华中科技高数期末试题

1、1 1 / / 5 5华中科技大学2011-2012学年高等数学期末考试试题【A卷】考试日期：2012 年院(系)另寸 _班级 _学号_姓名_成绩_大题-一-二二三四五六七小题:1 12 23 34 45 5得分、填空题：(本题共 5 5 小题，每小题 4 4 分，满分 2020 分，把答案直接填在题中横线上.)rrrrr1 1、已知向量a、b满足ab0，a 2，b2，则ab _.32 2、设z xln(xy)，贝U _.x y3 3、 曲面x2y2z 9在点(1,2,4)处的切平面方程为 _.4 4、 设f (x)是周期为2的周期函数，它在,)上的表达式为f(x) x，贝U f (x)的傅里

2、叶级数 在x 3处收敛于，在x_处收敛于.5 5、 设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则/Xy)ds _.以下各题在答题纸上作答 ，答题时必须写出详细的解答过程一,并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级.、解下列各题：(本题共 5 5 小题，每小题 7 7 分，满分 3535 分)n 13 3、判定级数(1)nln是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛?n 1nxz2z4 4、 设z f (xy, ) sin y，其中f具有二阶连续偏导数，求，yx x y5 5、 计算曲面积分dS,其中 是球面x2y2z2a2被平面z h (0 h a)截出的顶部.z1 1、求曲线2c222

3、x 3y z22 2z 3x y9在点M。(1, 1,2)处的切线及法平面方程.22 2、求由曲面z 2x2y2及z 6 x2y2所围成的立体体积.2 2 / / 5 5(本题满分 9 分)抛物面z x2y2被平面x y z 1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.四、(本题满分 10 分)L(exsiny m)dx (excosy mx)dy,其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点0(0,0)的上半圆周x2y2五、(本题满分 10 分)六、 (本题满分 10 分)计算曲面积分|2x3dydz 2y3dzdx 3(z21)dxdy,其中为曲面z 1 x2y2(z 0)的上侧

4、.七、 (本题满分 6 分)设f (x)为连续函数，f (0) a,F (t) z f (x2y2z2)dv，其中t是由曲面z、玄y2t与zt2x2y2所围成的闭区域，求lim匚学.t 0t3备注：考试时间为 2 2 小时；考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交;不得带走试卷。计算曲线积分ax (a 0).求幕级数13nn的收敛域及和函3 3 / / 5 5高等数学 A(下册)期末考试试题【A卷】参考解答与评分标准20092009 年 6 6 月、填空题【每小题 4 4 分，共 2020 分】1 1、4;2 2、1；3 3、y2x4yz 14; 4 4、3 3, 0 0;

5、 5 5、2. .二、试解下列各题【每小题 7 7 分，共 3535 分】3燈1 1、解：方程两边对x求导，得dz zdx2x从而少5xdz7xdyydxdz z -dx3xdx4ydx4z 【4 4】ur该曲线在1, 1,2处的切向量为T1(8,10,7). .【5 5】8故所求的切线方程为X 18y 110.【6 6】法平面方程为1020即8x 10y 7z12.【7 7】2、解：zz 2x26 x22y22y该立体在xOy面上的投影区域为2 2Dxy: x y 2. . 【2 2故所求的体积为Vdv2dz(6 32)d. 【7 7】3、解: 由lim n unlimnnln(1lim l

6、n(1nIfn0,知级数Unn 1发散【3 3】又|Un| ln(1)ln(11)|Un 1|nn4、解：z1(f1yf2)0yf12zxyfnyx f12(x、1f12)2x yyy5、解：的方程为z、a22x2y，又2J2Zya a2x22y,1yf2lim |unnlimnln(11) 0 故所给级数收敛且条件收敛.【7 7】n1xf21Xf22(2)f1xyfnyy在xOy面上的投影区域为Dxy(x, y) |【3 3】xf22-【7】y4 4 / / 5 5故dSzDa2xyadxdy22x ya20h2a2a1l n(a22a2h22a)2 a In.【7 7】0h、【9 9 分】

7、解:M （x, y, z）为该椭圆上的任一点,则点到原点的距离为【1 1】令L(x,y,z)(z x2(xz 1),Lx2xLy则由Lz2y2zx20，解得x2y1_32，z 2 m, 3于是得到两个可能极值点73 1 7322_22又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得.Md1 y/31 y/3tM2(,2、3).【7 7】故dmaXIOM2I 9 5/3, dm,| OM1|.9min5-3.【9 9】四、【1010 分】 解：记L与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得xI2?(e sin y m)dxL OA(excosy mx)d

8、y【5 5】而I1OA(exsin y m)dx(excosy mx)dyadx0ma【8 8】L(exsin y m)dx(excosy mx)dy I2I12ma ma .8【1010】五、【1010 分】解:limnan 1anlimnn 1；3n 13，收敛区间为（3,3）【2 2】又当x 3时，级数成为1-，发散；当x1n3时，级数成为n1，收敛.1【4 4】故该幕级数的收敛域为3,3【5 5】nx1n3nx 3），则s(x)nx3nn 13n1n 13131x/3乙,(|x|3) )【8 8】5 5 / / 5 5于是s(x)s(x)dxxdx3 xIn 3In 3 In 3 x, (3 x 3)【1010】六、【1010 分】解：取1为z 0(x21)的下侧，记1所围成的空间闭区域为，则由高斯公式，有I22x3dydz12y3dzdxz21 dxdyx2dvdz而丨12x3dydz12y3dzdx1 dxdydxdy3x2dxdy