希望杯六年级真题及解析

1、第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级第 1 试试题2015 年 3 月 15 日上午 8:30 至 10:00以下每题 6 分，共 120 分.1. 计算：1+1+1+1+1_2481632【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 1 题【考点】借来还去分数计算【难度】31【答案】 32【解析】原式 = 12 + 14 + 18 + 161 + ( 321 + 321 ) - 321= 12 + 14 + 18 + (161 + 161 ) - 321= 12 + 14 + ( 18 + 18 ) - 321= 12 + ( 14 + 14 ) - 321= 12 + 12 - 321=

2、1 - 321= 32312. 将 99913 化成小数，小数部分第 2015 位上的数字是_【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 2 题【考点】循环小数与分数计算【难度】【答案】1【解析】 99913 = 0.013 ， 2015 ¸ 3 = 6712 ，所以数字为 1.13.若四位数 2 AB7 能被 13 整除，则两位数 AB 的最大值是_【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 3 题【考点】整除问题数论【难度】【答案】97【解析】 13 2 AB7 Þ 13 AB0 + 2007 ， 2007 ¸135，所以 AB0 ¸138 ，13 AB5

3、， 利用数字谜或倒除法，可确定 AB = 97 。数字谜方法如下：根据乘积的个位，可确定第二个因数的个位为 5，因为构造最大值，所以十位为最大为 7，积为 975131313´´5´75Þ65 Þ6591559754.若一个分数的分子减少 20%，并且分母增加 28%，则新分数比原来的分数减少了_%【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 4 题【考点】分数应用题应用题【难度】【答案】37.5aa ´ 1- 20%)a55æ5ö(=´-¸ 1 ´ 100%= 37.5%【解析】设原分数为

4、，则新分数为，所以新分数为原分数的，ç 1÷bb ´ (1+ 28% )b88è8ø5. 若 a <1< a +1，则自然数 a =_1+1+1+1+120112012201320142015【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 5 题【考点】比较与估算计算【难度】【答案】402【解析】设 x =1， x >1=2011= 4021x <1=2015= 403 ，所1+1+1+1+11´ 5551´ 552011201220132014201520112015以 4021< x < 40

5、3 ， a = 4025x3.14= 0.140.5= 0.5ì2015 ü+ì315 ü+ ì412ü=6.那么， íýíýý定义：符号 表示 x 的小数部分，如，í5î3 þî4 þîþ_（结果用小数表示）【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 6 题【考点】高斯记号与循环小数计算2【难度】【答案】1.816ì 2015üì 315üì 412ü232【

6、解析】 íý+ íý+ íý=+= 0.6+ 0.75 + 0.4=1.81645345î 3þ îþîþ7. 甲、乙、丙三人共同制作了一批零件，甲制作了总数的 30%，乙、丙制作的件数之比是 3:4已知丙制作了 20 件，则甲制作了_件【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 7 题【考点】比例应用题应用题【难度】【答案】15【解析】甲制作了总数的 30% ，乙、丙制作的件数是总数的1 - 30% = 70% ，乙、丙制作的件数之比是 3:4，则乙做了 30% ，丙做了 40

7、% ，则甲：乙：丙= 3 : 3 : 4 ，甲制作了 20 ¸ 4 ´ 3 =15 （件）。8.已知 9x ， 15y ， 14z 都是最简真分数，并且它们的乘积是 16 ，则 x + y + z =_【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 8 题【考点】因数与分解质因数数论【难度】【答案】21【解析】 9x ´ 15y ´ 14z = 16 ， 6 xyz = 9 ´ 15 ´14 ， xyz = 3 ´ 3 ´ 5 ´ 7 ，x 与 9 互质，x 不含因数 3；y 与 15 互质，y 不含因数 3,5

8、；z 与 14 互质，z 不含因数 7；并且 x，y，z 均不能为 1（否则，必有假分数出现），所以 y = 7 ， x = 5 ， z = 9 ， x + y + z = 7 + 5 + 9 = 219. 如图一，有三只小老鼠发现一堆花生米，商量好第二天来平分第二天，第一只老鼠最早来到，它发现花生米无法平分，就吃了一粒，余下的恰好可以分成三份，它拿着自己的一份走了第二只和第三只老鼠随后依次来到，遇到同样的问题，也采取了同样的方法，都是吃掉一粒后，把花生米分成三份，拿走其中的一份那么，这堆花生米至少有_粒图1【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 9 题【考点】分数应用题应用题【难度】【答案】

9、253é æ2ö2ù227 a + 303a + 6【解析】设最后剩的两份为 a，那么花生米总数为 ê ç a ¸+ 1 ÷¸+ 1ú¸+1=+ 1 =+ 3a + 4 ，ë è3ø3û3883a + 6 为 8 的倍数且为 3 的倍数，最小为 24，所以 a = 6，总数为3a + 6+ 3a + 4 =24+ 3 ´ 6 + 4 = 2588110. 如图 2，分别以长方形的一条长边的两个顶点为圆心，以长方形的宽为半径作 4 圆，若

10、图中的两个阴影部分的面积相等，则此长方形的长与宽的比值是_图2【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 10 题【考点】圆与扇形曲线形几何【难度】【答案】 p : 2【解析】因为 S 2 = S4 ，两个半圆的面积 S1 + S2 + S2 + S3 = S1 + S 2 + S3 + S4 与长方形面积相等。所以设长为 a ，宽为 b ， 14 pb 2 ´ 2 = ab ， pb = 2a ， a : b = p : 2S4S1S3S211. 六年级甲班的女生人数是男生人数的 109 倍，新年联欢会中， 52 的女生和 13 的男生参加了演出，则参加演出的人数占全班人数的_【出处】

