奇数自小到大排列而成，并且每个奇数连续出现次，如果这个数列的通项公式为则 9为实数，满足，则 的最大值为 .10若集合中的每个元素都可表为中两个不同的数之积，则集中元素个数的最大值为 .11作出正四面体每个面的中位线，共得条线段，在这些线段中，相互成异面直线的“线段对”有 个.12用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段上的两个顶点皆不同色，则不同的染色方法有 种.三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13设为正数，证明

3、： 14已知二次函数（1）若变化时，它们的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，过这三个交点作圆，证明这些圆都经过同一定点，并求出这个定点的坐标。（2）若此二次函数的图象经过点（1，1），且记两数中较大者为P，试求P的最小值。15设是质数，且的不同正因数的个数不超过个求高二数学竞赛模拟试卷（2）参考答案二、 选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1函数与的定义域和值域都

4、是，且都有反函数，则函数的反函数是（ ） 答：C.解：由依次得 ，互易得 .2集合由满足如下条件的函数组成：当时，有 ，对于两个函数，以下关系中成立的是（ ） 答：D.解：，取，则.中，则比式等于 答：解：如图易知，因此选4抛物线上两点关于直线对称，若，则的值是（ ）.答：解：由以及得 ， 5椭圆的中心，右焦点，右顶点，右准线与轴的交点依次为，则 的最大值为（ ）. 不能确定.答：解： .（时取等号）6函数的值域为（ ）答：.解：的定义域为则，令，则因，则 .二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.7若，则 .答： .解：由条件得，则.8数列由全体正奇

5、数自小到大排列而成，并且每个奇数连续出现次，如果这个数列的通项公式为则 答：.解：由，即当 时， ，所以 ，于是，9为实数，满足，则 的最大值为 .答： .解：设，则 ，（当时取等号）.10若集合中的每个元素都可表为中两个不同的数之积，则集中元素个数的最大值为 .答：.解：从中每次取一对作乘积，共得个值，但其中有重复，重复的情况为，共种，因此集合中至多有 个数 .11作出正四面体每个面的中位线，共得条线段，在这些线段中，相互成异面直线的“线段对”有 个.答：个“线段对”.解：任取一条中位线考虑，所在的侧面没有与异面的线段；含点的另一个侧面恰有一条中位线与异面；含点的另一个侧面恰有一条中位线与异

6、面；不含的侧面恰有两条中位线与异面；因此与异面的中位线共有条，即含有线段的异面“线段对”共有个，于是得异面“线段对”个，（其中有重复）.但每一个异面“线段对”中有两条线段，故恰被计算了两次，因此得个异面“线段对”.12用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段上的两个顶点皆不同色，则不同的染色方法有 种.答：种. 解： 将其转化为具有五个扇形格的圆盘染五色，使邻格不同色的染色问题。设有个扇形格的圆盘染五色的方法数为，则有，于是三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13设为正数，证明： 证：对归纳，时显然成立等号；设时结论对于任意个正数成立

7、，当时，对于任意个正数，据假设有，5分所以 只要证， 平方整理，只要证， 10分由柯西不等式 15分即 所以即成立，因此当时结论成立.故由归纳法知，所证不等式成立. 20分14已知二次函数（1）若变化时，它们的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，过这三个交点作圆，证明这些圆都经过同一定点，并求出这个定点的坐标。（2）若此二次函数的图象经过点（1，1），且记两数中较大者为P，试求P的最小值。 解答： （2）由过点（1，1）得到：（9分）如图所示，当时（12分）15设是质数，且的不同正因数的个数不超过个求解：当时，有个正因数；当时，有个正因数所以、满足条件当时，其中为奇质数，所以与是相邻的两个偶数，从