[总结四] 各章范例精选 - 台州学院

1、总结四： 各章范例精选第一章 质点运动学习题例1. 有一椭圆规尺以其端点A与B沿直线槽OX及OY滑动，如图所示，而端点B以匀速C运动。求规尺上一点M的速度与加速度的大小。已知AM = a，BM = b。 说明：此题是根据已知运动情况写出运动学方程，然后求速度和加速度。属质点运动学第一类问题。例2. 有一划平面曲线轨迹的点，其速度在Y轴上的投影于任何时刻 均 为常数C。试证在此情况下，加速度的量值可用下式表示： a= 。式中v为点的速度，为轨迹的曲率半径。 说明：此题要在透彻分析的基础上，然后联合运用速度、加速度在直角坐标系和自然坐标系中的表达式来求解。这是学生应该掌握的基本解题方法。除此之外也

2、可以用几何作 图的方法来求解，但这种方法并不可取，因为它不能很好反映解题的基本物理思想。例3. 一质点作平面曲线运动，其速度矢量与加速度矢量之间的夹角保持不变，试证其速度可表示为：v = v0ectg(-o)式中为速度矢量与x轴之间的夹角。且当=0时v=v0 。 说明：此题在前两题的基础上增加了一定的难度，不仅要从已知推想到所求的结果，而且还要从两头同时推想，才能较快找到两者之间的关系。第二章 质点动力学例1. 如下图所示两固定端A、B中间有三个弹簧。它们的弹性系数分别为k1、k2、k3，原长分别为L1、L2、L3，也就是说A、B两端之间长度为L1+L2+L3，中间夹着的两个质点的质量分别为m

3、1和m2。假如m1和m2都沿着AB直线振动，请建立m1和m2的运动微分方程。说明：解决质点动力学问题的关键之一，是如何建立质点的运动微分方程。本题旨在如何分析建立运动微分方程。例2. 有一平面曲线形细管，以匀速绕对称轴旋转，角速度是已知的。要求管内的小球在任何位置都是相对静止的。求此管的曲线方程。球与管之间无摩擦。说明：本题是已知运动情况，求质点的运动轨道的基本动力学问题。例3. 滑轮上系一不可伸长的绳，绳上悬一弹簧，弹簧的另一端挂一重为p的物体。当滑轮以等角速度转动时，物体以等速度v0下降，若将滑轮突然停住，试求弹簧的最大伸长及最大张力。假定弹簧受力p时的静伸长为cT。 说明：此题从建立质点

4、的运动微分方程，解出r = r(t),再找到最后答案。这是学生必须掌握的基本方法。例4. 在光滑水平面上的两个小球质量分别为m1、m2，由一个轻弹簧 连系着，设小球只沿着弹簧轴线方向振动，当m1固定时m2每 秒振动n次，求证当m2固定时，m1将每秒振动n m2/m1次。 如果m1、m2都是自由的则振动频率为n 。 说明：本题求证的第小题比较简单，第小题有一定的难度。需仔细分析，并注意说明坐标系原点不能取在m1和m2上，关键是求出两球之间的距离随时间的变化规律。例5.一炮弹以初速v0，与地面成的角射出。如考虑地球引力 与炮弹到地心距离的平方成反比。并考虑地面为一球面。试 求炮弹离地面的最大高度，

5、设地球的半径为R，地面上的引 力为mg。说明：此题难度较大。需采用极坐标系建立质点的运动微分方程，否则很难解。第三章 非惯性系力学例1. 有一圆盘以匀角速度绕通过垂直于盘心的轴匀速转动，沿圆盘半径方向开有一小槽，槽内有一小球沿着小槽（相对圆盘）自盘心以匀速度v = c向外运动，求小球的绝对加速度。说明：此题用两种方法即分析法和图示法求解相对运动的运动学问题。以比较两种方法的优缺点。例2. 一升降机向上以加速度a上升, 求此升降机中的单摆的周期？ 说明：此题为非惯性系动力学的基本题。主要在于掌握解决非惯性系动力学问题的基本思路和基本步骤。例3. 质量为m的小环，套在半径为a的光滑圆圈上，并可沿着

6、圆圈滑动，如圆圈在水平面内以匀角速度绕圈上某点o转动，试求小环沿圆圈切向和法向的运动微分方程及任意瞬时的相对速度。（设初始条件为t=0时，=0 ,=0 ）说明：此题可以通过选择不同的动系原点说明质点所受的惯性力与动系及动系原点选择有关。 第四章 质点系力学例1. 在光滑的水平面上，放有一个圆环，它的半径为a，质量为M，有一小虫质量为m，在环上爬行。问小虫和圆环中心的运动轨道是如何的？说明：此题先根据质心运动定理求出质心运动，然后由质心的定义式求出各部分的运动。这是求有相对运动的系统的动力学问题的基本思路。例2. 一条质量比较小但具有弹性的绳子，其两端系有物体P与P，质量分别为m和m，放在一光滑