11、2015 年希望杯六年级初赛第 11 题【考点】分数应用题应用题【难度】【答案】 197【解析】设女生人数为 10 份，男生人数为 9 份，则参加演出的人数为2´ 10 +1´ 9 = 7，占全班人数的7=75310 + 91912. 有 80 颗珠子，5 年前，姐妹两人按年龄的比例分配，恰好分完；今年，她们再次按年龄的比例重新分配，又恰好分完已知姐姐比妹妹大 2 岁，那么，姐姐两次分到的珠子相差_颗4【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 12 题【考点】因数问题数论【难度】【答案】4【解析】设 5 年前妹妹的年龄为 x，那么5 年前今年妹妹xx + 5姐姐x + 2x

12、+ 75 年前与今年分别按照年龄的比例分配，且恰好分完，所以 2 x + 2 与 2 x +12 均为 80 的因数，且这两个因数的差为 10，80 的因数有 1,2,4,5,8,10,16，20,40,80，所以只有 10 与 20 的差为 10，所以 2 x + 2 =10 ，x = 4 ，5 年前按照 4 : 6 的比例分配，姐姐分到 80 ¸ ( 4 + 6 )´ 6 = 48 （颗），今年按照 9:11 的比例分配，姐姐分到80 ¸ ( 9 + 11)´ 11 = 44 （颗），两次分配相差 48 - 44 = 4 （颗）。13. 如图 3，分

13、别以 B，C 为圆心的两个半圆的半径都是 1 厘米，则阴影部分的周长是_厘米（ 取 3）EABCD图3【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 13 题【考点】圆与扇形曲线形几何【难度】【答案】3【解析】BE,BC,CE 均为圆的半径，所以 DBCE 等边三角形，每个角均为 60 度，所以阴影部分的两段圆弧均为 60 度的扇形所对应的圆弧，所以周长为 36060 ´ p ´ d ´ 2 +1 = 16 ´ 3 ´ 2 ´ 2 + 1 = 3EABCD14. 一个 100 升的容器，盛满了纯酒精，倒出一部分后注满水；混合均匀后，倒出与第一

14、次所倒出体积相等的液体，再注满水，此时容器内水的体积是纯酒精体积的 3 倍，则第一次倒出的纯酒精是_升【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 14 题5【考点】浓度问题应用题【难度】【答案】50【解析】设第一次到出酒精 x 升，所剩酒精为 (100 - x) 升，此时容器的空间为 x 升，则第一次倒入水时，酒精溶液浓度为 (100 - x)% ，再倒出 x 升酒精溶液，此时所剩酒精溶液体积为 (100 - x) 升，所剩酒精为(100 - x ) % ´ (100 - x) = 100 ´ 1 +1 3 ，所以 (100 - x)2 = 2500 ， x = 5015. 如

15、图 4，甲，乙两个圆柱形容器的底面半径分别是 2 厘米和 3 厘米，已知甲容器装满水，乙容器是空的现将甲容器中的水全部倒入乙容器，水面的高比甲容器高的 23 少 6 厘米，则甲容器的高是_厘米甲乙图4【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 15 题【考点】圆柱立体几何【难度】【答案】2722æ 2ö【解析】设甲容器高为 h，根据水的总量相等，得到 p ´ 2´ h = p ´ 3´ çh - 6÷ ，解得 h = 27è3ø16. 如图 5，经典童话一书共有 382 页，则这本书的页码中数字 0

16、 共有_个109图5【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 16 题【考点】页码问题应用题【难度】【答案】68【解析】1 382 中，个位每 10 个数中出现一个 0， 382 ¸ 10 = 382 ，每 10 个数中最后一个数个位为 0，6所以个位中共有 38 个 0，1 99 中十位上没有 0，十位有 0 的有，100 109 ， 200 209 ， 200 309 ，共 30 个，所以共 38 + 30 = 68 （个）17. 如图 6 所示的 7 个圆相切于一点，若圆的半径分别是（单位：分米）：1,2,3,4,5,6,7，则图中阴影部分的面积是_平方米（ 取 3）765432

17、1图6【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 17 题【考点】圆曲线形几何【难度】【答案】84【解析】阴影面积为p ´ 12 + p ´ ( 32 - 22 )+ p ´ ( 52 - 42 )+ p ´ ( 7 2 - 62 )= p ´ 1 + p ´ ( 3 + 2 ) + p ´ ( 5 + 4 ) + p ´ ( 7 + 6)= 28p= 8418. 将一个棱长为 6 的正方体切割成若干个相同的棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前大正方体的表面积的 2 倍，则切割成的小正方体的棱长是_

18、【出处】2015 年希望杯六年级初赛第 18 题【考点】表面积问题立体几何【难度】【答案】3【解析】若切割成若干个相同的棱长为整数的小正方体，所以平行于前面、右面、上面所切的刀数相同，由于切割后的表面积为切割前的两倍，所以增加面积等于原表面积，所增加的部分为两个前面、两个上面和两个右面，所以平行与三个面个切一刀，所以棱长为 6 ¸ 2 = 319. 有长度分别是 1 厘米，2 厘米，3 厘米，4 厘米，5 厘米的小木棍各若干根，从中任取 3 根组成一个三角形，则最多可以组成不同的三角形_个【考点】三角形三边关系几何【难度】【答案】227【解析】有序枚举（1,1,1）（1,2,2）（1,3,3）（1,3,3）（1,4,4）（1,5,5）（2,2,2）（2,2,3）（2,3,3）（2,3,4）（2,4,4）（2,4,5）（3,3,3）