多维随机变量及其分布测试题答案

1、 第三章 多维随机变量及其分布答案一、填空题（每空3分）1设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为,则A=_1_2若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域x1<x<x2,y1<y<y2内的概率为_ _ _ 3(X,Y)的联合分布率由下表给出，则，应满足的条件是; 当 ， 时与相互独立（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）P1/61/91/181/34设二维随机变量的密度函数,则_ _.5设随机变量X,Y同分布，X的密度函数为，设A=（X>b）与B=（Y>b）相互独立，且,则b=_ _.6在区间(0,1)内随机

2、取两个数，则事件“两数之积大于”的概率为_ _ .7 设X和Y为两个随机变量，且,则_ . 8随机变量,则D(3X-2Y)= _ 13 .9设,则 85 ， 37 .10设随机变量 ,则 108 .二、单项选择题（每题4分）1下列函数可以作为二维分布函数的是（ B ）. . .2设平面区域D由曲线及直线围成，二维随机变量在区域D上服从均匀分布，则(X,Y)关于Y的边缘密度函数在y=2处的值为（C ） 3若(X,Y)服从二维均匀分布，则（ B ）随机变量X,Y都服从一维均匀分布 随机变量X,Y不一定服从一维均匀分布随机变量X,Y一定都服从一维均匀分布随机变量X+Y服从一维均匀分布4若D(X+Y)

3、=D(X)+D(Y),则（ A ）X与Y不相关 X与Y相互独立 5在上均匀地任取两数X和Y，则（ D ）1 三、计算题（第一题20分，第二题24分）1已知(1)确定a,b的值；(2)求(X,Y)的联合分布列；(3)求X-Y的概率分布.解：(1)由正则性有， 有，(2)(X,Y)的联合分布律为YX-3-2-1124/53954/539216/539212/53927/539108/53938/53918/53972/539(3) X-Y的概率分布为X-Y-2-1012P24/53966/539251/539126/53972/5392. 设随机变量(X,Y)的密度函数为(1)确定常数k；(2)求

4、(X,Y)的分布函数；(3)求.解：（1）k=12（2）（3）3设随机变量X,Y相互独立，且各自的密度函数为，求Z=X+Y的密度函数解：Z=X+Y的密度函数在x0时有非零值，在z-x0即xz时有非零值在0xz时有非零值当z<0时，所以Z=X+Y的密度函数为4设随机变量X,Y的联合密度函数为，分别求下列概率密度函数.(1) ; (2) .解：（1）因为 所以即X与Y独立.所以当z<0时，当z0时，所以(2) 当z<0时，当z0时，所以5设随机变量X,Y相互独立,其密度函数分别为，求.解：因为X,Y相互独立，则Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 所以6设随机变量(

5、X,Y)的联合密度函数分别为，求X和Y的边际密度函数.解：四、证明题.1已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数分布列如下表，试验证X与Y不相关，但X与Y不独立.证明：因为E(X)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0 E(Y)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0E(XY)=-1×0.25+0×0. 5+1×0.25=0 所以E(XY)= E(X) E(Y)即X与Y不相关.又因为P(X=1,Y=1)=0.125，P(X=1)=0.375，P(Y=1)=0.375P(X=1,Y=1)P(X=1) P(Y=1)所以X与Y不独立.2设随机变量(X,Y)满足,证明.证明：因为 所以 所以由柯西施瓦兹不等式有所以又因