7、的水平面上。物体之间的距离等于绳子的固有长度，物体P沿着长度增加的方向受到打击，给m一个冲量I，见下图。求当绳子恢复其固有长度后两个物体的速度，还问P能否追上P？说明：此题应用动量定理、动量守恒定律和机械能守恒定律求解。例3. 如下图所示，有一质量为m的质点沿倾角为的光滑楔子滑下楔子的质量为M，楔子本身又可在光滑水平面上自由滑动。求出m和M它们各自在水平方向上的加速度？说明：此题有多种解法。联合运用质心运动定理、质心定义式、牛顿第二定律和约束关系求解；联合运用动量守恒定律、机械能守恒定律和约束关系求解运用非惯性系动力学方程解。例4. 有一链条是均匀的，其单位长度的质量为。在光滑的斜面上下滑，上

8、端是盘着放在平台上的，如下图所示。试求链条沿斜面滑下的长度为x时，x这段链条的速度为多少？说明：此题应该用可变质量物体的运动微分方程来求解，不能用机械能守恒定律来求解。 第五章 刚体力学例1. 如图所示的机构，BD是一刚性杆，它的B端接在一个可沿ox轴运动的滑块上，它的另一端插入导管中，此导管可绕固定点A转动。已知oA为h。求杆子的空间极迹和本体极迹？说明：此题可采用图示法和分析法来求解，并比较之。例2. 两根杆子OA和AB长度均为L，重量均为Q。两杆光滑铰接于A，杆OA的另一端又铰接于固定点O，杆AB的B端则搁在地板上。当OA与悬直线成角，AB与水平线成角时，此系统正好要开始向左滑动，如图所

9、示。试求地板对杆AB的静摩擦系数。说明：这是一个复合刚体静力学问题。可采用可分可合的方法来求解。通过此例掌握求解刚体静力学问题的基本方法。例3. 有一条不可伸长的轻绳一端固定在天花板上，另一端缠着一个半径为r，重为P的滑轮。求滑轮中心C下降的加速度。说明：这是一个很简单的例题。通过此简单的例子说明解题的方法。此题可用三种方法求解，即可用：刚体平面平行运动的动力学方程求解；机械能守恒定律求解和刚体对瞬心的转动定理求解。例4. 一轻绳的一端绕在A轮上，A轮可绕固定点A转动，摩擦力可忽略不计，绳子的另一端绕在另一轮子B的外面，已知这两轮子都是形状相同的圆柱，它们的半径为r，质量均为m。求B轮的质心加

10、速度。说明：此题为刚体动力学的基本题。掌握解题的基本方法。例5.如图所示的“复摆”已知其上端的两个轮子的半径等于r。它 们可在水平导轨上运动。还已知此 “复摆”的总质量为M，质心c到上 端两轮的轴线oo的距离为L，即ac =L，“复摆”绕质心的回转半径为R。 并假设上端两轮在导轨上的运动是纯 滚动的。求此摆偏离平衡位置作小振 动的周期。说明：此题有一定的难度。难在寻找约束关系。 第六章 分析力学例1. 如图所示，有一质量m，长度为L的刚性杆子靠在墙上，在与地面接触的B端上受一水平向左的外力F。杆子两端的接触都是光滑的。当杆子与水平地面成角时，要使处于平衡状态，问作用在杆子B端上的力F有多大？说

11、明：这是一道运用虚功原理解静力学问题的基本题。旨在掌握解题的基本方法。例2. 如图所示的框架，它是由四根重量和长度都相同的杆子光滑铰接而成的四边形框架，中间B、D两端又光滑铰接一轻杆，A端是挂在天花板上的。已知框架上每一根杆子的重量为P，长度为L。求平衡时此轻杆所受之力？ 说明：通过此题的求解，明白应用虚功原理解题时，所取的坐标原点必须是静止的。例3.一质点受一有心力F1=- r 及一阻力 F2=-a2V作用下运动。 试求出其拉格朗日方程。说明：此题求解的目的在于如何求广义力和建立拉示方程的基本步骤。例4.质量为m的小环，套在半径为a的大圆圈上，并可沿着圆圈滑 动，如果大圆圈在水平面内以等角 速度绕圈上某点0转动。求小圆 环在大圆圈切向运动微分方程。说明：此题是非惯性系的力学问题。现在要求应用拉氏方程求解，然后将