5函数的奇偶性和周期性

1、高考第一轮复习台山市李谭更开纪念中学数学组杨义清2奇、偶函数的性质奇、偶函数的性质(1)图象特征：图象特征：奇函数的图象关于奇函数的图象关于_对称，偶函数的图象关于对称，偶函数的图象关于_对称对称原点原点y轴轴奇偶性奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数定义定义如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x都有都有_，那么函数那么函数f(x)是奇函数是奇函数都有都有_，那么函数那么函数f(x)是偶函数是偶函数.1奇函数、偶函数的定义奇函数、偶函数的定义f(x)f(x)f(x)f(x)(2)对称区间上的单调性：奇函数在关于原点对称的对称区间上的单调性：奇函数在关于原点对称的两

2、个区间上有两个区间上有_的单调性；偶函数在关于原的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有点对称的两个区间上有_的单调性的单调性(3)奇函数图象与原点的关系：奇函数图象与原点的关系：如果奇函数如果奇函数f(x)在原点有意义，则在原点有意义，则f(0)_ .(4)设设f(x)，g(x)的定义域分别是的定义域分别是D1，D2，那么在它们，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，的公共定义域上：奇奇奇，奇奇奇偶，奇偶，偶偶偶，偶偶偶，偶偶偶偶，偶偶，奇奇偶奇偶奇相同相同相反相反03周期性周期性若若f(x)对于定义域中任意对于定义域中任意x均有均有_ (T为不等于为不等于0的常数的常数)，则，则f(x)为

3、周期函数为周期函数若若T是函数是函数yf(x)的一个周期，则的一个周期，则nT(nZ，且，且n0)也是也是f(x)的周期的周期f(xT)f(x) 【解析【解析】A选项中的函数为非奇非偶函数选项中的函数为非奇非偶函数B、C、D选项中的函数均为奇函数，但选项中的函数均为奇函数，但B、C选项中选项中的函数不为增函数的函数不为增函数 【答案】D【解析【解析】D(x)的值域是的值域是0，1，选项，选项A正确当正确当x是是有理数时，有理数时，x也是有理数，且也是有理数，且D(x)1，D(x)1，故，故D(x)D(x)，当，当x是无理数时，是无理数时，x也是无也是无理数，且理数，且D(x)0，D(x)0，即

4、，即D(x)D(x)，故故D(x)是偶函数，选项是偶函数，选项B正确当正确当x是有理数，是有理数，D(xa)1D(x)；当；当x是无理数时，是无理数时，D(xb)D(x)0，故，故D(x)是周期函数，选项是周期函数，选项C不正确显然不正确显然D(x)不不是单调函数，选项是单调函数，选项D正确正确 【答案【答案】C5已知定义在已知定义在R上的奇函数上的奇函数f(x)，满足，满足f(x4)f(x)，则则f(8)的值为的值为()A1 B0 C1 D2【解析【解析】f(x4)f(x)，f(x)是以是以4为周期的周期函数，为周期的周期函数，f(8)f(0)又函数又函数f(x)是定义在是定义在R上的奇函数

5、，上的奇函数，f(8)f(0)0.【答案【答案】B2、根据奇偶性求函数的解析式、根据奇偶性求函数的解析式 已知定义在已知定义在R上的奇函数满足上的奇函数满足 ：当：当x0时，时， f(x)x22x， 则当则当x0时，时， f(x) 。解：当解：当x0, f(-x)(-x)22(-x)= x2-2x， 又又f(x)是奇函数，是奇函数， f(x)f(x)，f(-x) x2-2x= f(x) ， f(x)-x22x【答案【答案】-x22x3、根据奇偶性、单调性解不等式、根据奇偶性、单调性解不等式(求取值范围求取值范围)1、已知定义在、已知定义在R上的奇函数满足上的奇函数满足f(x)x22x(x0)，

6、若若f(3a2)f(2a)，则实数，则实数a的取值范围是的取值范围是_ 解：当解：当x0时，时，f(x)x22x(x1)21，函数函数f(x)在在0，)上为增函数，上为增函数，又函数又函数f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，且上的奇函数，且f(0)0.函数函数f(x)在在R上是增函数，上是增函数，由由f(3a2)f(2a)，得得3a22a，解得，解得3a1. 【答案【答案】（3，1)A 易漏掉对易漏掉对变量取值变量取值的限制！的限制！【解析【解析】(1)设设x0，则，则x0，f(x)(x)2xx2x，f(x)ax2bx.又又f(x)f(x)，a1，b1，ab0.4、根据奇偶性求值、根据奇偶性

7、求值求f(-1)是解本题的关键！3周期性周期性若若f(x)对于定义域中任意对于定义域中任意x均有均有_ (T为不等于为不等于0的常数的常数)，则，则f(x)为周期函数为周期函数若若T是函数是函数yf(x)的一个周期，则的一个周期，则nT(nZ，且，且n0)也是也是f(x)的周期的周期f(xT)f(x)4、根据周期性求值、根据周期性求值求周期是关键！求周期是关键！求一个周期的和！f(1)f(2)f(2 010)12 0106335.而 f(2 011)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(1)f(2)f(3)f(4)12102，f(1)f(2)f(2 014)3352337.(2013福州模拟福州模拟)设设f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，上的奇函数，且对任意实数且对任意实数x，恒有，恒有f(x2)f(x)当当x0，2时，时，f(x)2xx2. (1)求证：求证：f(x)是周期函数；是周期函数； (2)计算计算f(0)f(1)f(2)f(2 013) 【思路点拨【思路点拨】证明证明f(x4)f(x)，进而运用周期，进而运用周期性与奇偶性求解性与奇偶性求解解：解：(1)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为是周期为4的周期函数的周期函数(2)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)f(1