微分中值定理与应用

1、第五讲：微分中值定理与应用一、单项选择题（每小题4分，共24分）1、已知，则有 （B）A一个实根 B两个实根 C 三个实根 D无实根 解：（1）在满足罗尔定理条件故有（）综上所述，少有两个实根，至多有两个根，故选 2下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是 （D）ABCD解：，满足罗尔定理条件故选 D3设曲线，则其拐点坐标为（C）A0 B（0，1）C（0，0）D1解：令得当时，故（0，0）为曲线的拐点 C4若内必有（C）ABCD解：凹弧如示意图，故有5设 在取得极值。则为（）A BC D解： 得得答案选6下列命题中正确的是-（B）A 为极值点，则必有B 若在点 处可导，且 为 的极值点，则必有C

2、 若在（）有极大值也有极小值则极大值必大于极小值。D 若则点必有的极值点。解：可导函数的极值点一定是驻点，故有=0 选B二、填空题（每小题4分，共24分）7设可导，且的极小值。则解：原式=8的单调增加区间为解：（1）定义域（2）当0<x<e 时。 故的单调增区间为（0，e）9的极小值是解：（1）（2）令，驻点是不可导点x1+_+单调增单调减极小单调增（3）极小值10的最大值为 1 解：（1）是的不可导点。（2）（3）最大值为11曲线的水平渐进线为解：直线是曲线的一条水平渐进线12函数在1，2满足拉格朗日中值定理条件的解：（1）=（2） 三、计算题（每小题8分，共64分） 13.已知

3、在区间满足拉格朗日中值定理条件，求解： ，14求函数的单调区间与极值。解：（）驻点，的不可导点（2）x-10+-+极大极小（3）极大值，极小值， 在单调减在单调增15 求由方程所确定 的极值。解：（1）求驻点：令驻点（2）判别极值点当时 代入上式2+0+0+0+=为极大值点，（3）极大值16求在区间，4上的最大值，最小值。解：（ 1）令， 为不可导点 （2）（3）比较上述函数的大小最小值为 ，最大值为 0 17求曲线的凹凸区间与拐点。解：（1）定义域（-，+）（2） 令得； 不存在的点为（3）列表（-，0）0（0，1）1（1，+）+0不存在+凹拐点凸拐点凹答：拐点（0，）及（1，）；，为凹区间

4、，（0，1）为凸区间。18求曲线的水平渐近线与垂直渐近线。解：（1）是曲线的一条水平渐近线。（2）是曲线的另一条水平渐近线（3）为曲线的一条垂直渐近线19判别函数在的单调性。解：（1）（）令且（3）在单调减。20设确定单调的区间。解：（1）故有为驻点 （2）当时，时， （3）除外，在单调增加。四、综合题（每小题10分，共分）21 已知函数的图形上有一拐点（2，4），在拐点处曲线的切线斜率为，而且该函数满足，求此函数解（1）已知；（2）求常数，（3）求：， 由（4）求函数y:答：所求函数y=22 利用导数描绘的图形解：（1）定义域，非奇非偶函数（2）求驻点和的点，令，驻点，令，得（3）列表x1(1,2)2+_+y极大拐点极大值，拐点（4）渐近线与函数变化趋势是曲线的一条水平渐进线，（5）描点作图当时五、证明题（每小题9分，共18分）23 设存在且单调增加，证明当时单调增加证明：1）令当时，单调增加故有单调增加24 设证明，证