七年级数学上册《绝对值》竞赛讲义 （新版）苏科版

1、绝对值【图解考点】【技法透析】1绝对值的基本性质在含有绝对值式子的运算及变形中，绝对值的性质有很重要的作用，其主要性质有：若a、b为有理数，则：(1)非负性：0；若0，则ab0；(2)若，则a±b；(3)；（b0）；特别关注：若干个非负数之和为0，则这几个非负数必须同时为0，即：0，则abn02去绝对值符号的方法 去掉绝对值符号是绝对值化简的关键，而绝对值符号内的数（或式）的正负性的判断是化简的关键，在实际运用中常见的去绝对值符号的方法有： (1)由已知条件去绝对值 (2)从数轴上“读取”相关信息，运用数形结合去绝对值 (3)运用“零点分段法”分类讨论去绝对值，特别关注：对于多个绝对

2、值问题，其解题思路为：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成若干个区间，再在各区间内化简求值即可3绝对值方程 (1)最简单的绝对值方程为a，它的解法情况如下： 当a>0时，方程有两解：xa或xa， 当a0时，方程有一解：x0， 当a<0时，方程无解 (2)解绝对值方程的一般步骤 求出各个零界点 根据未知数的取值范围分类讨论 去绝对值符号，化为一般方程求解，在转化过程中，经常荽用到分类讨论，数形结合等方法在解题过程中，要充分利用绝对值的意义和性质，善于观察，发掘题目中的隐含条件，从而简化解题过程特别关注：对于解绝对值方程，零点

3、分段法是一种非常重要的方法4绝对值的几何意义在生活中的应用 在实际生活中经常要通过借助数轴模型使复杂的数量关系形象化，简单化，同时又使实际问题数学化，从而运用绝对倌的几何定义求解一般地，设a1，a2，a3，an是数轴上依次排列的点表示的有理数，对于，则： (1)当n为奇数时，此式在x时取最小值； (2)当n为偶数时，此式在x时取最小值【名题精讲】赛点1绝对值的化简例1 _ 【切题技巧】脱去绝对值符号是绝对值化简的切入点，而对绝对值符号中的正负性的判断是化简的关键，本例若直接化简会很繁锁，应从的性质入手，由题中条件可知，每一绝对值符号内均为负数，于是有当a<0时a【规范解答】原式= 【借题

4、发挥】绝对值化简关键是要去掉绝对值符号，而要去掉绝对值符号，先要对绝对值符号中的数（或式）的正负性进行判断去掉绝对值符号有三种方法，本例可以由已知条件直接判断各个绝对值符号内均为负数，于是可以利用1a1的性质顺利达到去掉绝对值符号的目的 【同类拓展】1有理数a，b的大小关系如图，则的值是( D ) A0 B1 C2 D3赛点2绝对值的分类讨论例2 若abc<0，abc>0，且x，试求代数式(12x)20162016 x2016的值 【切题技巧】解决本题的关键是对a、b、c的符号的所有可能情况进行分类讨论，由abc<0可知a、b、c中有一个或三个全为负数，又由abc>0知

5、a、b、c不可能全为负数，所以a、b、c中有一个负数，两个正数【规范解答】由abc<0，可知a、b、c中有一个负数或三个全为负数，又由abc>0知a、b、c不可能全为负数，所以可得a、b、c中有一个负数，两个正数，依x的轮换性，不妨设a>0、b>0、c<0则：所以原代数式的值为：(12×1)20162016×120161201620161 【借题发挥】解含绝对值符号的化简求值题的关键，在于善于运用已知条件去掉绝对值符号，而用分类讨论法是能达到去掉绝对值符号的常用方法在分类讨论时，分类要全面、准确、不失一般性【同类拓展】已知有理数x，y，z满足x

6、y<0，yz>0，且3，2，求xyz的值 2 赛点3 求的最小值 【规范解答】由绝对值的几何意义知1xa1在数轴上表示数x与数a两点之间的距离，故求原式的最小值就是在数轴上找出表示x的点，使它到1，2，3，2015，2016的点的距离和最小【规范解答】由绝对值的几何意义可知：求原式的最小值，就是在数轴上找出表示x的点，使它到1，2，3，2016的点的距离之和最小， 可看出当1008x1009时，原式的值最小，把x1008代入原式中得：原式=1007+1006+1005+1+0+1+2+3+1008=2（1+2+3+1007）+1008【借题发挥】(1)由绝对值的几何意义可知如图当a

7、xb时，的值最小，如图当xb时，的值最小 (2)一般地，设a1，a2，a3an是数轴上依次排列的点表示的有理数，若n为奇数，则当x时，的值最小；若n为偶数，则当ax时， 的值最小 (3)在实际牛活中，有时需借助数轴模型，使实际问题数学化，从而运用绝对值的几何定义解决问题 如某公共汽车运营线路AB段上有A、B、C、D四个汽车站，如图所示，现在要在AB段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A、B、C、D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何处最好？求最小路程总和，即求M到A、B、C、D的距离和最小，不妨设A、B、C、D四点在数轴上且分别表示为数a，b，c，d(a<c

8、<d<b)，点M表示的数为工，则点M到A、B、C、D四点距离和为由绝对值几何定义可求解【同类拓展】3某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺次有电脑15台、7台、11台、3台、14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最少？并求出调出电脑的最少总台数一小向二小调3台，三小向四小调出1台，五小向四小调出6台，一小向五小调出2台，这样调出的电脑总数最小数目为12台赛点4绝对值方程 例4 解方程【规范解答】解含绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可采用“零点分段法”，即令x20，2x10，分别得到x2，x用2，将数轴分成三段：【规范解答】 【借题发挥】