24抛物线及其标准方程学案

1、2.4.1抛物线及其标准方程【学习目标】 掌握抛物线的定义、标准方程及其推导过程【自主学习】1. 抛物线定义： 2推导抛物线的标准方程：如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|=（>0）,那么焦点F的坐标为，准线的方程为，（自己完成推导过程）（1）它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），准线方程是 （2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式3抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出|KF|=（>0），则抛物线的标准方程如下： 按要求填写下表：标准方程焦点坐标准线方程【自主检测】 1抛物

2、线y220x的焦点坐标是()A(10,0)B(5,0) C(0,10) D(0,5)2抛物线y22px(p>0)的焦点恰好与椭圆1的一个焦点重合,则p()A1 B2 C4 D83抛物线y24x上的点P到焦点的距离是5，则P点坐标是_4抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5，求抛物线的标准方程.求抛物线的焦点及准线例1：设抛物线的方程为yax2(a0)，求抛物线的焦点坐标与准线方程训练1：已知椭圆x2ky23k(k>0)的一个焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该椭圆的离心率是_求抛物线的标准方程例2：求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

3、(1)过点(3,2)； (2)焦点在直线x2y40上训练2：根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y1； (2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是2抛物线定义的应用例3：已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值训练3：1)已知抛物线y24x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|4，则点M的横坐标x_(2)斜率为1的直线经过抛物线y24x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，则线段AB的长为_抛物线的实际应用例4：如图(1)所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OP1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后

4、落下，若最高点距水面2m，P距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1m)训练4：某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽为8m，一木船宽4m，高2m，载货后木船露在水面上的部分高为m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？对含参数问题中参数的取值考虑要全面例5：设抛物线y2mx的准线与直线x1的距离为3，求抛物线的方程抛物线及其标准方程课后作业1抛物线y2ax(a0)的焦点到其准线的距离是() A. B. C|a| D2已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线1上，则抛物线方程为()Ay28x By24x Cy22x Dy2±8x3

5、抛物线y22px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>)，则点M的横坐标是()Aa Ba Cap Dap4过点M(2,4)作与抛物线y28x只有一个公共点的直线l有()A0条 B1条 C2条 D3条5已知抛物线y22px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1 Cx2 Dx26设抛物线y22x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|2，则BCF与ACF的面积之比等于()A. B. C. D.7抛物线x212y0的准线方程是_8若动点P在

6、y2x21上，则点P与点Q(0，1)连线中点的轨迹方程是_9已知抛物线x2y1上一定点A(1,0)和两动点P，Q，当PAPQ时，点Q的横坐标的取值范围是_班级序号：16 姓名 10已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程11求焦点在x轴上且截直线2xy10所得弦长为的抛物线的标准方程2.4.2抛物线的简单几何性质【学习目标】 掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质【自主学习】根据抛物线的标准方程，研究它的几何性质：1范围2对称性3顶点4离心率 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的

7、比，叫做抛物线的离心率，用e表示由抛物线的定义可知，e= 注意：抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线.【自主检测】1若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A(，±)B(，±) C(，) D(，)2 顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是_3已知直线ya交抛物线yx2于A、B两点，若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为_4过抛物线y28x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为()A8 B16 C32 D615已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，

8、Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|() A B3 C D26直线l过抛物线y22px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点求证：x1x2，y1y2p2抛物线的对称性例1：正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p>0)上，求这个正三角形的边长训练1：等腰RtABO内接于抛物线y22px(p>0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则ABO的面积是()A8p2B4p2C2p2Dp2抛物线焦点弦的性质例2：斜率为2的直线经过抛物线y24x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长训练2：过抛物线y28x的焦点作直

9、线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|的值为_最值问题例3：设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线焦点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值训练3：定点M与抛物线y22x上的点P之间的距离为d1，P到抛物线准线l的距离为d2，则d1d2取最小值时，P点坐标为() A(0,0)B(1，) C(2,2) D例4： 如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值例5：设抛物线C：x22py的焦点为F，准线为l，A为C上

