二次函数知识点总结与例题讲解

1、精选优质文档-倾情为你奉上1、定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。2、二次函数的性质：（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴；（2）函数的图像与的符号关系： 当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点。（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为。（P21-12）3、二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线。4、二次函数用配方法可化成：的形式，其中。5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；。6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。 的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，

2、抛物线的开口大小、形状相同。 平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线。（P23-9,10）7、顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。8、求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：，顶点是，对称轴是直线。（P26-9） （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线。 （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。 注意：用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，

3、才能做到万无一失。9、抛物线中，的作用（P29-例2,1,10） （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样。 （2）和共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线的对称轴是直线。，故：时，对称轴为轴；（即、同号）时，对称轴在轴左侧；（即、异号）时，对称轴在轴右侧。 （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置。 当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）： ，抛物线经过原点； ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴。 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 。10、几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(

4、0, )(,0)(,)()11、用待定系数法求二次函数的解析式（P32-12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51-例、P54-16） （1）一般式：。已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式。 （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。 （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：。261 （1. 如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此就是方程的一个根。 2. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等

5、的实数根。262在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。例题讲解：一、选择题1由二次函数，可知（ ）A其图象的开口向下 B其图象的对称轴为直线C其最小值为 D当时，随的增大而增大2、抛物线的图象过原点，则为（ ）A、0 B、1 C、1 D、±13.已知二次函数，它的顶点坐标为（ ）A.（-2,3） B.（-2，-3） C.（2，-3） D.（2,3）4.对于二次函数，和，下列说法正确的是（ ）A.开口都向上，且都关于y轴对称 B. 开口都向上，且都关于x轴对称 C.顶点都是原点，且都关于y轴对称 D. 顶点都是原点，且

6、都关于x轴对称 5抛物线（ ）A与轴只有一个交点 B与轴有两个交点 C在轴上方 D在轴下方6.无论m取何值，代数式一定是（ ）A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数二、填空题1.写出一个开口向下，顶点在y轴的二次函数解析式_.2.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 3.-13.已知抛物线与与直线的图像只有一个交点，则到直线的距离为_.4将抛物线向上平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是 5、将二次函数的图象向下平移一个单位，则平移后的的解析式为 6、已知，的对称轴是，则的值是 17.已知二次函数，当x=_时，y的值是 .0.3O1第8题图8如图是抛物线的一部分，其对

7、称轴为直线，与轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式的解集是 x3或x-19若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 m110、已知抛物线yax2bxc的图象如图所示， 则 y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是 方程ax2bxc=0的两个根是 三、解答题1、（已知，二次函数的顶点是（4，-8），且过点（6,0）求此二次函数的解析式2、画二次函数的图象3、已知点（，）在抛物线（）上，求当时的值。解：4、已知抛物线过三点：（-1，-1）、（0，-2）、（1,1）.求抛物线所对应的二次函数的关系式.5. （本题满分9分）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： （1）根据上表

8、填空： 抛物线与轴的交点坐标是 和 ； 抛物线经过点（， ）； 在对称轴右侧，随增大而 ；（2）试确定抛物线的解析式。解：6、(8分) 已知，二次函数（1） 当时，求函数图象与轴的交点坐标。（1.0）（2,0）（2）命题“函数的图象一定与x轴有两个交点”是否正确，若正确请证明 ，若不正确，请举反例说明.7.抛物线与y轴交于点（0,5） （1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线顶点坐标；（3）画出这条抛物线（描五点即可）；（4）根据图像回答：当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？当x取什么值时，y>0？ （9分）8（本题满分12分） 已知关于的方程 .（1）求证：不论为任何实数，此方程总有

9、实数根；（2）若抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，试确定此抛物线的解析式；m=1（3）若点，与，在（2）中抛物线上（点、不重合)， 且求代数式的值. 解：9、（11分）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”（1）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求的值；2（2）若是抛物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点为对称中心的矩形？若存在，求出过三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由10.如图10，已知抛物线经过点C（0,3），它与X轴相交于A,B两点，抛物线的对称轴为直线l交x轴于点E，D为对称轴l上异于E的一个动点。（1）求点A、B的坐标； （2分A(-1,0 ) B（3,0）（2）求ADC的周长的最小值，并求此时D的坐标； （5分）D（1,2）AyOCxBEl图1011、（10分）26 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，二次函数的图象记为抛物线（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点，但不过点，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：