定积分解析几何微分方程提高训练题

1、积分，解析几何，微分方程练习题一、填空题：(1) 设连续，且，则 。(2) 设是连续函数，且，则 .(3) 函数的单调减少区间为 .(4) .(5) (6) (7) (8) 由曲线与两直线及所围成的平面图形的面积是 。(9) 微分方程的通解为 .(10) 的通解为 (11) 设(为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的解，则该方程为 (12) 微分方程满足初始条件，的特解是 (13) 微分方程的通解为 .(14) 微分方程的通解为 (15) 过点且与直线垂直的平面方程是 .(16)已知两条直线的方程是，则过且平行于的平面方程是 .(17) 与两直线及都平行且过原点的平面方程为 。(18)

2、设，则 .(19) 设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为 .二、选择题：(1) 设是连续函数，是的原函数，则【 】(A) 当是奇函数时，必是偶函数；(B) 当是偶函数时，必是奇函数；(C) 当是周期函数时，必是周期函数；(D) 当是单调增函数时，必是单调增函数(2) 设为已知连续函数，其中，则的值【 】(A) 依赖于和；(B)依赖于和； (C) 依赖于，不依赖于；(D) 依赖于，不依赖于。(3) 设，则当时，是的【 】(A) 等价无穷小；(B) 同阶但非等价无穷小(C) 高阶无穷小；(D) 低阶无穷小.(4) 双纽线所围成的区域面积可用定积分表示为【 】(A) ;(B) ;(C)

3、 ;(D) .(5) 若连续函数满足关系式，则等于【 】(A) ；(B) ；(C) ；(D) .(6) 设则【 】(A) ；(B) ；(C) ；(D) .(7) 设有连续的导数，且当时，与是同阶无穷小，则等于(A) 1;(B) 2;(C) 3;(D) 4.(8) 设在区间上，令，则 【 】() ； () ；() ； () (9) 设，则 【 】() 为正常数；() 为负常数；() 恒为零； () 不为常数 (10) 设连续，则【 】() ； () ；() ； () (11) 设是方程的一个解且，则函数在点处【 】(A) 取得极大值； (B) 取得极小值；(C) 某邻域内单调增加；(D) 某邻域

4、内单调减少。(12) 设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解，是任意常数，则该非齐次方程的通解是【 】(A) ;(B) ;(C) (D) .(13) 设是连续函数，且，则等于【 】(A) ;(B) ;(C) ;(D) .(14) 设有直线与，则与的夹角为(A) ;(B) ;(C) ;(D) .(15) 设有直线及平面，则直线 【 】(A) 平行于;(B) 在上;(C) 垂直于;(D) 与相交.三、(1) 求；(2) 求.(3) 求(4) 求四、设是区间上的任一非负连续函数(1) 试证明存在，使得在区间上以为高的矩形面积，等于在区间上以为曲边的梯形面积(2) 又设在区间内可导，且，证明()中

5、的是唯一的五、设，其中为连续函数，求.六、设函数在区间上连续，且在内有，证明：在内存在唯一的，使曲线与两直线所围成图形的面积是曲线与两直线所围成图形面积的3倍。七、证明方程在区间内有且仅有两个不同的实根.八、(1) 求 . (2) 求；(3) 求.(4) 设，求.九、设函数在上连续，在内可导，且，证明在 内存在一点，使.十、设连续，且(为常数)，求并讨论在处的连续性十一、设对任意，曲线上点处的切线在轴上的截距等于，求的一般表达式.十二、设函数在上连续，且，试证在内至少存在两个不同的点，使十三、(1) 已知点与的直角坐标分别为与.线段绕轴旋转一周所成的旋转曲面为，求由及两平面所围成的立体的体积.

6、(2) 求心形线的全长，其中是常数.十四、已知两曲线与在点处的切线相同，写出此切线方程，并求极限十五、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度(从海增面算起)与下沉速度之间的函数关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为，体积为，海水比重为，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为试建立与所满足的微分方程，并求出函数关系式十六、(1) 求微分方程的通解，其中常数。(2) 求微分方程的通解(一般解).(3) 求微分方程的通解.(4) 求微分方程满足初始条件的特解.十七、在上半平面求一长条向上凹的曲线，其上任一点处的曲率等于此曲线在该点的法线长度的倒数(是法线与轴的交点)，且曲线在点处的切线与轴平行.十八、设曲线位于平面的第一象限内，上任一点处的切线与轴总相交，交点记为.已知，且过点，求的方程.十九、 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的设该人群的总人数为，在时刻已掌握新技术的人数为，在任意时刻已掌握新技术的人数为(将视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数，求二十、设函数二阶可导，且，过