10、一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点(1)若BFD90°，ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值。【总结提升】类比椭圆、双曲线的几何性质，推导抛物线的几何性质，需注意抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线.抛物线的简单几何性质课后作业1顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(2,3)，它的方程是()Ax2y或y2x By2x或x2y Cy2x Dx2y2若抛物线y22px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关

11、系是() A成等差数列 B既成等差数列又成等比数列 C成等比数列 D既不成等比数列也不成等差数列3已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为() A. B3 C. D.4设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()Ay2±4x By2±8x Cy24x Dy28x5设直线l1：y2x，直线l2经过点P(2,1)，抛物线C：y24x，已知l1、l2与C共有三个交点，则满足条件的直线l2的条数为() A1 B2 C3 D46过抛物线y2a

12、x (a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则等于() A2a B. C4a D.7已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_8已知F是抛物线C：y24x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则ABF的面积等于_9过抛物线x22py (p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴的左侧)，则_.10设抛物线ymx2 (m0)的准线与直线y1的距离为3，求抛物线的标准方程11过点Q(4,1)作

13、抛物线y28x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在的直线方程2.4.3.直线与抛物线的位置关系【学习目标】 通过本节的学习,能运用性质解决直线与抛物线位置有关的简单问题,进一步体会数形结合的思想.【自主学习】1、直线与抛物线的位置关系设直线,抛物线,直线与抛物线的交点的个数等价于方程组解的个数,也等价于方程解的个数.3、 当时:当时,直线和抛物线_,有_公共点;当时,直线和抛物线_,有_公共点; 当时,直线和抛物线_,有_ 公共点4、 当,即直线方程为时，则直线与抛物线相交,有一个公共点5、 特别地,当直线的斜率不存在时, 即直线方程为，则当, 与抛物线相交,有两个公共点;当时,与抛物线相切,有

14、一个公共点；当时,与抛物线相离,无公共点. 注: 直线与抛物线只有一个公共点时，它们可能相切，也可能相交【自主检测】1 在抛物线y28x中，以(1，1)为中点的弦所在直线的方程是()A. x4y30 Bx4y30 C4xy30 D4xy302已知抛物线x22py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线，与抛物线交于A，B两点，若(0,1)，则() A B C D3已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点若AB中点为(2,2)，则直线l的方程为_4已知抛物线C：y22px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l

15、相交于A，与C的一个交点为B，若AM，则p_直线与抛物线的位置关系例1：已知抛物线C：y22x，过点P(1,1)的直线l斜率为k，当k取何值时，l与C有且只有一个公共点，有两个公共点，无公共点？训练1：已知点A(0,2)和抛物线C：y26x，求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程弦长问题 例2：顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2xy10所得弦长为，则抛物线方程为_ _训练2：已知抛物线y24x的一条过焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直线与y轴交点坐标(0,2)，则_对称问题例3：已知抛物线y2x上存在两点关于直线l：yk(x1)1对称，求实数k的

16、取值范围训练3：已知抛物线yx23上存在关于直线xy0对称的相异两点A、B，求A、B两点间的距离注意特殊情形例4：求过点P(0,1)且与抛物线y22x只有一个公共点的直线方程直线与抛物线的位置关系课后作业1已知抛物线y26x的弦AB经过点P(4,2)，且OA OB(O为坐标原点)，求弦AB的长2已知抛物线C：y22px(p>0)过点A(1，2) (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由2.4.1抛物线及其标准方程课后作业参考答案1BDBCBA7y3 8y4x2 9(，31，)10y28x，m±2.焦点坐标为(2,0)，准线方程为x2.2.4.2抛物线的简单几何性质课后作业参考答案1BAABCD7y24x 82 9.10x28y或x216y. 11 4xy150.2.4.3.直线与抛物线的位置关系课后作业参考答案1解析由A、B两点在抛物线y26x上，可设A(，y1)，B(，y2)因为OAOB，所以·0.由(，y1)，(，y2)，得y1y20. y1y20，y1y236，点A、B与点P(4,2)在一条直线上， ，化简得， 即y1y