2412--垂直于弦的直径

1、问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ? 它的主桥是圆它的主桥是圆弧形弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离) )为为7.2m7.2m，你能你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？赵州桥主桥拱的半径是多少？ 实践探究实践探究把一个圆沿着它的任意一条直把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？么？由此你能得到什么结论？可以发现：可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直圆是轴

2、对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴径所在直线都是它的对称轴如图，如图，ABAB是是O O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CDCD，使，使CDCDABAB，垂足为，垂足为E E（1 1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2 2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE活活 动动 二二（1 1）是轴对称图形）是轴对称图形直径直径CDCD所所在的在的直线直线是它的对称轴是它的对称轴（2 2） 线段：线段： AE=BEAE=BE弧弧:AC=BC,AD=BD把圆沿着直径把圆沿着直

3、径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个两侧的两个半圆重合，点半圆重合，点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合，AC , AD分别与分别与BC 、BD重合重合OEDCBA垂径定理垂径定理: :垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对平分弦，并且平分弦所对的两条弧。的两条弧。即：即：如果如果CDCD过圆过圆心，且垂直于心，且垂直于ABAB，则，则AE=BE,AD=BD,AC=BC 注意注意: :过圆心过圆心和和垂直于弦垂直于弦两个两个条件缺一不可。条件缺一不可。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧几何语

4、言：几何语言：CD是直径是直径,AB为为 O的弦的弦, 且且OBCDAE，“知二推三知二推三” (1)(1)垂直于弦垂直于弦 (2)(2)过圆心过圆心 (3)(3)平分弦平分弦 (4)(4)平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 (5)(5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧注意注意: :当具备了当具备了(2)(3)(2)(3)时时, ,应对另一应对另一 条弦增加条弦增加”不是直径不是直径”的限制的限制. .n你可以写出相应的命你可以写出相应的命题吗题吗?垂径定理的推论垂径定理的推论 如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条只要具备其中两个条件件, ,就可推出其余三就可推出其余三

5、个结论个结论. .OABCDM CD是直径是直径, AM=BM, CDAB, AC=BC,AD=BD.垂径定理及推论垂径定理及推论条件结论命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经

6、过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并并且平分弦所对的另一条弧且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.(4)若若 ，CD是直径是直径,则则 、 、 .(1)若若CDAB, CD是直径是直径, 则则 、 、 .(2)若若AM=MB, CD是直径是直径, 则则 、 、 .(3)若若CDAB, AM=MB, 则则 、 、 .如图所示如图所示:练习练习

7、OABCDMAM=BM AC=BC AD=BD CDAB AC=BC AD=BD CD是直径是直径 AC=BC AD=BD AC=BC CDABAM=BM AD=BD E EO OA AB BD DC CE EA AB BC CD DE EO OA AB BD DC CO OB BA AE EE EO OA AB BC CE EO OC CD DA AB B 练习练习在下列图形中，你能否利用垂径在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的弧定理找到相等的线段或相等的弧一、判断是非：一、判断是非：（1 1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2 2）

8、平分弦的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，必定过圆心。（3 3）一条直线平分弦（不是直径），）一条直线平分弦（不是直径）， 那么这那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)(4)(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5 5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。（6 6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7 7）平分弦的直径垂直于弦。）平分弦的直径垂直于弦。填空：填空：1、如图：已知、如图：已知AB

9、是是 O的直径，弦的直径，弦CD与与AB相交于相交于点点E，若，若_，则则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）（只需填写一个你认为适当的条件）2、如图：已知、如图：已知AB是是 O的弦，的弦，OB=4cm，ABO=300，则，则O到到AB的距离是的距离是_cm，AB=_cm.。OAEDCB。 OAB第第1题图题图第第2题题图图ABCD（或（或AC=AD，或，或BC=BD）24H弦心距弦心距.选择：选择：如图：在如图：在OO中，中，ABAB为直径，为直径，CDCD为非直径的弦，对为非直径的弦，对于（于（1 1）ABCD ABCD （2 2）ABAB平分平分CD CD （3 3）ABAB平分

10、平分CDCD所所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为构成三个命题，其中真命题的个数为 （ ）A A、3 B3 B、2 2 C C、1 D1 D、0 0。OCDBAA1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求求 O的半径的半径OAB练习练习活活 动动 三三OABC 已知已知A A、B B、C C是是OO上三点，且上三点，且AB=ACAB=AC，圆心圆心O O到到BCBC的距离为的距离为3 3厘米，圆的半径为厘米，圆的半径为5 5厘米，求厘米，求ABAB长。

11、长。DD试一试试一试OABCOABOAB 已知已知OO的半径为的半径为5 5厘米，弦厘米，弦ABAB的长为的长为8 8厘米，求此弦的中点到这条弦所对的弧厘米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。的中点的距离。 EEDD练习练习2 2如图，在如图，在O O中，中，ABAB、ACAC为互相垂直且为互相垂直且相等的两条弦，相等的两条弦，ODODABAB于于D D，OEOEACAC于于E E，求证四边形求证四边形ADOEADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEA

12、CADAB， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形. OEAC ， ODAB判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧分弦，必平分此弦所对的弧 弓形的弦长为弓形的弦长为6cm6cm

13、，弓形的高为，弓形的高为2cm2cm，则这弓形所在的圆的半径则这弓形所在的圆的半径为为. D C A B O134cm你能利用垂径定理解决求赵州你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗桥拱半径的问题吗? ?37.4m7.2mABOCE2 5cm已知已知P为为 O内一点内一点,且且OP=2cm,如果如果 O的半径是的半径是3cm,那么过那么过P点的最短的弦等于点的最短的弦等于_小小 结结直径平分弦直径平分弦 直径垂直于弦直径垂直于弦=直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦直径垂直于弦 直径平分弦（不是直径）直径平分弦（不是直径）直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的

14、弦直径平分弧所对的弦 直径平分弧直径平分弧 直径垂直于弧所对的弦直径垂直于弧所对的弦=、圆的轴对称性、圆的轴对称性、垂径定理及其推论的图式、垂径定理及其推论的图式 如图，已知如图，已知ABAB是是OO的弦，的弦，P P是是ABAB上一上一点，点，AB=10cm,PB=4cm,PO=5cmAB=10cm,PB=4cm,PO=5cm则则OO的的半径等于半径等于 cmcm名题引路?0?A?B?PC72 2、如图，点、如图，点P P是半径为是半径为5 cm5 cm的的OO内内一点，且一点，且OP=3cm, OP=3cm, 则过则过P P点的弦中，点的弦中，（1 1）最长的弦）最长的弦= = cmcm（2 2）最短的弦）最短的弦= = cmcm顺利闯关 ?O?PABCD108如图，如图， O的直径的直径AB=16cm，M是是