微分几何陈维桓

1、习题答案1p.41 习题2.3 1. 求下列曲线的曲率：(2) ；(4).解. (2)，, , , .(4)，,， ，().4. 求曲线在处的曲率和密切平面方程. 解. 设曲线的弧长参数方程为, ，. 则满足题给的方程组，所以有.对上式求导得. (1)再求导，得. (2)在处，由(1)解出，. 不妨设. 所以.代入(2)得.所以，.于是.所以在处，曲率为，密切平面方程为，即.7. 证明：若一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点，则它必定是一条直线. 证明. 设曲线的弧长参数方程为，它的Frenet标架为，曲率和挠率分别为. 再设定点为(常向量). 由条件，和都在的过点的切线上，所以. 故可设

2、.对上式求导，利用Frenet公式可得.所以，是直线. p. 47 习题2.4 1. 计算习题2.3第1题中各曲线的挠率. (2) ；(4) .解. (2) ，, ，. (4)，,， ，, (). 4. 假定是正则弧长参数曲线，它的挠率，曲率不是常数，并且， (1)其中为常数. 证明该曲线落在一个球面上. 证明. 由条件(1)，求导得.因为不是常数，上式说明. (2)设它的Frenet标架为. 考虑向量函数. (3)对上式求导，利用Frenet公式和(2)式，得.所以是常向量. 代入(3)得到，.这说明在以为中心，以为半径的球面上. 10. 设是单位球面上经度为，纬度为的点的轨迹. 求它的参数

3、方程，并计算它的曲率和挠率. 解. 单位球面的参数方程为，.其中为经度，为纬度. 将代入，得曲线的参数方程.于是，.，.,.所以，.p. 55 习题2.51，6. 设正则曲线的曲率处处不为零. 则下述命题是等价的：(a)是一般螺线(即的切向量与固定方向成定角)；(b)的主法线与固定平面平行；(c)的挠率与曲率之比是常数. 证明. 设曲线的弧长参数方程为，它的Frenet标架为，曲率和挠率分别为.(a)(b). 设固定方向的单位向量为. 则是常数. 因为，求导得到，即主法线方向与固定方向垂直. 所以主法线与以为法向量的一个固定平面垂直. (b)(c). 设固定平面的单位法向量为. 则. 于是.

4、这说明是常数，其中. 因为，可设.用与等式两边作内积，得是常数. 再由是单位向量可知也是常数. 不妨设，则上式成为求导得到.所以是常数. (c)(a). 设是常数. 令.则.所以是常向量，从而切方向与固定方向成定角. 4. 证明：曲线和曲线可以通过刚体运动彼此重合. 证明. 对曲线作参数变换，可知是圆柱螺线：. ()它的曲率和挠率分别为，. 因此只要证明曲线的曲率，挠率，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合. 直接计算可得，.，. 注. 此类证明题，一般是由等式确定一个函数，然后证明. p. 63 习题2.62. 作正则参数曲线关于一张平面的对称曲线. 证明：曲线和在对应点的曲

5、率相同，挠率的绝对值相同而符号相反. 证明. 设曲线的弧长参数方程为，它的Frenet标架为，曲率和挠率分别为. 再设是过定点，以为单位法向量的平面.由上图可见在方向的投影向量，从而在平面上的投影向量.同理，在方向的投影向量. 用表示关于平面的对称点. 由于是和的中点，所以求导得，.所以也是的弧长参数. 设的Frenet标架为，曲率和挠率分别为和. 则.再求导，得.于是，.由此得. 所以有，. 3. 如果正则参数曲线的向径关于弧长的阶导数是，求它的阶导数. 解. 由Frenet公式可得p. 69 习题2.74. 假定曲线和曲线的曲率处处不为零，且它们之间存在一一对应，使得曲线在每一点的主法线是

6、曲线在对应点的次法线. 证明：曲线和在对应点之间的距离为常数，并且曲线的曲率和挠率满足关系式.证明. 设曲线和的弧长参数方程分别为和，它们之间的一一对应由函数关系给出. 再设它们的Frenet标架分别为和，曲率和挠率分别为和.由条件，可设， (1)， (2)其中. 对(1)式两边求导，得. (3)再用(2)两边分别与(1)两边作内积，得，所以为常值函数. 这说明和在对应点之间的距离为常数.将(3)重写为. (4)上式再求导，得.用(2)两边分别与上式两边作内积，得. 因为，所以，即有.8. 证明：圆柱螺线的渐伸线是落在与其轴线垂直的平面内的一条曲线，并且它也是圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线的

7、渐伸线. 证明. 1.以圆柱螺线的轴线为轴，建立空间直角坐标系. 它的参数方程为. 因为，从开始计算的弧长为. 由于单位切向量为，根据定理7.3，渐伸线方程为，其中是任意一个取定的常数. 记. 则渐伸线方程可以写成. (1)它是落在与其轴线(轴)垂直的平面内的一条曲线. 2. 圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线是平面内的一个圆.它的弧长为. 单位切向量为.所以它的一般的渐伸线方程为. (2)在(2)中取，就得到上面的渐伸线(1).注. 在工业上，圆的渐伸线一般被用来作为齿轮的齿廓线. p.75 习题2.8 1. 求下列平面曲线的相对曲率. (2) 双曲线：，.(4) 摆线：，.(6) 曳物线：，.解.(2)，.(4)，.(6)，.2. 设平面曲线在极坐标系下的方程是，其中是极距，是极角. 求曲线的相对曲率的